Kalkulator pierwiastków

Witaj w kalkulatorze pierwiastków, w którym razem przejdziemy przez teorię i praktykę sposobu obliczania pierwiastka n-tego stopnia z liczby, zwanego również n-tym pierwiastkiem.

Zaczniemy od szybkiego wyjaśnienia, czym jest pierwiastek w matematyce i podamy kilka łatwych przykładów, które być może już widziałeś/aś, takich jak pierwiastek kwadratowy z 2, pierwiastek kwadratowy z 3 lub pierwiastek sześcienny z 4. Ale co, jeśli chcesz znaleźć pierwiastek 4. stopnia? Poprzednie były dość proste, ale jaki jest, powiedzmy, pierwiastek 4. stopnia z 81? Nie martw się, niebawem ci to pokażemy.

Usiądź wygodnie, zrelaksuj się i ciesz się podróżą przez świat pierwiastków!

Wszyscy potrafimy mnożyć, prawda? Na przykład $12 \cdot 4 = 48$? Jeśli chcemy pomnożyć tę samą liczbę kilka razy, możemy zapisać ją w uproszczonej formie:

Gdzie mała cyfra $5$ jest nazywana wykładnikiem i oznacza, ile kopii dużej liczby (w tym przypadku $12$) kolejno mnożymy. Operację tę nazywamy również wzięciem $12$ do $5$-tej potęgi. Możesz zbadać tę operację matematyczną w Omni kalkulatorze potęg.

Pierwiastkowanie liczby jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Aby porównać to z biologicznym zjawiskiem, kiedy patrzymy na dorosłe drzewo, widzimy jego liście i pień, ale wszystko jest zbudowane na korzeniach. Podobnie jest z liczbami: gdy widzimy liczbę $125$, to pierwiastkowanie jej pokaże nam małe ziarenko, z którego wyrosła. W tym przykładzie pokaże nam, że ziarno to $5$, ponieważ $5^3 = 125$.

Formalnie, pierwiastek $n^{\mathrm{tego}}$ stopnia z liczby $a$ jest liczbą $b$, taką, że:

Dla przykładu przyjrzyjmy się bliżej, czym jest pierwiastek kwadratowy z danej liczby. Załóżmy, że kopiesz basen na swoim podwórku. Chcesz, aby był on tak długi, jak szeroki i w sumie zajmował powierzchnię $36$ metrów kwadratowych. Jak możesz obliczyć, jak długie powinny być jego boki? Zgadza się — obliczając pierwiastek! W tym przypadku powinien to być pierwiastek kwadratowy z powierzchni, czyli pierwiastek kwadratowy z $36$.

A czym jest pierwiastek kwadratowy z tej liczby? Zobaczmy, jak możemy go znaleźć i jak ogólnie obliczyć pierwiastek kwadratowy.

Czasami obliczanie pierwiastka w matematyce może przypominać zgadywankę. Ale to nie to samo, co rzucanie kostką z zamkniętymi oczami i zgadywanie, co otrzymasz. Jest to raczej zgadywanie oparte na matematyce. W końcu, gdy wiemy, że $3^4 = 81$, możemy bezpiecznie powiedzieć, że pierwiastek $4.$ stopnia z $81$ to $3$. Ale najpierw musimy to wiedzieć.

Co więc możemy zrobić, jeśli zapomnieliśmy w domu podręcznej tabeli stu pierwszych liczb i ich pierwszych potęg? Czy to przegrana sprawa? Na szczęście nie. Nie do końca, ale do tego jeszcze wrócimy.

Jako przykład pokażemy jak obliczyć pierwiastek kwadratowy z $72$. Naszym głównym narzędziem będzie tutaj rozkład liczby na czynniki pierwsze, czyli dzielenie $72$ na najmniejsze możliwe części.

W procedurze rozkładu na czynniki pierwsze bierzemy liczbę (w naszym przypadku $72$) i znajdujemy najmniejszą liczbę pierwszą, która ją dzieli. Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba całkowita, która ma tylko dwa dzielniki: $1$ i samą siebie. Łatwo zauważyć, że dla nas będzie to $2$, ponieważ:

Następnym krokiem jest znalezienie najmniejszej liczby pierwszej z wyniku dzielenia liczby przez liczbę pierwszą, tj. liczby $36$. Jeśli będziemy to kontynuować, aż dojdziemy do $1$, otrzymamy następujące liczby pierwsze: $2$, $2$, $2$, $3$, $3$. Jest to rozkład na czynniki pierwsze (faktoryzacja) $72$, co oznacza, że:

Czy coś jest dla ciebie niejasne w kwestii rozkładu liczby na czynniki pierwsze? Nie martw się, to całkiem interesujący problem matematyczny, czasami trudny do rozwiązania nawet dla komputerów! Możesz dowiedzieć się więcej (prawie wszystko) na ten temat w Omni kalkulatorze rozkładu na czynniki 🇺🇸.

Teraz, jeśli znajdziemy pary tych samych liczb, zobaczymy, że mamy kilka $2$, kilka $3$ i pozostaje jedna $2$. To pozwala nam zapisać pierwiastek kwadratowy z $72$ jako:

Bystre oko zauważy, że jedynymi liczbami, które pozostają pod pierwiastkiem, są właśnie samotnicy, którzy nie znaleźli pary.

Ale co z $2$? Jaki jest pierwiastek kwadratowy z $2$? Cóż, o to właśnie chodziło z tym „niecałkowicie”. Pierwiastek kwadratowy z $2$, pierwiastek kwadratowy z $3$ lub jakiejkolwiek innej liczby pierwszej prowadzi nas z powrotem do zgadywania. Na szczęście możemy użyć naszego kalkulatora pierwiastków, aby obliczyć, że $\sqrt{2} \approx 1,4142$, co daje nam:

Zasadniczo, gdy jesteśmy pytani „jaki jest pierwiastek kwadratowy z...,”, powinniśmy najpierw wykonać rozkład na czynniki pierwiastków, aby rozwiązać problem, a jeśli (jak powyżej) zostanie nam jakaś mała cyfra na końcu, musimy po prostu użyć narzędzia takiego jak kalkulator pierwiastków, aby ją znaleźć.

„Ale co z pierwiastkami wyższych stopni? Co jeśli potrzebuję np. pierwiastka 4. stopnia z liczby?” Cóż, jak dobrze, że o to pytasz! Właśnie tym problemem zajmiemy się w następnej sekcji.

Przypomnij sobie, jak chciałeś/aś wykopać basen w pierwszej sekcji. Teraz załóżmy, że chcesz, aby całość była sześcianem, który mieści $512$ metrów sześciennych wody. (Nie pytaj nas dlaczego. Być może od tego zależy, czy wystarczy zgłosić budowę, czy musisz uzyskać na nią pozwolenie)

Jak możesz znaleźć bok takiego basenu? Tak — obliczając pierwiastek sześcienny z tej liczby. To powie nam, że długość powinna wynosić:

Ale jak się tam dostaliśmy? Na szczęście procedura się nie zmienia, stosujemy rozkład na czynniki pierwsze. Jeśli zastosujemy tę procedurę do $512$, otrzymamy:

Teraz dochodzimy do rzeczy, która jest inna — zamiast par, grupujemy liczby w trójki. To właśnie sugeruje mały $3$ w symbolu pierwiastka — potrzebujemy trzecich potęg. Zauważ, że pierwiastki kwadratowe są w rzeczywistości pierwiastkami rzędu $2$, ale nie piszemy $2$, ponieważ... Cóż, jeśli nie musimy tego robić z jednego typu pierwiastka, równie dobrze może to być najprostsza jego odmiana. To tylko konwencja i tradycja. Potraktuj to jako matematyczny odpowiednik pieczenia makowca na Boże Narodzenie.

W każdym razie, wracając do naszego problemu, grupowanie pozwala nam napisać:

Jeśli przejdziemy do pierwiastków wyższych stopni, stosuje się tę samą zasadę. Obliczając pierwiastek czwartego stopnia, grupujemy liczby czwórkami. Na przykład, jeśli potrzebujesz pierwiastka $4^{\mathrm{tego}}$ stopnia z $81$, zauważ, że:

Mamy więc cztery $3$. Oznacza to, że pierwiastek $4.$ stopnia z $81$ jest równy $3$. Jeśli potrzebujemy pierwiastka n-tego stopnia, bierzemy grupy elementów w liczbie $n$. A jeśli coś zostanie po rozkładzie na czynniki, po prostu znajdziemy to za pomocą jakiegoś zewnętrznego narzędzia, takiego jak nasz kalkulator pierwiastków.

W porządku, po całym tym czasie spędzonym na czytaniu teorii, najwyższy czas spojrzeć na rzeczywisty przykład i zobaczyć kalkulator pierwiastków w akcji, nie sądzisz?

Gratulacje, to chłopiec! Teraz gdy zostałeś/aś rodzicem, postanawiasz wziąć się za siebie i zaoszczędzić trochę pieniędzy na poczet przyszłych studiów. Decydujesz się wziąć sporą część swoich oszczędności i zostawić je w banku na następne osiemnaście lat, aby kwota rosła wraz z dzieckiem.

Załóżmy, że udało ci się odłożyć solidną kwotę $32\ 000$ złotych (nazwijmy tę kwotę $\mathrm{start}$). Niestety w jakiś sposób zapomniałeś/aś o oprocentowaniu inwestycji, ale co się stało, to się nie odstanie. Kwota na koniec będzie takim samym zaskoczeniem dla ciebie, jak i dla twojego syna.

Czas mija, lata mijają i w końcu nadszedł czas, aby podarować dziecku zaoszczędzone pieniądze. Dzwonisz do banku i okazuje się, że na koncie jest $46\ 400$ złotych (nazwiemy to zmienną $\mathrm{koniec}$). Nieźle, prawda? Wygląda na to, że będziesz w stanie spełnić marzenia swojego syna.

Ale, tak dla siebie, z czystej ciekawości, czy możemy obliczyć stopę procentową na podstawie liczb, które mamy?

Oczywiście, że możemy, a pomoże nam w tym kalkulator pierwiastków!

Załóżmy, że odsetki były dopisywane do konta na koniec każdego roku, a pieniądze nie były w ogóle opodatkowane (tak, wiemy, że to trochę naciągane). Wtedy kwota, którą otrzymamy na koniec, jest opisana wzorem:

Gdzie wykładnik $18$ pochodzi z osiemnastu lat, które pieniądze spędziły w banku: jest to formuła, którą możesz spotkać w kalkulatorze odsetek prostych. W naszym przypadku przekłada się to na:

Jeśli podzielimy obie strony przez $32\ 000\ zł$, otrzymamy tę wartość:

Lub po przybliżeniu:

Więc jeśli mamy $18.$ potęgę po prawej stronie, musimy znaleźć pierwiastek $18.$ stopnia po lewej stronie. Teraz jest to coś nieco bardziej skomplikowanego niż pierwiastek kwadratowy z $3$, prawda?

Zwracamy się do naszego kalkulatora pierwiastków. Mamy tam dwie liczby: $a$ i $n$. Patrząc na symboliczny obrazek, widzimy, że $n$ jest stopniem pierwiastka, więc wprowadzamy $n = 18$. Z kolei $a$ to liczba pod pierwiastkiem, więc bierzemy $a = 1,45$. To sprawia, że kalkulator pierwiastków podaje odpowiedź:

Jeśli przeliczymy liczbę dziesiętną na procenty, otrzymamy:

Wydaje się dość mały, ale za to jak urósł w ciągu osiemnastu lat!

W porządku, ciekawość zaspokojona, czas wrócić do urodzinowego tortu. Miejmy tylko nadzieję, że twój syn dobrze wykorzysta pieniądze i będzie kontynuował naukę.