Calculadora de Direção de Vetor

Se quiser calcular a direção de um vetor, você está no lugar certo. Com essa calculadora Omni, você encontra o ângulo de direção de um vetor e calcula um vetor unitário nessa direção.

Os vetores são uma ferramenta poderosa para representar muitos parâmetros no nosso mundo físico. Eles representam forças, velocidades, aceleração, etc.

Além da direção, encontrar a magnitude do vetor também é possível se você escolher o Modo Avançado dessa calculadora. Portanto, com essa ferramenta, você pode encontrar a magnitude e o ângulo de direção de qualquer vetor.

Você pode expressar ou calcular a direção de um vetor v de duas maneiras:

1. Calculando o ângulo de direção do vetor v. O ângulo de direção é o ângulo que v forma com o eixo x positivo, contando no sentido anti-horário.
2. Calculando um vetor unitário na direção do mesmo vetor. Esse vetor unitário é chamado de vetor de direção.

Para calcular o ângulo $\theta$ que um vetor bidimensional $\vec{v} = (x, y)$ forma com o eixo horizontal, use esta equação:

O único problema com essa equação é que ela não nos dá o ângulo em relação ao eixo x positivo, mas apenas em relação ao eixo horizontal mais próximo. Se o seu vetor estiver no primeiro quadrante do plano cartesiano, como o vetor que aponta para $P(3, 5)$ na imagem, isso não é um problema.

Mas e se o vetor estiver em qualquer um dos outros quadrantes? Suponha que você queira encontrar o ângulo de direção $\theta$ do vetor $Q = (-2, 4)$ da imagem anterior. Se você usasse a fórmula anterior para encontrar o ângulo de direção, não obteria o ângulo correto, pois encontraria o ângulo $\gamma$ em vez do ângulo de direção $\theta$.

Como lidar com isso? Bem, nesse caso, você deve ter notado que $\theta = 180^\circ - \gamma$. Você pode estender esse raciocínio para os outros casos e propor as seguintes equações para calcular a direção do vetor em cada quadrante:

• No primeiro quadrante, $\theta_\text{I} = \arctan(\frac{y}{x})$.
• No segundo quadrante, $\theta_\text{II} = 180° - \arctan(\frac{y}{x})$.
• No terceiro quadrante, $\theta_\text{III} = 180° + \arctan(\frac{y}{x})$.
• No quarto quadrante, $\theta_\text{IV} = 360° - \arctan(\frac{y}{x})$.

Para encontrar um vetor unitário û na direção de outro vetor v = (x, y, z), siga os passos a seguir:

1. Encontre a magnitude do vetor v:

   |v| = √(x² + y² + z²)

2. Divida cada coeficiente do vetor v pela magnitude de v:

   û = v/|v| = (x/|v|, y/|v|, z/|v|)

3. É isso! Você agora tem o vetor unitário na direção de v.

Para encontrar um vetor de magnitude específica na direção de outro vetor v = (x, y, z):

1. Encontre a magnitude do vetor v:

   |v| = √(x² + y² + z²)

2. Encontre um vetor unitário û na direção de v. Para fazer isso, divida cada coeficiente do vetor v pela magnitude do vetor:

   û = v/|v| = (x/|v|, y/|v|, z/|v|)

3. Multiplique a magnitude do vetor desejado pelo vetor unitário û. Isso resultará no vetor desejado.

Para encontrar a magnitude e a direção de dois vetores, você deve encontrar o vetor resultante (você pode usar nossa calculadora de soma de vetores para fazer isso) e aplicar a ele os passos descritos acima.

Agora que você imagina como encontrar a magnitude e o ângulo de direção de um vetor, vamos ver alguns exemplos numéricos e perguntas frequentes.

Para encontrar um vetor de magnitude 3 na direção de v = 12i - 5k:

1. Encontre a magnitude de v:

   |v|= √(12² + (-5)²) = 13

2. Encontre um vetor unitário û na direção de v. Para fazer isso, divida v por sua magnitude:

   û = v/|v| = (12/13)i − (5/13)k

3. Multiplique a magnitude desejada 3 pelo vetor unitário û. Você obtém o vetor w:

   w = 3û = (36/13)i − (15/13)k que tem a direção e a magnitude desejadas.

Para calcular um vetor unitário na direção de v = i + j + 2k:

1. Encontre a magnitude de v:

   |v| = √(1² + 1² + 2²) = √6 ≈ 2,4495

2. Divida o vetor v por sua magnitude:

   û = v/|v| = (1/√6)i + (1/√6)j + (2/√6)k

3. É isso! û é o vetor unitário na direção de v.

O produto escalar de dois vetores na mesma direção é sempre positivo. Isso ocorre porque o produto escalar de dois vetores na mesma direção é igual à multiplicação de suas magnitudes, e suas magnitudes são sempre positivas.

Para encontrar a magnitude e a direção da soma de dois vetores:

1. Encontre a resultante dos dois vetores.
2. Some o quadrado de cada um dos componentes do vetor resultante.
3. Pegue a raiz quadrada do resultado anterior, e essa é a magnitude da soma de seus dois vetores!
4. Para calcular a direção do vetor v = (x, y), use a fórmula θ = arctan(y/x), em que θ é o menor ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal, e x e y são os componentes do vetor resultante.