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Calculadora de Círculo Unitário

Boas-vindas à calculadora do círculo unitário da Omni ⭕. Nossa ferramenta ajudará você a determinar as coordenadas de qualquer ponto de um círculo unitário. Basta inserir o ângulo ∡ e mostraremos a você o seno e o cosseno desse ângulo.

Se você não tiver certeza do que é um círculo unitário, role para baixo e você encontrará a resposta. O gráfico de círculo unitário e uma explicação sobre como encontrar a tangente do círculo unitário, o seno e o cosseno também estão aqui, portanto, não espere mais! Se quiser aprender outras propriedades das funções trigonométricas, não deixe de acessar a nossa calculadora de trigonometria!

O que é um círculo unitário?

Um círculo unitário, também conhecido como círculo trigonométrico, é um círculo com um raio igual a 1 (raio unitário). Na maioria dos casos, ele é centralizado no ponto (0,0)(0,0), a origem do sistema de coordenadas.

O círculo unitário é um conceito muito útil quando você quer aprender trigonometria e conversão de ângulos.

Círculo unitário em um sistema de coordenadas

Agora que você sabe o que é um círculo unitário, vamos prosseguir com as relações trigonométricas no contexto do círculo unitário.

Círculo unitário: seno e cosseno

OK, então por que o círculo unitário é tão útil na trigonometria?

Explicação curta:

Relações do círculo unitário para seno e cosseno:

  • Seno é a coordenada y; e
  • Cosseno é a coordenada x

🙋 Você precisa de uma introdução às funções seno e cosseno? Visite a calculadora de seno 🇺🇸 e a calculadora de cosseno 🇺🇸!

Explicação padrão:

Tomemos qualquer ponto A na circunferência do círculo unitário.

Círculo unitário em um sistema de coordenadas, com ponto A(x,y)
  • As coordenadas desse ponto são xx e yy. Como se trata de um círculo unitário, o raio r é igual a 11 (a distância entre o ponto PP e o centro do círculo).
Círculo unitário em um sistema de coordenadas com o ponto A(x,y) e catetos |x| e |y|
  • Ao projetar o raio nos eixos x e y, você obterá um triângulo retângulo, onde x|x| e y|y| são os comprimentos dos catetos e a hipotenusa é igual a 11.
Círculo unitário em um sistema de coordenadas com as fórmulas para o seno e para o cosseno
  • Como em todo triângulo retângulo, você pode determinar os valores das funções trigonométricas encontrando as proporções dos lados:
sen(α)=cateto opostohipotenusa=y1=y\text{sen}(\alpha)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{y}{1} = y

Portanto, em outras palavras, o seno é a coordenada y:

cos(α)=cateto adjacentehipotenusa=x1=x\cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\mathrm{hipotenusa}} = \frac{x}{1} = x

E o cosseno é a coordenada x.

Círculo unitário em um sistema de coordenadas com o ponto A(x,y) = (cos a, sen a)

A equação do círculo unitário, que vem diretamente do teorema de Pitágoras, é a seguinte:

x2+y2=1x^2+y^2=1

Ou, analogamente:

sen2(α)+cos2(α)=1\text{sen}^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1

🙋 Para uma análise mais detalhada, acesse a calculadora de tangente 🇺🇸 da Omni!

Essa conexão entre trigonometria e triângulos é mesmo surpreendente! Saiba mais sobre esses conceitos importantes na nossa calculadora de triângulo retângulo.

Círculo unitário: tangente e outras funções trigonométricas

Você pode encontrar o valor da tangente a partir do círculo unitário diretamente se lembrar da definição de tangente:

Triângulo retângulo: ilustração da definição da tangente. Cateto oposto sobre cateto adjacente

A razão entre os catetos opostos e adjacentes de um ângulo em um triângulo retângulo

tanα=cateto opostocateto adjacente\tan{\alpha} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}

Como aprendemos na seção anterior ("Círculo unitário: seno e cosseno"), sen(α)=y\text{sen}(\alpha) = y e cos(α)=x\cos(\alpha) = x, então:

tan(α)=yx\tan(\alpha) = \frac{y}{x}

Também podemos definir a tangente do ângulo como seu seno dividido pelo cosseno:

tan(α)=sen(α)cos(α)=yx\tan(\alpha) = \frac{\mathrm{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}

O que, é claro, nos dará o mesmo resultado.

Outro método muito melhor é usar nossa calculadora de círculo unitário. 😁

Mas e se você não estiver satisfeito apenas com essa fórmula e quiser realmente ver a tangente no seu círculo unitário?

Isso é um pouco mais complicado do que determinar o seno e o cosseno, que são simplesmente as coordenadas. Há duas maneiras de mostrar a tangente no círculo unitário:

Método 1:

Tangente no círculo unitário, método 1
  1. Crie uma reta tangente ao círculo, passando ponto AA.
  2. Ela cruzará o eixo x no ponto BB.
  3. O comprimento do segmento ABˉ\bar{AB} é o valor da tangente

Método 2:

Tangente no círculo unitário, método 2
  1. Desenhe uma reta vertical em x=1x = 1.
  2. Aumente a reta que contém o raio até que ela toque a reta vertical.
  3. Nomeie a interseção dessas duas retas como ponto CC.
  4. A tangente, tan(α)\tan(\alpha), é a coordenada y do ponto CC.

Em ambos os métodos, criamos triângulos retângulos com seus catetos adjacentes iguais a 1 😎

O seno, o cosseno e a tangente não são as únicas funções que você pode construir no círculo unitário. Além da função cotangente, você também pode apresentar outras funções menos conhecidas, por exemplo, secante, cossecante e o seno verso:

Funções trigonométricas baseadas no círculo
Gráfico de Steven G. Johnson em Wikipedia Inglês, CC BY-SA.

Gráfico de círculo unitário - círculo unitário em radianos e graus

O conceito de círculo unitário é muito importante porque você pode usá-lo para encontrar o seno e o cosseno de qualquer ângulo. Apresentamos abaixo alguns ângulos comumente encontrados no gráfico do círculo unitário:

Ângulos coloridos em um círculo unitário

Por exemplo, como você pode determinar sen(150°)\mathrm{sen}(150\degree)?

  1. Procure o ângulo 150°150\degree.
  2. Como aprendemos antes, o seno é a coordenada y, portanto, tomamos a segunda coordenada do ponto correspondente no círculo unitário:
sen(150°)=12\qquad \mathrm{sen}(150\degree) = \frac{1}{2}

Como alternativa, insira o ângulo de 150° em nossa calculadora de círculo unitário. Mostraremos a você o valor sen(150°)\mathrm{sen}(150\degree) da coordenada y, bem como o cosseno, a tangente e o gráfico do círculo unitário.

Como memorizar o círculo unitário?

Bem, depende do que você quer memorizar 🙃. Há duas coisas a serem lembradas quando se trata do círculo unitário:

  1. Conversão de ângulos, ou seja, como você pode mudar entre um ângulo em graus e um em termos de π\pi (radianos do círculo unitário); e

  2. As funções trigonométricas dos ângulos populares.

Vamos começar com a primeira parte mais fácil. Os ângulos mais importantes são aqueles que você usará o tempo todo:

  • 30°=π/630\degree = \pi/6;
  • 45°=π/445\degree = \pi/4;
  • 60°=π/360\degree = \pi/3;
  • 90°=π/290\degree = \pi/2; e
  • Ângulo total, 360°=2π360\degree = 2\pi.

Como esses ângulos são muito comuns, tente memorizá-los ❤️. Para qualquer outro ângulo, você pode usar a fórmula para conversão de ângulos:

α [rad]=π180°α [graus]\alpha\ [\mathrm{rad}] = \frac{\pi}{180\degree}\cdot\alpha\ [\mathrm{graus}]

A conversão dos radianos do círculo unitário em graus não deve mais ser um problema! 💪

A outra parte: lembrar de todo o gráfico do círculo unitário, com valores de seno e cosseno. Este é um processo um pouco mais longo. Não vamos descrevê-lo aqui, mas fique à vontade para conferir essas dicas de como memorizar ângulos a partir do círculo unitário ou esta página sobre como memorizar o círculo unitário rapidamente. Se você preferir assistir a vídeos 🖥️ a ler 📘, assista a um desses dois vídeos que explicam como memorizar o círculo unitário:

  • Como memorizar os ângulos de um círculo unitário; e
  • Como montar o círculo unitário

Além disso, esta tabela com ângulos comumente usados pode ser útil:

α\mathrm{\boldsymbol{\alpha}} (ângulo)

Funções Trigonométricas

grau\mathrm{grau}

rad\mathrm{rad}

sen(α)\mathrm{sen}(\alpha)

cos(α)\cos(\alpha)

tan(α)\tan(\alpha)

30°30\degree

π/6\pi/6

1/21/2

3/2\sqrt{3}/2

3/3\sqrt{3}/3

45°45\degree

π/4\pi/4

2/2\sqrt{2}/2

2/2\sqrt{2}/2

11

60°60\degree

π/3\pi/3

3/2\sqrt{3}/2

1/21/2

3\sqrt{3}

E se algum método falhar, sinta-se à vontade para usar nossa calculadora de círculo unitário, ela sempre estará aqui para te ajudar ❤️. Esperamos que esta ferramenta permita que você entenda e memorize os parâmetros que podem ser obtidos a partir do círculo unitário!

Perguntas frequentes

Quanto vale tan 30 usando o círculo unitário?

tan 30° = 1/√3. Para obter essa resposta no círculo unitário, começamos encontrando os valores de sen e cos a partir das coordenadas y e x, respectivamente: sen 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2. Agora, use a fórmula. Lembre-se de que tan 30° = sen 30° / cos 30° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3, como afirmado. Está vendo como é fácil?

Como encontrar a cossecante com o círculo unitário?

Para determinar a cossecante de θ no círculo unitário:

  1. A partir do centro do círculo, desenhe o raio correspondente ao ângulo θ.
  2. Desenhe retas tangentes à circunferência nos pontos (0,1) e (0,-1).
  3. Estenda o raio da Etapa 1 de modo que ele intercepte uma dessas tangentes.
  4. A distância do centro até o ponto de interseção da Etapa 3 é a cossecante do seu ângulo θ.
  5. Se não houver um ponto de interseção, a cossecante de θ é indefinida (isso acontece quando sen θ = 0).

Como encontrar arcsen 1/2 com o círculo unitário?

Como o arco-seno é a função inversa do seno, encontrar arcsen(1/2) é equivalente a encontrar um ângulo cujo seno seja igual a 1/2. No círculo unitário, os valores do seno são as coordenadas y dos pontos na circunferência. Ao inspecionar o círculo unitário, vemos que a coordenada y é igual a 1/2 para o ângulo π/6, ou seja, 30°.

Unit circle in a coordinate system with Pythagorean trig identity formula.

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