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Calculadora de Multiplicação Cruzada

Created by Maciej Kowalski, PhD candidate
Reviewed by Steven Wooding
Translated by João Rafael Lucio dos Santos, PhD and Luna Maldonado Fontes
Last updated: Jan 18, 2024


Boas-vindas à calculadora de multiplicação cruzada da Omni, onde resolveremos xx com frações. As expressões que abordamos aqui são geralmente chamadas de proporções, e há uma maneira algorítmica fácil de lidar com elas: multiplicando as frações de forma cruzada. De fato, qualquer que seja o valor desconhecido dos quatro valores, uma vez que fizermos a multiplicação cruzada e a divisão, certamente obteremos nosso resultado, sem nenhum problema.

Mas antes de nos anteciparmos, vamos desacelerar um pouco e aprender a fazer a multiplicação cruzada de forma fácil e simples.

Encontrando o valor de x com frações

Normalmente, usamos a multiplicação cruzada quando temos equações de uma variável, incluindo frações. Por exemplo, isso envolve expressões do tipo:

2x=5713,4=9x1023x=218\begin{split} \frac{2}{x}& = \frac{5}{7}\\ \\[1.5em] -\frac{1}{3{,}4} &= \frac{9x}{10}\\ \\[1.5em] \frac{2}{3}x &= \frac{21}{8} \end{split}

Observe como podemos ter números negativos ou decimais nos numeradores ou denominadores. Além disso, no último exemplo, xx está fora da fração, mas podemos facilmente colocá-lo dentro dela seguindo as regras básicas sobre como calcular a multiplicação de frações 🇺🇸:

23x=23×x1=2×x3×1=2x3\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}\times\frac{x}{1}=\frac{2\times x}{3\times1}=\frac{2x}{3}

Essas equações, mesmo que pareçam sofisticadas, devem seguir as mesmas regras que qualquer outra. Em particular, podemos somar ou subtrair qualquer número e podemos multiplicar ou dividir por qualquer valor diferente de zero, desde que o façamos em ambos os lados do sinal de igualdade. Para nossos propósitos, o último par de operações aritméticas é crucial: faremos a multiplicação e a divisão cruzadas para encontrar o valor de xx.

Como fazer a multiplicação cruzada de frações

A pista está no nome "multiplicação cruzada". Vamos calcular o produto dos valores em um padrão cruzado:

numesquerdo×dendireito=numdireito×denesquerdo\scriptsize \text{num}_\text{esquerdo}\times\text{den}_{\text{direito}}=\text{num}_\text{direito}\times\text{den}_{\text{esquerdo}}

onde num\text{num} e den\text{den} são, respectivamente, o numerador e o denominador. E se você usar os símbolos que aparecem na calculadora de multiplicação cruzada da Omni, ou seja, usar a equação:

AB=CD\frac{A}{B}=\frac{C}{D}

você obtém a expressão:

A×D=B×CA\times D = B\times C

De fato, isso é tudo o que há para resolver xx com frações. Afinal, quando multiplicamos, não temos mais frações, portanto, podemos recorrer a outros métodos conhecidos para lidar com equações. Por exemplo, se você quisesse encontrar AA a partir da fórmula acima, bastaria dividir ambos os lados por DD:

A×DD=B×CDA=B×CD\begin{split} \frac{A\times D}{D}&=\frac{B\times C}{D}\\ \\[1.5 em] A&=\frac{B\times C}{D} \end{split}

Observe que, seja qual for a letra que precisarmos (ou seja, seja qual for o numerador ou denominador), o procedimento ainda será o mesmo: multiplicar e dividir de forma cruzada. A diferença está apenas no valor pelo qual dividimos na segunda etapa. Para sermos mais precisos, dividimos por:

  • DD ao calcular AA;
  • CC ao calcular BB;
  • BB ao calcular CC; e
  • AA ao calcular DD.

Além disso, lembre-se de que sempre podemos trocar os lados de uma equação. Portanto, sempre podemos mudar a fórmula:

numesquerdo×dendireito=numdireito×denesquerdo\scriptsize \text{num}_\text{esquerdo}\times\text{den}_{\text{direito}}=\text{num}_\text{direito}\times\text{den}_{\text{esquerdo}}

em:

numdireito×denesquerdo=numesquerdo×dendireito\scriptsize \text{num}_\text{direito}\times\text{den}_{\text{esquerdo}}=\text{num}_\text{esquerdo}\times\text{den}_{\text{direito}}

No entanto, observe que os pares permanecem os mesmos: preservando o padrão da multiplicação cruzada.

Muito bem, as instruções sobre como fazer a multiplicação cruzada parecem bastante fáceis, você não acha? Já é hora de você passar dos símbolos e da teoria para os números e a prática. E, para matar dois coelhos com uma cajadada só, aproveitaremos a oportunidade para deixar nossa calculadora de multiplicação cruzada brilhar.

Exemplo: usando a calculadora de multiplicação cruzada

Suponha que você esteja construindo um modelo de avião. Depois de algumas horas de colagem meticulosa, o avião está pronto: ele ficará incrível exposto na prateleira para todos admirarem. Mas agora que a parte do faça-você-mesmo terminou, por que não aprendemos algo sobre isso? Vamos calcular o tamanho do equivalente na vida real.

A caixa diz que o modelo é feito em uma escala 1:1001:100. Você pega uma régua e verifica que sua criação tem 7474 centímetros de comprimento. Acredite você ou não, isso é tudo de que precisamos para encontrar a resposta. O truque está em compreender bem como funciona a escala: a taxa unitária na caixa é proporcional à razão entre os comprimentos do modelo e da vida real. No nosso caso, isso significa que 7474 **centímetros é para o comprimento real da aeronave como ** 11 é para 100100:

74x=1100\frac{74}{x}=\frac{1}{100}

onde xx denota o valor que buscamos. No entanto, antes de nos apressarmos em resolvê-lo por conta própria, vamos ver como a tarefa é fácil com a calculadora de multiplicação cruzada da Omni à mão.

Na parte superior de nossa ferramenta, temos a fórmula:

AB=CD\frac{A}{B}=\frac{C}{D}

e quatro campos variáveis correspondentes às letras. Como diz a calculadora de multiplicação cruzada, é suficiente inserir três dos valores, então, olhamos para o nosso problema e escrevemos:

  • A=74A = 74, C=1C = 1, e D=100D = 100.

No momento em que inserirmos o terceiro número, a ferramenta mostrará a resposta. Observe como ela também fornece uma explicação passo a passo abaixo: a mesma que daremos agora.

Começamos fazendo o que a seção anterior nos ensinou: multiplicamos as frações de forma cruzada:

74x=1100\frac{74}{x}=\frac{1}{100}

Portanto:

x×1=74×100x\times 1 = 74\times 100

O que dá:

x=7.400x = 7.400

Normalmente, ainda precisaríamos dividir o resultado pelo número que está na frente de xx. No entanto, no nosso caso, esse número acabou sendo 11, portanto, não há necessidade.

Temos a resposta! A aeronave na vida real tem 7474 metros de comprimento. Bem, provavelmente deveríamos passar da calculadora de multiplicação cruzada para um conversor de comprimento para obter uma resposta mais razoável, você não acha?

Os modelos geralmente são construídos em escalas diferentes: 1:721:72, 1:481:48, e assim sucessivamente. Saiba como você pode passar rapidamente de uma para outra com nossa calculadora de escala.

FAQ

Como resolver x com frações?

Para resolver x com frações, você precisa:

  1. Transformar ambos os lados em quocientes.
  2. Multiplicar transversalmente as frações.
  3. Simplificar as duas expressões.
  4. Dividir pelo que está na frente de x.
  5. Aproveite o fato de você ter resolvido a questão de x com frações.

Como multiplicar frações de forma cruzada?

Para multiplicar frações, você precisa:

  1. Certificar-se de que você tenha apenas uma fração em cada lado.
  2. Multiplicar o numerador da primeira pelo denominador da segunda.
  3. Multiplicar o numerador da segunda pelo denominador da primeira.
  4. Combinar os passos 2 a 3 em uma equação.
  5. Se necessário, resolva a equação resultante com métodos básicos.
  6. Pronto! Agora você pode aproveitar o fato de você ter multiplicado as frações de forma cruzada.

Por que a multiplicação cruzada funciona?

A multiplicação cruzada é, na verdade, uma multiplicação simples feita duas vezes.

Em primeiro lugar, multiplicamos ambos os lados pelo denominador do lado esquerdo, o que deixa apenas o numerador à esquerda (conforme as regras de simplificação de frações) e multiplica o numerador à direita (conforme as regras de multiplicação de frações). Em seguida, multiplicamos ambos os lados pelo denominador do lado direito, o que dá um produto à esquerda e elimina o denominador à direita.

Em ambos os casos, como sempre podemos multiplicar os dois lados de uma equação por um número diferente de zero, a multiplicação cruzada de fato funciona.

Como funciona a multiplicação cruzada?

Para usar a multiplicação cruzada, você precisa:

  1. Certificar-se de que você tenha apenas uma fração em cada lado.
  2. Multiplicar o numerador da primeira pelo denominador da segunda.
  3. Multiplicar o numerador da segunda pelo denominador da primeira.
  4. Combinar os passos 2 a 3 em uma equação.
  5. Se necessário, resolva a equação resultante com métodos básicos.
  6. Pronto! Agora você pode aproveite o fato de ter multiplicado as frações de forma cruzada.

Como comparar frações usando a multiplicação cruzada?

Para comparar frações usando a multiplicação cruzada, você precisa:

  1. Certificar-se de que você tenha apenas uma fração em cada lado.
  2. Multiplicar o numerador da primeira pelo denominador da segunda.
  3. Multiplicar o numerador da segunda pelo denominador da primeira.
  4. Comparar os valores das etapas 2 e 3.
  5. Se o valor da etapa 2 foi:
    • Menor, então a primeira fração é menor; ou
    • Maior, então a primeira fração é maior.
  6. Se um dos multiplicadores for negativo, mude o resultado do passo 5 de forma oposta.
  7. Divirta-se ao comparar frações usando a multiplicação cruzada.

Como resolver proporções usando a multiplicação cruzada?

Para resolver proporções usando a multiplicação cruzada, você precisa:

  1. Certificar-se de que você tenha apenas uma fração em cada lado.
  2. Multiplicar o numerador da primeira pelo denominador da segunda.
  3. Multiplicar o numerador da segunda pelo denominador da primeira.
  4. Combinar os passos 2 a 3 em uma equação.
  5. Resolver a equação resultante com métodos básicos.
  6. Sentir-se satisfeito por resolver uma proporção usando a multiplicação cruzada.
Maciej Kowalski, PhD candidate

A typical cross multiplication equation.

Enter any three numbers:
A
B
C
D
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