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Calculadora de Distribuição Binomial

Created by Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by João Rafael Lucio dos Santos, PhD and Marinara Andrade do Nascimento Moura, PhD candidate
Last updated: Jan 18, 2024


A calculadora de distribuição binomial da Omni está aqui para ajudar você com problemas de probabilidade, respondendo questões como "Qual é a probabilidade de um determinado número de sucessos em uma sequência de eventos?" Continue lendo para saber o que é exatamente a distribuição de probabilidade binomial, quando e como aplicá-la e aprender a fórmula de probabilidade binomial. Saiba o que é distribuição binomial e descubra como os binômios são usados em várias situações.

O que é a probabilidade binomial?

Imagine que você está jogando um jogo de dados. Para ganhar, você precisa que exatamente três dos cinco dados mostrem um resultado igual ou inferior a 4. Os dois dados restantes precisam mostrar um número maior. Qual é a probabilidade de você ganhar?

Este é um exemplo de problema que pode ser resolvido com nossa calculadora de probabilidade binomial. Você sabe o número de eventos (é igual ao número total de dados, portanto, cinco); sabe o número de sucessos necessários (precisamente 3); também pode calcular a probabilidade de ocorrer um único sucesso (4 de 6, portanto, 0,667). Esses são todos os dados necessários para encontrar a probabilidade binomial de você ganhar o jogo de dados.

Observe que, para usar a calculadora de distribuição binomial de forma eficaz, os eventos que você analisa devem ser independentes. Isso significa que todas as tentativas no seu exemplo devem ser mutuamente exclusivas.

O sucesso da primeira tentativa não afeta a probabilidade de sucesso ou a probabilidade de falha nos eventos subsequentes, e elas permanecem as mesmas. No caso de um jogo de dados, essas condições são atendidas: cada vez que você lança um dado constitui um evento independente.

Às vezes, você pode estar interessado no número de tentativas necessárias para obter um determinado resultado. Por exemplo, você pode se perguntar quantas jogadas de um dado são necessárias para obter um 6 três vezes. Você pode responder a essas perguntas usando uma ferramenta estatística relacionada conhecida como distribuição binomial negativa. Não deixe de aprender sobre ela com a calculadora de distribuição binomial negativa 🇺🇸, também da Omni.

Além disso, você pode verificar nossas outras ferramentas relacionadas com esse tópico: a calculadora de aproximação normal 🇺🇸 e a calculadora de correção de continuidade 🇺🇸.

Fórmula da probabilidade binomial

Para encontrar essa probabilidade, você precisa usar a seguinte equação:

P(X=r) = nCr × pr × (1-p)n-r

onde:

  • n: número total de eventos;
  • r: número de sucessos necessários;
  • p: probabilidade de um sucesso;
  • nCr: número de combinações (o chamado "n elementos agrupados r a r"); e
  • P(X=r): probabilidade de ocorrer um número exato de sucessos.

Você deve observar que o resultado é a probabilidade de um número exato de sucessos. Por exemplo, em nosso jogo de dados, precisávamos exatamente de três sucessos, nem menos, nem mais. O que aconteceria se mudássemos as regras para que você precisasse de pelo menos três sucessos? Bem, você teria que calcular a probabilidade de exatamente três, exatamente quatro e exatamente cinco sucessos e somar todos esses valores.

Como usar a calculadora de distribuição binomial: um exemplo

Vamos resolver juntos o problema do jogo de dados.

  1. Determine o número de eventos. n é igual a 5, pois lançamos cinco dados.

  2. Determine o número necessário de sucessos. r é igual a 3, pois precisamos de exatamente três sucessos para vencer o jogo.

  3. A probabilidade de você tirar 1, 2, 3 ou 4 em um dado de seis lados é de 4 em 6, ou 0,667. Portanto, p é igual a 0,667 ou 66,7%.

  4. Calcule o número de combinações (5 elementos agrupados 3 a 3). Você pode usar a calculadora de combinação da Omni para fazer isso. Esse número, em nosso caso, é igual a 10.

  5. Substitua todos esses valores na fórmula de probabilidade binomial acima:

    P(X = 3) = 10 ⋅ 0,6673 ⋅ (1-0,667)(5-3)
    = 10 ⋅ 0,6673 ⋅ (1-0,667)(5-3)
    = 10 ⋅ 0,296 ⋅ 0,3332
    = 2,96 ⋅ 0,111 = 0,329

  6. Você também pode economizar tempo e usar a nossa calculadora de distribuição binomial. :)

Como calcular as probabilidades cumulativas

Às vezes, em vez de um número exato de sucessos, você deseja saber a probabilidade de obter r ou mais sucessos, ou, r ou menos sucessos. Para calcular a probabilidade de você obter qualquer intervalo de sucessos:

  1. Use a fórmula de probabilidade binomial para calcular a probabilidade de sucesso (P) para todos os valores possíveis de r nos quais você está interessado.
  2. Some os valores de P para todos os r dentro do intervalo de interesse.

Por exemplo, a probabilidade de obter dois ou menos sucessos ao jogar uma moeda quatro vezes (p = 0,5 e n = 4) seria:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X ≤ 2) = 37,5% + 25% + 6,25%

P(X ≤ 2) = 68,75%

Esse cálculo é facilitado com as opções disponíveis na calculadora de distribuição binomial. Você pode alterar as configurações para calcular a probabilidade de obter:

  • exatamente r sucessos: P(X = r)
  • r ou mais sucessos: P(X ≥ r)
  • r ou menos sucessos: P(X ≤ r)
  • entre r₀ e r₁ sucessos P(r₀ ≤ X ≤ r₁)

Experimentos de distribuição de probabilidade binomial

A distribuição binomial acaba sendo muito prática em configurações experimentais. No entanto, o resultado desse experimento aleatório precisa ser binário: aprovação ou reprovação, presente ou ausente, conformidade ou recusa. É impossível usar esse design quando há três resultados possíveis.

Ao mesmo tempo, além de rolar dados ou jogar uma moeda, ela pode ser aplicada em diversos contextos. Aqui estão algumas perguntas que você pode responder com a distribuição de probabilidade binomial:

  • Um novo medicamento funcionará em um paciente selecionado aleatoriamente?
  • Uma lâmpada que você acabou de comprar funcionará corretamente ou estará quebrada?
  • Qual é a chance de responder corretamente a uma pergunta de teste que você acabou de sortear?
  • Qual é a probabilidade de um eleitor aleatório votar em um candidato em uma eleição?
  • Qual é a probabilidade de um grupo de alunos ser aceito em uma faculdade de prestígio?

Os experimentos com precisamente dois resultados possíveis, como os acima, são exemplos típicos de distribuição binomial, geralmente chamados de ensaios de Bernoulli.

Na prática, você pode encontrar com frequência exemplos de probabilidade binomial em áreas como controle de qualidade, em que este método é usado para testar a eficiência dos processos de produção. O processo de inspeção baseado na distribuição binomial é projetado para realizar um número suficiente de verificações e minimizar as chances de fabricação de um produto defeituoso.

Se você não souber a probabilidade de um evento independente em seu experimento (p), colete os dados anteriores em um de seus exemplos de distribuição binomial e divida o número de sucessos (y) pelo número total de eventos p = y/n.

Após determinar sua taxa de sucesso (ou falha) em um único evento, você precisa decidir qual é o número aceitável de sucessos (ou falhas) a longo prazo. Por exemplo, um produto defeituoso em um lote de cinquenta não é uma tragédia, mas você não gostaria de ter um segundo produto defeituoso, não é mesmo?

Os ensaios de Bernoulli também são perfeitos para resolver sistemas de rede. É interessante notar que eles podem ser usados para calcular caminhos entre dois nós em um diagrama. Esse é o caso da rede de pontes de Wheatstone, que se trata de um circuito construído para medir a resistência elétrica.

Assim como a tabela de distribuição binomial, nossa calculadora produz resultados que o ajudam a avaliar as chances de você atingir sua meta. Entretanto, se quiser, você pode dar uma olhada na seguinte tabela de distribuição binomial. Ela informa a você qual é o valor da distribuição binomial para uma determinada probabilidade e o número de sucessos.

Média e variância da distribuição binomial

Uma das características mais interessantes das distribuições binomiais é que elas representam a soma de um número n de eventos independentes. Cada um deles (Z) pode assumir os valores de 0 ou 1 em um determinado período.

Digamos que a probabilidade de cada Z ocorrer seja p. Como os eventos não estão correlacionados, podemos usar as propriedades de adição de variáveis aleatórias para calcular a média (valor esperado) da distribuição binomial μ = np.

A variância de uma distribuição binomial é dada como: σ² = np(1-p). Quanto maior a variância, maior a flutuação de uma variável aleatória em relação à sua média. Uma variância pequena indica que os resultados que obtemos estão espalhados em uma faixa mais estreita de valores.

O desvio padrão da distribuição binomial, outra medida de dispersão de uma distribuição de probabilidade, é simplesmente a raiz quadrada da variância, σ. Lembre-se de que o desvio padrão calculado a partir da sua amostra (as observações que você realmente coletou) pode ser diferente do desvio padrão da população inteira. Se você achar essa distinção confusa, aqui está uma ótima explicação sobre ela.

Há uma intuição clara por trás dessas fórmulas. Suponha que, desta vez, eu jogue uma moeda 20 vezes:

  • o p é então igual a 0,5 (a menos, é claro, que a moeda seja viciada);
  • cada Z tem uma chance equivalente de 0 ou 1; e
  • o número de tentativas, n, é 20.

Essa sequência de eventos atende aos pré-requisitos de uma distribuição binomial.

O valor médio desse experimento simples é: np = 20 ⋅ 0,5 = 10. Podemos dizer que, em média, se repetirmos o experimento várias vezes, devemos esperar que apareça "cara" dez vezes.

A variância dessa distribuição binomial é igual a np(1 - p) = 20 ⋅ 0,5 ⋅ (1 - 0,5) = 5. Pegue a raiz quadrada da variância e você obterá o desvio padrão da distribuição binomial, 2,24. Dessa forma, os resultados típicos desse experimento se desviarão do valor médio em cerca de 2. Portanto, na maioria dos testes, esperamos obter de 8 a 12 sucessos.

Use nossa calculadora de probabilidade binomial para obter a média, a variância e o desvio padrão da distribuição binomial com base no número de eventos que você forneceu e na probabilidade de um sucesso.

Outras considerações

Desenvolvida por um matemático suíço, Jacob Bernoulli, a distribuição binomial é uma formulação mais geral da distribuição de Poisson. Na última, simplesmente presumimos que o número de eventos (tentativas) é enorme, mas a probabilidade de um único sucesso é pequena.

A distribuição binomial está intimamente relacionada ao teorema binomial, que se mostra útil para calcular permutações e combinações. Não deixe de conferir também nossa calculadora de permutação 🇺🇸!

Lembre-se de que a fórmula da distribuição binomial descreve uma distribuição discreta. Os resultados possíveis de todas as tentativas devem ser distintos e não sobrepostos. Além disso, os dois resultados de um evento devem ser complementares: para um determinado p, sempre há um evento q = 1 - p.

Se houver uma chance de obter um resultado entre os dois, como, por exemplo, 0,5, a fórmula de distribuição binomial não deve ser usada. O mesmo vale para os resultados que não são binários, por exemplo, um efeito em seu experimento pode ser classificado como baixo, moderado ou alto.

Entretanto, para um número suficientemente grande de tentativas, a fórmula da distribuição binomial pode ser aproximada pela especificação da distribuição gaussiana (normal), com uma determinada média e variância. Isso nos permite realizar a chamada correção de continuidade e considerar argumentos não inteiros na função de probabilidade.

Talvez você ainda precise praticar um pouco com os exemplos de distribuição de probabilidade binomial.

Tente resolver o problema do jogo de dados novamente, mas desta vez você precisa de três ou mais sucessos para ganhar. O que você acha das chances de obter exatamente 4?

FAQ

A distribuição binomial é discreta ou contínua?

A distribuição binomial é discreta, ela assume apenas um número finito de valores.

Como encontrar a média de uma distribuição binomial?

Para calcular a média (valor esperado) de uma distribuição binomial B(n,p), você precisa multiplicar o número de tentativas n pela probabilidade de sucessos p, ou seja: média = n ⋅ p.

Como encontrar o desvio padrão de uma distribuição binomial?

Para encontrar o desvio padrão de uma distribuição binomial B(n,p):

  1. Calcule a variância como n ⋅ p ⋅ (1 - p), em que n é o número de tentativas e p é a probabilidade de sucessos.
  2. Pegue a raiz quadrada do número obtido na Etapa 1.
  3. É isso aí! Parabéns :)

Qual é a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas se a probabilidade de sucesso for 0,5?

Para encontrar essa probabilidade, você precisa:

  1. Relembrar a fórmula da distribuição binomial P(X = r) = nCr × pʳ × (1-p)ⁿ⁻ʳ. Vamos usá-la com os seguintes dados:

    • Número de tentativas: n = 5;

    • Número de sucessos: r = 3; e

    • Probabilidade de sucesso: p = 0,5.

  2. Calcule 5 elementos agrupados 3 a 3. Nesse caso nCr = 10.

  3. Insira esses valores na fórmula:

    P(X = 3) = 10 ⋅ 0,5² ⋅ 0,5³ = 0,3125.

  4. A probabilidade que você está procurando é 31,25%.

Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
If there are...
Number of events (n)
Probability of success per event (p)
%
What is the probability of getting...
exactly r successes
Number of successes (r)
Probability of r successes
%
Mean number of successes
Variance
Standard deviation
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