Kalkulator boków i kątów trójkąta prostokątnego

Obliczanie brakującego boku lub kąta nigdy nie było łatwiejsze niż z naszym narzędziem — kalkulatorem boków i kątów trójkąta prostokątnego. Wybierz dwie znane wartości, wpisz je do kalkulatora, a znajdzie on pozostałe niewiadome w mgnieniu oka! Jeśli zastanawiasz się, jak obliczyć nieznaną długość boku trójkąta prostokątnego poniżej znajdziesz wszystkie wzory, których używa nasz kalkulator.

Istnieje kilka metod obliczania długości boków trójkąta prostokątnego. W zależności od tego, jakie wartości już znamy, możemy użyć różnych zależności lub twierdzeń:

1. Znając długości dwóch boków

Jeśli znasz długości dwóch boków trójkąta prostokątnego to jedyne, co musisz zrobić, żeby znaleźć ten trzeci, to zastosować twierdzenie Pitagorasa:

a² + b² = c²

• Jeśli bok a jest bokiem o nieznanej długości, przekształć równanie do postaci, w której a jest po jednej stronie i policz pierwiastek kwadratowy:

  a = √(c² - b²).

• Jeśli szukany jest bok b, to:

  b = √(c² - a²)

• W przypadku poszukiwania przeciwprostokątnej c wzór jest następujący:

  c = √(a² + b²).

2. Znając szerokość kąta i długość przeciwprostokątnej

Zastosuj twierdzenie sinusów lub trygonometrię, aby znaleźć długości boków trójkąta prostokątnego:

• a = c ∙ sin(α) lub a = c ∙ cos(β)

• b = c ∙ sin(β) lub b = c ∙ cos(α)

3. Znając szerokość kąta i długość przyprostokątnej

Policz brakujące długości używając funkcji trygonometrycznych:

• a = b ∙ tan(α)

• b = a ∙ tan(β)

4. Znając powierzchnię i długość przyprostokątnej

Zgodnie ze wzorem na pole trójkąta, pole można obliczyć mnożąc wysokość i podstawę trójkąta, a następnie dzieląc wynik przez dwa. Trójkąt prostokątny jest szczególnym przypadkiem trójkąta różnobocznego, w którym jedna przyprostokątna jest wysokością, a druga podstawą, więc równanie upraszcza się do:

pole = a ∙ b / 2

Na przykład, jeśli znamy tylko pole trójkąta prostokątnego i długość nogi a, możemy wyprowadzić równanie dla pozostałych boków:

• b = 2 ∙ pole/ a
• c = √(a² + (2 ∙ pole/ a)²)

Jeśli oprócz kąta prostego znasz jeszcze jeden kąt to obliczenie tego trzeciego to bułka z masłem:

Znając β: α = 90 - β

Znając α: β = 90 - α

Jeśli jednak nie znasz miar kątów, za to wiesz jakie długości mają dwa boki trójkąta, wtedy znalezienie kątów trójkąta prostokątnego wymaga zastosowania kilku podstawowych funkcji trygonometrycznych:

dla α:

• sin(α) = a / c, więc α = arcsin(a / c) (odwrotny sinus);
• cos(α) = b / c, więc α = arccos(b / c) (odwrotny cosinus);
• tg(α) = a / b, więc α = arctg(a / b) (odwrotny tangens);
• ctg(α) = b / a, więc α = arcctg(b / a) (odwrotny cotangens);

i dla β:

• sin(β) = b / c, więc β = arcsin(b / c) (odwrotny sinus);
• cos(β) = a / c, więc β = arccos(a / c) (odwrotny cosinus);
• tg(β) = b / a, więc β = arctg(b / a) (odwrotny tangens);
• ctg(β) = a / b, więc β = arcctg(a / b) (odwrotny cotangens).

Znajomość długości tylko jednego boku nie wystarczy. Potrzebujesz również znać miarę jednego z kątów innych niż prosty. W przeciwnym razie jest to niemożliwe.

1. Jeśli znasz przeciwprostokątną, pomnóż ją przez sin(θ), aby otrzymać długość boku przeciwległego do kąta.

2. Alternatywnie, pomnóż przeciwprostokątną przez cos(θ), aby otrzymać bok przylegający do kąta.

3. Jeśli znasz długość przyprostokątnej, podziel ją przez cos(θ), aby otrzymać długość przeciwprostokątnej.

4. Alternatywnie, pomnóż tę długość przez tan(θ), aby otrzymać długość drugiej przyprostokątnej (naprzeciwległej do kąta).

5. Jeśli masz kąt i bok przeciwległy do niego, możesz podzielić długość boku przez sin(θ), aby otrzymać przeciwprostokątną.

6. Alternatywnie, podziel długość przez tan(θ), aby otrzymać długość boku przylegającego do kąta.

Pokażmy, jak znaleźć długość boku trójkąta prostokątnego za pomocą naszego narzędzia:

1. Załóżmy, że chcemy znaleźć brakujący bok znając powierzchnię i jedną długość boku. Wybierz odpowiednią opcję z rozwijanej listy. Znajdziesz ją na ostatnim miejscu.

2. Wpisz znane wartości. Na przykład, pole trójkąta prostokątnego jest równe 28 cm², a b = 9 cm.

3. Nasz kalkulator boków i kątów trójkąta prostokątnego wyświetli brakujące boki i kąty! Teraz wiemy, że:

   • a = 6,222 cm
   • c = 10,941 cm
   • α = 34,66°
   • β = 55,34°

Sprawdźmy teraz, jak działa obliczanie kątów trójkąta prostokątnego:

1. Odśwież kalkulator. Załóżmy, że mamy dwa boki i chcemy znaleźć wszystkie kąty. Wybierz potrzebną opcję. Znajdziesz ją na pierwszym miejscu.

2. Wprowadź długości boków. Nasz trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną równą 13 cm i przyprostokątną a = 5 cm.

3. Pojawią się brakujące boki i kąty. W naszym przykładzie b = 12 cm, α = 22,62° i β = 67,38°.

Jeśli trójkąt prostokątny jest równoramienny (tzn. jego dwie przyprostokątne są tej samej długości), to ma on jedną oś symetrii. W przeciwnym razie taki trójkąt nie będzie miał żadnych osi symetrii.

Nie. Trójkąt prostokątny nie może mieć wszystkich trzech boków równych, ponieważ jego wszystkie trzy kąty nie mogą być równe. Z definicji jeden z nich musi mieć kąt 90°. W trójkącie prostokątnym obie przyprostokątne mogą być równej długości. W takim wypadku, dwa pozostałe kąty są równe po 45° każdy.

Nie. Nie wszystkie trójkąty prostokątne są podobne, choć niektóre mogą być. Trójkąty prostokątne są podobne, jeśli wszystkie ich kąty są tej samej szerokości lub jeśli stosunek dwóch ich boków jest taki sam.