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Calculadora de Círculo Unitário

Created by Hanna Pamuła, PhD
Reviewed by Dominik Czernia, PhD and Jack Bowater
Translated by João Rafael Lucio dos Santos, PhD and Marinara Andrade do Nascimento Moura, PhD candidate
Last updated: Oct 30, 2024


Boas-vindas à calculadora do círculo unitário da Omni ⭕. Nossa ferramenta ajudará você a determinar as coordenadas de qualquer ponto de um círculo unitário. Basta inserir o ângulo ∡ e mostraremos a você o seno e o cosseno desse ângulo.

Se você não tiver certeza do que é um círculo unitário, role para baixo e você encontrará a resposta. O gráfico de círculo unitário e uma explicação sobre como encontrar a tangente do círculo unitário, o seno e o cosseno também estão aqui, portanto, não espere mais! Se quiser aprender outras propriedades das funções trigonométricas, não deixe de acessar a nossa calculadora de trigonometria!

O que é um círculo unitário?

Um círculo unitário, também conhecido como círculo trigonométrico, é um círculo com um raio igual a 1 (raio unitário). Na maioria dos casos, ele é centralizado no ponto (0,0)(0,0), a origem do sistema de coordenadas.

O círculo unitário é um conceito muito útil quando você quer aprender trigonometria e conversão de ângulos.

Círculo unitário em um sistema de coordenadas

Agora que você sabe o que é um círculo unitário, vamos prosseguir com as relações trigonométricas no contexto do círculo unitário.

Círculo unitário: seno e cosseno

OK, então por que o círculo unitário é tão útil na trigonometria?

Explicação curta:

Relações do círculo unitário para seno e cosseno:

  • Seno é a coordenada y; e
  • Cosseno é a coordenada x

🙋 Você precisa de uma introdução às funções seno e cosseno? Visite a calculadora de seno 🇺🇸 e a calculadora de cosseno 🇺🇸!

Explicação padrão:

Tomemos qualquer ponto A na circunferência do círculo unitário.

Círculo unitário em um sistema de coordenadas, com ponto A(x,y)
  • As coordenadas desse ponto são xx e yy. Como se trata de um círculo unitário, o raio r é igual a 11 (a distância entre o ponto PP e o centro do círculo).
Círculo unitário em um sistema de coordenadas com o ponto A(x,y) e catetos |x| e |y|
  • Ao projetar o raio nos eixos x e y, você obterá um triângulo retângulo, onde x|x| e y|y| são os comprimentos dos catetos e a hipotenusa é igual a 11.
Círculo unitário em um sistema de coordenadas com as fórmulas para o seno e para o cosseno
  • Como em todo triângulo retângulo, você pode determinar os valores das funções trigonométricas encontrando as proporções dos lados:
sen(α)=cateto opostohipotenusa=y1=y\text{sen}(\alpha)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{y}{1} = y

Portanto, em outras palavras, o seno é a coordenada y:

cos(α)=cateto adjacentehipotenusa=x1=x\cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\mathrm{hipotenusa}} = \frac{x}{1} = x

E o cosseno é a coordenada x.

Círculo unitário em um sistema de coordenadas com o ponto A(x,y) = (cos a, sen a)

A equação do círculo unitário, que vem diretamente do teorema de Pitágoras, é a seguinte:

x2+y2=1x^2+y^2=1

Ou, analogamente:

sen2(α)+cos2(α)=1\text{sen}^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1

🙋 Para uma análise mais detalhada, acesse a calculadora de tangente 🇺🇸 da Omni!

Essa conexão entre trigonometria e triângulos é mesmo surpreendente! Saiba mais sobre esses conceitos importantes na nossa calculadora de triângulo retângulo.

Círculo unitário: tangente e outras funções trigonométricas

Você pode encontrar o valor da tangente a partir do círculo unitário diretamente se lembrar da definição de tangente:

Triângulo retângulo: ilustração da definição da tangente. Cateto oposto sobre cateto adjacente

A razão entre os catetos opostos e adjacentes de um ângulo em um triângulo retângulo

tanα=cateto opostocateto adjacente\tan{\alpha} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}

Como aprendemos na seção anterior ("Círculo unitário: seno e cosseno"), sen(α)=y\text{sen}(\alpha) = y e cos(α)=x\cos(\alpha) = x, então:

tan(α)=yx\tan(\alpha) = \frac{y}{x}

Também podemos definir a tangente do ângulo como seu seno dividido pelo cosseno:

tan(α)=sen(α)cos(α)=yx\tan(\alpha) = \frac{\mathrm{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}

O que, é claro, nos dará o mesmo resultado.

Outro método muito melhor é usar nossa calculadora de círculo unitário. 😁

Mas e se você não estiver satisfeito apenas com essa fórmula e quiser realmente ver a tangente no seu círculo unitário?

Isso é um pouco mais complicado do que determinar o seno e o cosseno, que são simplesmente as coordenadas. Há duas maneiras de mostrar a tangente no círculo unitário:

Método 1:

Tangente no círculo unitário, método 1
  1. Crie uma reta tangente ao círculo, passando ponto AA.
  2. Ela cruzará o eixo x no ponto BB.
  3. O comprimento do segmento ABˉ\bar{AB} é o valor da tangente

Método 2:

Tangente no círculo unitário, método 2
  1. Desenhe uma reta vertical em x=1x = 1.
  2. Aumente a reta que contém o raio até que ela toque a reta vertical.
  3. Nomeie a interseção dessas duas retas como ponto CC.
  4. A tangente, tan(α)\tan(\alpha), é a coordenada y do ponto CC.

Em ambos os métodos, criamos triângulos retângulos com seus catetos adjacentes iguais a 1 😎

O seno, o cosseno e a tangente não são as únicas funções que você pode construir no círculo unitário. Além da função cotangente, você também pode apresentar outras funções menos conhecidas, por exemplo, secante, cossecante e o seno verso:

Funções trigonométricas baseadas no círculo
Gráfico de Steven G. Johnson em Wikipedia Inglês, CC BY-SA.

Gráfico de círculo unitário - círculo unitário em radianos e graus

O conceito de círculo unitário é muito importante porque você pode usá-lo para encontrar o seno e o cosseno de qualquer ângulo. Apresentamos abaixo alguns ângulos comumente encontrados no gráfico do círculo unitário:

Ângulos coloridos em um círculo unitário

Por exemplo, como você pode determinar sen(150°)\mathrm{sen}(150\degree)?

  1. Procure o ângulo 150°150\degree.
  2. Como aprendemos antes, o seno é a coordenada y, portanto, tomamos a segunda coordenada do ponto correspondente no círculo unitário:
sen(150°)=12\qquad \mathrm{sen}(150\degree) = \frac{1}{2}

Como alternativa, insira o ângulo de 150° em nossa calculadora de círculo unitário. Mostraremos a você o valor sen(150°)\mathrm{sen}(150\degree) da coordenada y, bem como o cosseno, a tangente e o gráfico do círculo unitário.

Como memorizar o círculo unitário?

Bem, depende do que você quer memorizar 🙃. Há duas coisas a serem lembradas quando se trata do círculo unitário:

  1. Conversão de ângulos, ou seja, como você pode mudar entre um ângulo em graus e um em termos de π\pi (radianos do círculo unitário); e

  2. As funções trigonométricas dos ângulos populares.

Vamos começar com a primeira parte mais fácil. Os ângulos mais importantes são aqueles que você usará o tempo todo:

  • 30°=π/630\degree = \pi/6;
  • 45°=π/445\degree = \pi/4;
  • 60°=π/360\degree = \pi/3;
  • 90°=π/290\degree = \pi/2; e
  • Ângulo total, 360°=2π360\degree = 2\pi.

Como esses ângulos são muito comuns, tente memorizá-los ❤️. Para qualquer outro ângulo, você pode usar a fórmula para conversão de ângulos:

α [rad]=π180°α [graus]\alpha\ [\mathrm{rad}] = \frac{\pi}{180\degree}\cdot\alpha\ [\mathrm{graus}]

A conversão dos radianos do círculo unitário em graus não deve mais ser um problema! 💪

A outra parte: lembrar de todo o gráfico do círculo unitário, com valores de seno e cosseno. Este é um processo um pouco mais longo. Não vamos descrevê-lo aqui, mas fique à vontade para conferir essas dicas de como memorizar ângulos a partir do círculo unitário ou esta página sobre como memorizar o círculo unitário rapidamente. Se você preferir assistir a vídeos 🖥️ a ler 📘, assista a um desses dois vídeos que explicam como memorizar o círculo unitário:

  • Como memorizar os ângulos de um círculo unitário; e
  • Como montar o círculo unitário

Além disso, esta tabela com ângulos comumente usados pode ser útil:

α\mathrm{\boldsymbol{\alpha}} (ângulo)

Funções Trigonométricas

grau\mathrm{grau}

rad\mathrm{rad}

sen(α)\mathrm{sen}(\alpha)

cos(α)\cos(\alpha)

tan(α)\tan(\alpha)

30°30\degree

π/6\pi/6

1/21/2

3/2\sqrt{3}/2

3/3\sqrt{3}/3

45°45\degree

π/4\pi/4

2/2\sqrt{2}/2

2/2\sqrt{2}/2

11

60°60\degree

π/3\pi/3

3/2\sqrt{3}/2

1/21/2

3\sqrt{3}

E se algum método falhar, sinta-se à vontade para usar nossa calculadora de círculo unitário, ela sempre estará aqui para te ajudar ❤️. Esperamos que esta ferramenta permita que você entenda e memorize os parâmetros que podem ser obtidos a partir do círculo unitário!

FAQ

Quanto vale tan 30 usando o círculo unitário?

tan 30° = 1/√3. Para obter essa resposta no círculo unitário, começamos encontrando os valores de sen e cos a partir das coordenadas y e x, respectivamente: sen 30° = 1/2 e cos 30° = √3/2. Agora, use a fórmula. Lembre-se de que tan 30° = sen 30° / cos 30° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3, como afirmado. Está vendo como é fácil?

Como encontrar a cossecante com o círculo unitário?

Para determinar a cossecante de θ no círculo unitário:

  1. A partir do centro do círculo, desenhe o raio correspondente ao ângulo θ.
  2. Desenhe retas tangentes à circunferência nos pontos (0,1) e (0,-1).
  3. Estenda o raio da Etapa 1 de modo que ele intercepte uma dessas tangentes.
  4. A distância do centro até o ponto de interseção da Etapa 3 é a cossecante do seu ângulo θ.
  5. Se não houver um ponto de interseção, a cossecante de θ é indefinida (isso acontece quando sen θ = 0).

Como encontrar arcsen 1/2 com o círculo unitário?

Como o arco-seno é a função inversa do seno, encontrar arcsen(1/2) é equivalente a encontrar um ângulo cujo seno seja igual a 1/2. No círculo unitário, os valores do seno são as coordenadas y dos pontos na circunferência. Ao inspecionar o círculo unitário, vemos que a coordenada y é igual a 1/2 para o ângulo π/6, ou seja, 30°.

Hanna Pamuła, PhD
Unit circle in a coordinate system with Pythagorean trig identity formula.
Angle
deg
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