Kalkulator długości łuku
Kalkulator długości łuku to narzędzie, które pozwala obliczyć długość łuku i pole wycinka koła. Ten artykuł szczegółowo wyjaśnia wzór na długość łuku oraz zawiera instrukcje krok po kroku, jak znaleźć długość łuku. Poznasz również równanie na pole wycinka koła.
Jeśli dopiero zaczynasz przygodę z okręgami, obliczanie długości i pola koła może być nieco zaawansowane i dobrym pomysłem będzie zaczęcie od prostszych narzędzi, takich jak kalkulatory długości okręgu czy pola i obwodu koła.
Wzór na długość łuku
Długość łuku zależy od promienia okręgu i kąta środkowego θ. Wiemy, że dla kąta równego 360 stopni (2π), długość łuku jest równa obwodowi okręgu. Ponieważ proporcja między kątem a długością łuku jest stała, możemy powiedzieć, że:
L / θ = C / 2π
Jako że obwód C = 2πr,
L / θ = 2πr / 2π
L / θ = r
Wzór na długość łuku otrzymujemy, mnożąc to równanie przez θ:
L = r ⋅ θ
Stąd długość łuku jest równa promieniowi pomnożonemu przez kąt środkowy (w radianach).
Pole wycinka koła
W podobny sposób możemy znaleźć pole wycinka koła. Wiemy, że pole całego koła jest równe πr². Stąd wynika z proporcji:
A / θ = πr² / 2π
A / θ = r² / 2
Wzór na pole powierzchni wycinka to:
A = r² ⋅ θ / 2
Przykład, jak znaleźć długość łuku i pole wycinka koła
-
Wybierz promień okręgu. Może to być na przykład 15 cm. (Zamiast tego można również wprowadzić średnicę do naszego kalkulatora długości łuku).
-
Jaki będzie kąt między końcami łuku? Powiedzmy, że będzie on równy 45 stopni, czyli π/4.
-
Oblicz długość łuku zgodnie z powyższym wzorem:
L = r ⋅ θ = 15 ⋅ π/4 = 11,78 cm. -
Oblicz pole wycinka kołowego:
A = r² ⋅ θ / 2 = 15² ⋅ π/4 / 2 = 88,36 cm². -
Możesz również użyć kalkulatora długości łuku, aby znaleźć kąt środkowy lub promień okręgu. Wystarczy wprowadzić dwie dowolne wartości w odpowiednie pola i obserwować, jak kalkulator wykonuje wszystkie obliczenia.
Koniecznie sprawdź też kalkulator równania okręgu 🇺🇸!
Jak znaleźć długość łuku bez znajomości promienia?
Aby obliczyć długość łuku nie znając długości promienia, potrzebny jest kąt środkowy i pole wycinka kołowego:
- Pomnóż powierzchnię przez 2 i podziel wynik przez kąt środkowy w radianach.
- Znajdź pierwiastek kwadratowy z tego dzielenia.
- Ponownie pomnóż pierwiastek przez kąt środkowy, aby otrzymać długość łuku.
- Jednostki będą pierwiastkiem kwadratowym z jednostek powierzchni wycinka.
Lub mając kąt środkowy i długość cięciwy:
- Podziel kąt środkowy w radianach przez 2 i oblicz sinus tej liczby.
- Podziel długość cięciwy przez dwukrotność wyniku z kroku 1. To obliczenie daje promień.
- Pomnóż promień przez kąt środkowy, aby uzyskać długość łuku.
Jak obliczyć długość łuku za pomocą radianów?
- Pomnóż kąt środkowy w radianach przez promień okręgu.
- I to wszystko! Wynik to po prostu mnożenie.
Jak obliczyć długość łuku bez podawania kąta?
Aby obliczyć długość łuku bez kąta, potrzebny jest promień i pole powierzchni wycinka kołowego:
- Pomnóż pole powierzchni przez 2.
- Następnie podziel wynik przez kwadrat promienia (upewnij się, że jednostki są takie same), aby uzyskać kąt środkowy w radianach.
Możesz też użyć promienia i długości cięciwy:
- Podziel długość cięciwy przez dwukrotność promienia.
- Znajdź odwrotność sinusa otrzymanego wyniku (w radianach).
- Podwój wynik odwrotności sinusa, aby otrzymać kąt środkowy w radianach.
- Po uzyskaniu kąta środkowego w radianach pomnóż go przez promień, aby uzyskać długość łuku.
Czy długość łuku musi być wyrażona w radianach?
Długość łuku jest miarą odległości, więc nie może być podana w radianach. Kąt środkowy nie musi być jednak podany w radianach. Może to być dowolna jednostka kąta, od stopni do sekund kątowych. Jednak używanie radianów jest znacznie łatwiejsze w obliczeniach dotyczących długości łuku, ponieważ znalezienie go jest tak proste, jak pomnożenie kąta przez promień.
