Calculadora de Centroide

Com a calculadora de centroide da Omni, você poderá encontrar o centroide de muitas formas 2D, bem como de um conjunto de pontos. Com apenas alguns cliques e vários números inseridos, você pode encontrar o centroide de um retângulo, triângulo, trapézio, ou qualquer outra forma imaginável. As únicas restrições são que o polígono deve ser fechado, não se autointerseccionar e consistir em um máximo de dez vértices. Além disso, se você estiver procurando uma definição simples de centroide ou fórmulas que expliquem como encontrar o centroide, não vai se decepcionar. Aqui você vai encontrar tudo isso e muito mais.

Um centroide, também chamado de centro geométrico, é o centro de massa de um objeto de densidade uniforme. Para facilitar a compreensão, você pode imaginá-lo como o ponto no qual deve posicionar a ponta de um alfinete para que sua figura geométrica fique equilibrada sobre ele.

Agora que você conhece a definição de centroide, vamos explicar como localizá-lo. Na seção a seguir, mostraremos a você a fórmula do centroide.

Em geral, um centroide é a média aritmética de todos os pontos da forma. As coordenadas x e y do centroide são:

Gₓ = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_k) / k

Gᵧ = (y₁ + y₂ + y₃ +... + y_k) / k

onde (x₁,y₁), ..., (x_k,y_k) são os vértices de nossa forma.

Para formas convexas, o centroide fica dentro do objeto; para formas côncavas, o centroide pode ficar do lado de fora (por exemplo, em um objeto em forma de anel).

Encontrar o centroide de um triângulo ou de um conjunto de pontos é uma tarefa fácil, a fórmula é realmente intuitiva. No entanto, se você estiver procurando o centroide de um polígono, como um retângulo, um trapézio, um losango, um paralelogramo, ou até mesmo um quadrilátero irregular, a tarefa fica um pouco mais complicada.

Para encontrar o centroide de um triângulo ABC, você precisa encontrar a média das coordenadas dos vértices. Portanto, se A = (X₁,Y₁), B = (X₂,Y₂), C = (X₃,Y₃), a fórmula do centroide é:

G = [ (X₁ + X₂ + X₃)/3, (Y₁ + Y₂ + Y₃)/3 ]

Se você não quiser fazer isso manualmente, basta usar nossa calculadora de centroides! 🙂

Para triângulos especiais, você pode encontrar o centroide com bastante facilidade:

1. Centroide de um triângulo equilátero

   Se você souber o comprimento do lado, a, poderá encontrar o centroide de um triângulo equilátero:

   G = (a/2, a√3/6)

   (você pode determinar o valor de a com nossa calculadora de triângulo equilátero).

2. Centroide de um triângulo isósceles

   Se o seu triângulo isósceles tem lados de comprimento l e altura h, então o centroide é descrito como:

   G = (l/2, h/3)

   (se você não souber o comprimento do lado l ou a altura h, poderá encontrá-los com nossa calculadora de triângulo isósceles).

3. Centroide de um triângulo retângulo

   Para um triângulo retângulo, se você tiver os dois lados, b e h, poderá encontrar imediatamente a fórmula do centroide correto:

   G = (b/3, h/3)

   (a calculadora de triângulo retângulo pode ajudar você a encontrar os lados desse tipo de triângulo).

Às vezes, as pessoas se perguntam qual é o ponto médio de um triângulo, mas isso não existe! O ponto médio é um termo vinculado a um segmento de reta e, portanto, não se aplica a formas 2D.

No entanto, você pode dizer que o ponto médio de um segmento é tanto o centroide do segmento quanto o centroide dos pontos finais do segmento.

Você pode verificar isso nesta calculadora de centroides: escolha a opção N-pontos na lista suspensa, insira 2 pontos e insira algumas coordenadas aleatórias. O resultado deve ser igual ao resultado da calculadora de ponto médio.

(Lembre-se de que os cálculos não funcionarão se você usar a segunda opção, polígono de N-lados. Por quê? Porque essa fórmula usa a área da forma, e um segmento de reta não tem uma).

Para encontrar o centroide de um conjunto de k pontos, você precisa calcular a média de suas coordenadas:

Gₓ = (x₁ + x₂ + x₃ +... + x_k) / k

Gᵧ = (y₁ + y₂ + y₃ +... + y_k) / k

E é isso! Você percebeu que ele é igual à fórmula geral que apresentamos antes?

O cálculo do centroide de um conjunto de pontos é usado em muitas aplicações reais diferentes, por exemplo, na análise de dados. O método mais popular é o agrupamento k-means, em que um algoritmo tenta minimizar a distância ao quadrado entre os pontos e os centroides do agrupamento.

Para calcular o centroide de um polígono, G(C_x, C_y), que é definido por seus n vértices (x₀,_y), (x₁,y₁), ..., (x_n-1,y_n-1), tudo o que você precisa fazer é usar as três fórmulas a seguir:

onde A é a área de um polígono:

Lembre-se de que os vértices devem ser inseridos em ordem e que o polígono deve ser fechado, o que significa que o vértice (x₀, y₀) é o mesmo que o vértice (x_n, y_n).

Se essa fórmula de centroide te assusta um pouco, não fique com medo! Use a calculadora de centroide da Omni e deixe que ela implemente a equação por você.

Embora você possa encontrar muitas fórmulas diferentes para o centroide de um trapézio na Internet, as equações apresentadas acima são universais. Nelas, não é necessário que a origem coincida com um vértice, nem que a base do trapézio esteja alinhada com o eixo x. Com elas, você pode encontrar a posição do centroide conhecendo apenas os vértices. O mesmo se aplica ao centroide de um retângulo, losango, paralelogramo, pentágono ou qualquer outro polígono fechado que não se intercepte.

Para usar a calculadora de centroide da Omni, basta você inserir os vértices da forma como coordenadas cartesianas. Vejamos como encontrar o centroide de um trapézio:

1. Escolha o tipo de forma para a qual você deseja calcular o centroide. No nosso caso, escolheremos um polígono de N lados.

2. Insira o parâmetro para N (se exigido). Para o nosso exemplo, precisamos inserir o número de lados do nosso polígono. Como o trapézio é, obviamente, um quadrilátero, digitamos 4 na caixa N.

3. Em seguida, aparecerão os campos para você inserir as coordenadas. Digite as coordenadas dos vértices de sua forma. Vamos supor que os vértices de nosso trapézio sejam:
   • A = (1,1)
   • B = (2,4)
   • C = (5,4)
   • D = (11,1)
4. A calculadora de centroides exibirá a resposta! O centroide do trapézio de nossa escolha é (4,974, 2,231).

Lembre-se de que o centroide é o ponto em que as medianas se cruzam. Portanto, para encontrar o centroide em um determinado triângulo, você deve:

1. Encontrar as bissetrizes perpendiculares de quaisquer dois lados para encontrar seus pontos médios.
2. Desenhar as medianas: conecte os pontos médios com os vértices opostos.
3. Pronto! O ponto de interseção dessas medianas é o centroide do seu triângulo!

Veja como você pode determinar rapidamente o centroide de um polígono:

1. Anote as coordenadas de cada vértice do polígono.
2. Conte os vértices e denote seu número por n.
3. Some todos os valores x dos vértices e divida a soma por n.
4. Some todos os valores y dos vértices e divida a soma por n.
5. É isso! O resultado do passo 3 é a coordenada x do centroide. O resultado do passo 4 é a coordenada y do centroide.

Lembre-se de que as coordenadas do centroide são as médias das coordenadas dos vértices. Portanto, para os vértices dados, temos:

G = [(0 + 0 + 3)/3, (0 + 3 + 3)/3] = [1,2]