Omni Calculator logo

Kalkulator okręgu jednostkowego

Created by Hanna Pamuła, PhD
Reviewed by Dominik Czernia, PhD and Jack Bowater
Translated by Dawid Siuda and Joanna Śmietańska, PhD
Last updated: Oct 30, 2024


Witamy w kalkulatorze okręgu jednostkowego ⭕. Nasze narzędzie pomoże ci określić współrzędne dowolnego punktu na okręgu jednostkowym. Po prostu wprowadź kąt ∡, a my obliczymy sinus i cosinus kąta.

Jeśli nie wiesz czym jest okrąg jednostkowy, przewiń w dół, a znajdziesz odpowiedź. Wykres okręgu jednostkowego oraz wyjaśnienie jak znaleźć styczną do okręgu jednostkowego, sinus i cosinus są zawarte w poniższym artykule, więc nie czekaj dłużej — czytaj dalej, aby poznać tajniki trygonometrii!

Co to jest okrąg jednostkowy?

Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu 1 (promień jednostkowy). W większości przypadków jego środek znajduje się w punkcie (0,0)(0,0), będącym początkiem układu współrzędnych.

Okrąg jednostkowy jest bardzo przydatnym pojęciem podczas nauki trygonometrii i konwersji kątów.

Okrąg jednostkowy w układzie współrzędnych.

Teraz gdy już wiesz, czym jest okrąg jednostkowy, przejdźmy do relacji matematycznych w okręgu o promieniu jednostkowym.

Okrąg jednostkowy: sinus i cosinus

OK, więc dlaczego okrąg jednostkowy jest tak przydatny w trygonometrii?

W skrócie:

Relacje okręgu jednostkowego dla sinusa i cosinusa:

  • Sinus jest współrzędną y.
  • Cosinus jest współrzędną x.

🙋 Potrzebujesz wprowadzenia do sinusów i cosinusów? Odwiedź nasz kalkulator sinusów 🇺🇸 i kalkulator cosinusów 🇺🇸!

Standardowe wyjaśnienie:

Weźmy dowolny punkt A na obwodzie okręgu jednostkowego.

Okrąg jednostkowy w układzie współrzędnych, z punktem A(x,y).
  • Współrzędne tego punktu to xx i yy. Ponieważ jest to okrąg jednostkowy, promień r jest równy 11 (odległość między punktem PP a środkiem okręgu).
Okrąg jednostkowy w układzie współrzędnych z punktem A(x,y) i ramieniem |x| i |y|.
  • Rzutując promień na osie x i y, otrzymamy trójkąt prostokątny, w którym x|x| i y|y| są długościami przyprostokątnych, a przeciwprostokątna jest równa 11.
Okrąg jednostkowy w układzie współrzędnych ze wzorami sinusa i cosinusa.
  • Jak w każdym trójkącie prostokątnym, możesz określić wartości funkcji trygonometrycznych, znajdując stosunki boków:
sin(α)=dalsza  przyprostokątnaprzeciwprostokątna=y1=y\sin(\alpha)=\frac{\mathrm{dalsza\; przyprostokątna}}{\mathrm{przeciwprostokątna}} = \frac{y}{1} = y

Innymi słowy, sinus jest współrzędną y:

cos(α)=bliz˙sza  przyprostokątnaprzeciwprostokątna=x1=x\cos(\alpha) = \frac{\mathrm{bliższa\; przyprostokątna}}{\mathrm{przeciwprostokątna}} = \frac{x}{1} = x

A cosinus to współrzędna x.

Okrąg jednostkowy w układzie współrzędnych z punktem A(x,y) = (cos a, sin a).

Równanie okręgu jednostkowego, wynikające bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa, wygląda następująco:

x2+y2=1x^2+y^2=1

Lub analogicznie:

sin2(α)+cos2(α)=1\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1

🙋 W celu wykonania dogłębnej analizy stworzyliśmy kalkulator tangensa 🇺🇸!

Ten ścisły związek między trygonometrią a trójkątami nie może być bardziej zaskakujący! Dowiedz się więcej o tych ważnych pojęciach w Omni kalkulatorze trójkąta prostokątnego.

Styczna do okręgu jednostkowego i inne funkcje trygonometryczne

Możesz znaleźć wartość stycznej okręgu jednostkowego bezpośrednio, jeśli pamiętasz definicję stycznej:

Trójkąt prostokątny: ilustracja definicji stycznej. Przeciwległy bok nad sąsiednim.

Stosunek przeciwległych i przyległych boków do kąta w trójkącie prostokątnym.

tgα=dalsza  przyprostokątnabliz˙sza  przyprostokątna\tg{\alpha} = \frac{\mathrm{dalsza\; przyprostokątna}}{\mathrm{bliższa \; przyprostokątna}}

Jak dowiedzieliśmy się z poprzedniego akapitu, sin(α)=y\sin(\alpha) = y i cos(α)=x\cos(\alpha) = x, więc:

tg(α)=yx\tg(\alpha) = \frac{y}{x}

Możemy również zdefiniować tangens kąta jako jego sinus podzielony przez jego cosinus:

tg(α)=sin(α)cos(α)=yx\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}

Co oczywiście da nam ten sam rezultat.

Inną metodą jest oczywiście użycie naszego kalkulatora okręgu jednostkowego. 😁

Ale co, jeśli nie zadowala cię tylko ta wartość i chcesz faktycznie zobaczyć tę wartość stycznej na okręgu jednostkowym?

Jest to nieco bardziej skomplikowane niż określenie sinusa i cosinusa — które są po prostu współrzędnymi. Istnieją dwa sposoby wyświetlenia stycznej na okręgu jednostkowym:

Metoda 1:

Styczna do okręgu jednostkowego, metoda 1.
  1. Utwórz linię styczną w punkcie AA.
  2. Przetnie ona oś x w punkcie BB.
  3. Długość odcinka ABˉ\bar{AB} jest wartością stycznej

Metoda 2:

Styczna do okręgu jednostkowego, metoda 2.
  1. Narysuj linię x=1x = 1.
  2. Przedłuż linię zawierającą promień.
  3. Nazwij punkt przecięcia tych dwóch linii jako punkt CC.
  4. Styczna, tg(α)\tg(\alpha), jest współrzędną y punktu CC.

W obu metodach utworzyliśmy trójkąty prostokątne z przyległym bokiem równym 1 😎

Sinus, cosinus i tangens nie są jedynymi funkcjami, które możesz skonstruować na okręgu jednostkowym. Oprócz stycznej — cotangensa — możesz również przedstawić inne mniej znane funkcje, np. sekans, kosekans i nieużywana już funkcja 1-cos alfa:

Funkcje trygonometryczne oparte na okręgu.
Grafika autorstwa Stevena G. Johnsona z angielskiej Wikipedii, CC BY-SA

Wykres okręgu jednostkowego — okrąg jednostkowy w radianach i stopniach

Koncepcja okręgu jednostkowego jest bardzo ważna, ponieważ możesz jej użyć do znalezienia sinusa i cosinusa dowolnego kąta. Poniżej przedstawiamy kilka często spotykanych kątów na wykresie okręgu jednostkowego:

Kąty okręgu jednostkowego w kolorze.

Jako przykład — jak określić sin(150°)\sin(150\degree)?

  1. Wyszukaj kąt 150°150\degree.
  2. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej — sinus jest współrzędną y, więc bierzemy drugą współrzędną z odpowiedniego punktu na okręgu jednostkowym:
sin(150°)=12\qquad \sin(150\degree) = \frac{1}{2}

Alternatywnie, wprowadź kąt 150° do naszego kalkulatora okręgu jednostkowego. Pokażemy ci wartość sin(150°)\sin(150\degree) współrzędnej y, a także cosinus, tangens i wykres okręgu jednostkowego.

Jak zapamiętać okrąg jednostkowy?

Cóż, to zależy od tego, co chcesz zapamiętać 🙃. Istnieją dwie najważniejsze rzeczy do zapamiętania, jeśli chodzi o okrąg jednostkowy:

  1. Konwersja kątów, czyli jak zamienić kąt w stopniach na kąt w π\pi (radianach okręgu jednostkowego);

  2. Funkcje trygonometryczne popularnych kątów.

Zacznijmy od łatwiejszej pierwszej części. Najważniejsze kąty to te, których będziesz używać przez cały czas:

  • 30°=π/630\degree = \pi/6
  • 45°=π/445\degree = \pi/4
  • 60°=π/360\degree = \pi/3
  • 90°=π/290\degree = \pi/2
  • Kąt pełny, 360°=2π360\degree = 2\pi

Ponieważ kąty te są bardzo powszechne, spróbuj nauczyć się ich na pamięć ❤️. Dla każdego innego kąta możesz użyć formuły konwersji kąta:

α [rad]=π180°α [stopnie]\alpha\ [\mathrm{rad}] = \frac{\pi}{180\degree}\cdot \alpha\ [\mathrm{stopnie}]

Konwersja radianów okręgu jednostkowego na stopnie nie powinna już stanowić problemu! 💪

Druga część — zapamiętanie całego wykresu okręgu jednostkowego z wartościami sinusów i cosinusów — jest nieco dłuższym procesem. Nie będziemy go tutaj opisywać, ale zachęcamy do zapoznania się z nimi w wolnym czasie. Jeśli bardziej lubisz oglądać filmy 🖥️ niż czytać 📘, obejrzyj jeden z tych dwóch filmów wyjaśniających, jak zapamiętać okrąg jednostkowy:

  • A Trick to Remember Values on The Unit Circle,
  • Jak zapamiętać okrąg jednostkowy w kilka minut!!!.

Przydatna może być również tabela z często używanymi kątami:

α\mathrm{\boldsymbol{\alpha}} (kąt)

Funkcje trygonometryczne

stopni\mathrm{stopni}

rad\mathrm{rad}

sin(α)\sin(\alpha)

cos(α)\cos(\alpha)

tan(α)\tan(\alpha)

30°30\degree

π/6\pi/6

1/21/2

3/2\sqrt{3}/2

3/3\sqrt{3}/3

45°45\degree

π/4\pi/4

2/2\sqrt{2}/2

2/2\sqrt{2}/2

11

60°60\degree

π/3\pi/3

3/2\sqrt{3}/2

1/21/2

3\sqrt{3}

A jeśli któraś z metod zawiedzie, możesz skorzystać z naszego kalkulatora okręgu jednostkowego — jest do twojej dyspozycji na zawsze ❤️. Mamy nadzieję, że zabawa z tym narzędziem pomoże ci zrozumieć i zapamiętać wartości okręgu jednostkowego!

FAQ

Ile wynosi tangens 30 przy użyciu okręgu jednostkowego?

tg 30° = 1/√3. Aby znaleźć tę odpowiedź na okręgu jednostkowym, zacznijmy od znalezienia wartości sin i cos odpowiednio jako współrzędnej y i współrzędnej x: sin 30° = 1/2 i cos 30° = √3/2. Teraz użyj wzoru. Przypomnij sobie, że tan 30° = sin 30° / cos 30° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3, zgodnie z twierdzeniem. Widzisz, jakie to proste?

Jak znaleźć kosekans na okręgu jednostkowym?

Wyznacz kosekans funkcji θ na okręgu jednostkowym:

  1. Ze środka okręgu narysuj promień odpowiadający kątowi θ.
  2. Narysuj linie styczne do okręgu w punktach (0,1) i (0,-1).
  3. Wydłuż promień z kroku 1 tak, aby przecinał jedną z tych stycznych.
  4. Odległość od środka do punktu przecięcia z kroku 3 to kosekans twojego kąta θ.
  5. Jeśli nie ma punktu przecięcia, kosekans kąta θ jest niezdefiniowany (dzieje się tak, gdy sin θ = 0).

Jak znaleźć arcsin 1/2 za pomocą okręgu jednostkowego?

Ponieważ arcsin (arcus sinus) jest odwrotnością funkcji sinus, znalezienie arcsin(1/2) jest równoważne znalezieniu kąta, którego sinus jest równy 1/2. Na okręgu jednostkowym wartości sinusa są współrzędnymi y punktów na okręgu. Patrząc na okrąg jednostkowy, widzimy, że współrzędna y jest równa 1/2 dla kąta π/6``, czyli 30°`.

Hanna Pamuła, PhD
Unit circle in a coordinate system with Pythagorean trig identity formula.
Angle
deg
Check out 21 similar trigonometry calculators 📐
ArccosArcsinArctan… 18 more
People also viewed…

Equilateral triangle area

The equilateral triangle area calculator gives you the area of an equilateral triangle from either its side length or height.

Plant spacing

Optimize your garden layout with our garden spacing calculator. Perfect for precise plant spacing. Plan your dream garden effortlessly now!

Podcasts

Do you feel like you could be doing something more productive or educational while on a bus? Or while cleaning the house? Well, why don't you dive into the rich world of podcasts! With this podcast calculator, we'll work out just how many great interviews or fascinating stories you can go through by reclaiming your 'dead time'!

Surface area of a rectangle

This surface area of a rectangle calculator will help you calculate the area of a rectangle given its length and width.