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Calcolatore dei Valori Critici

Created by Anna Szczepanek, PhD
Reviewed by Dominik Czernia, PhD and Jack Bowater
Translated by Rangsimatiti Binda Saichompoo and Sara Naouar
Last updated: Mar 06, 2024


Eccoci nel calcolatore dei valori critici! Qui puoi determinare rapidamente i valori critici per i test bilaterali e per quelli unilaterali. Funziona per le distribuzioni più comuni nei test statistici — la distribuzione normale standard N(0,1) (cioè quando si ha un punteggio Z), test t di Student, chi-quadrato e la distribuzione F.

Che cos'è un valore critico? E qual è la formula del valore critico? Scorri in basso — ti forniremo la definizione di valore critico e ti spiegheremo come calcolare i valori critici al fine di utilizzarli per costruire le regioni di scarto (note anche come regioni critiche).

Che cos'è un valore critico?

Nei test di ipotesi, i valori critici sono uno dei due approcci che ti permettono di decidere se mantenere o rifiutare l'ipotesi nulla. L'altro approccio consiste nel calcolare il valore p (ad esempio utilizzando il calcolatore per il valore p).

L'approccio del valore critico consiste nel verificare se il valore della statistica del test generata dal tuo campione appartiene alla cosiddetta regione di scarto, o regione critica, che è la regione in cui è altamente improbabile che la statistica del test si trovi. Un valore critico è un valore limite (o due valori limiti nel caso di un test a due code) che costituisce il confine della regione di scarto. In altre parole, i valori critici dividono la scala della statistica del test in regione di scarto e regione non scartato.

Una volta individuata la regione di scarto, verifica se il valore della statistica del test generata dal tuo campione vi appartiene:

  • In caso affermativo, significa che puoi rifiutare l'ipotesi nulla e accettare l'ipotesi alternativa; e
  • In caso contrario, non ci sono prove sufficienti per rifiutare l'ipotesi H0.

Ma come si calcolano i valori critici? Prima di tutto, è necessario fissare un livello di significatività, α\alpha, che quantifica la probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla quando questa è effettivamente corretta. La scelta di α è arbitraria; in pratica, si usa spesso un valore di 0,05 o 0,01. I valori critici dipendono anche dall'ipotesi alternativa scelta per il test, come spiegato nella prossima sezione.

Definizione del valore critico

Per determinare i valori critici, è necessario conoscere la distribuzione della statistica del test nell'ipotesi nulla. I valori critici sono quindi punti con la proprietà che la probabilità che la statistica del test assuma valori estremi almeno pari a quelli critici è uguale al livello di significatività α. Wow, una bella definizione, vero? Non preoccuparti, ti spiegheremo cosa significa.

Per prima cosa, ricordiamo che è l'ipotesi alternativa a determinare il significato di "estremo". In particolare, se il test è unilaterale, ci sarà un solo valore critico; se è bilaterale, ce ne saranno due — uno a sinistra e uno a destra del valore mediano della distribuzione.

I valori critici possono essere convenientemente rappresentati come punti con la proprietà che l'area sotto la curva di densità della statistica del test da quei punti alle code è uguale a α\alpha:

  • Test unilaterale sinistro: l'area sotto la curva di densità dal valore critico a sinistra è uguale a α\alpha;

  • Test unilaterale destro: l'area sotto la curva di densità dal valore critico a destra è uguale a α\alpha; e

  • Test bilaterale: l'area sotto la curva di densità dal valore critico di sinistra a sinistra è uguale a α/2\alpha/2 e l'area sotto la curva dal valore critico di destra a destra è uguale a α/2\alpha/2; quindi, l'area totale è uguale a α\alpha.

Valori critici per una distribuzione simmetrica
Valori critici per una distribuzione simmetrica

Come puoi vedere, trovare i valori critici per un test bilaterale con significatività α\alpha si riduce a trovare entrambi i valori critici a una coda con un livello di significatività di α/2\alpha/2.

Come si calcolano i valori critici?

Le formule per i valori critici coinvolgono la funzione quantile, QQ, che è l'inverso della funzione di distribuzione cumulativa (cdf\mathrm{cdf}) per la distribuzione della statistica del test (calcolata sotto l'ipotesi che H0 sia valida!): Q=cdf1Q = \mathrm{cdf}^{-1}.

Una volta stabilito il valore di α\alpha, le formule dei valori critici sono le seguenti:

  1. Test unilaterale sinistro:
(,Q(α)]\qquad \footnotesize(-\infty, Q(\alpha)]
  1. Test unilaterale destro:
[Q(1α),)\qquad \footnotesize[Q(1-\alpha), \infty)
  1. Test bilaterale:
(,Q(α2)]  [Q(1α2),)\qquad \footnotesize(-\infty, Q(\frac{\alpha}{2})] \ \cup \ [Q(1 - \frac{\alpha}{2}), \infty)

Nel caso di una distribuzione simmetrica intorno a 0, anche i valori critici del test a due code sono simmetrici:

Q(1α2)=Q(α2)\small Q\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) = -Q\left(\frac{\alpha}{2}\right)

Purtroppo le distribuzioni di probabilità più diffuse nei test di ipotesi hanno formule cdf\mathrm{cdf} piuttosto complicate. Per trovare i valori critici a mano, dovresti utilizzare un software specializzato o delle tabelle statistiche. In questi casi, l'opzione migliore è, ovviamente, il nostro calcolatore per il valore critico! 😁

Come si usa questo calcolatore dei valori critici?

Ora che hai trovato il nostro calcolatore dei valori critici, non dovrai più preoccuparti di come trovare il valore critico per tutte quelle distribuzioni complicate! Ecco i passi da seguire:

  1. Indica la distribuzione della tua statistica di test sotto l'ipotesi nulla — è una normale N(0,1), una t di Student, una chi-quadrato o una F di Snedecor? Se non sei sicuro, consulta le sezioni sottostanti dedicate a queste distribuzioni e cerca di localizzare il test che devi eseguire;

  2. Scegli l'ipotesi alternativa — bilaterale, unilaterale destro o unilaterale sinistro;

  3. Se necessario, specifica i gradi di libertà della distribuzione della statistica del test. Se non sei sicuro, controlla la descrizione del test che stai eseguendo. Per saperne di più sul significato di questa grandezza in statistica, puoi consultare il calcolatore dei gradi di libertà;

  4. Imposta il livello di significatività, α\alpha. Per impostazione predefinita, abbiamo impostato 0,05 come il valore più comune, ma puoi naturalmente adattarlo alle tue esigenze;

  5. Il calcolatore dei valori critici visualizzerà non solo i valori critici ma anche la regione di rifiuto; e

Vai alla modalità avanzata del calcolatore per i valori critici se vuoi aumentare la precisione con cui vengono calcolati i valori critici.

Valori critici Z

Usa l'opzione Z (normale standard) se la statistica del tuo test segue (almeno approssimativamente) la distribuzione normale standard N(0,1).

Densità di distribuzione N(0,1)
Fonte: StefanPohl / CC0 wikimedia.org

Nelle formule seguenti, uu indica la funzione quantile della distribuzione normale standard N(0,1):

  1. Valore critico Z unilaterale sinistro: u(α)u(\alpha);

  2. Valore critico Z unilaterale destro: u(1α)u(1-\alpha); e

  3. Valore critico Z bilaterale: ±u(1α/2)\pm u(1- \alpha/2).

Dai un'occhiata a calcolatore per il test Z per saperne di più sul più comune test Z utilizzato sulla media della popolazione. Esistono anche test Z per la differenza tra due medie della popolazione, in particolare tra due proporzioni.

Valori critici t

Usa l'opzione t di Student se la statistica del tuo test segue la distribuzione t di Student. Questa distribuzione è simile a N(0,1), ma le sue code sono più piatte — la forma esatta dipende dal numero di gradi di libertà. Se questo numero è elevato (>30), cosa che generalmente accade per i campioni di grandi dimensioni, la distribuzione t di Student è praticamente indistinguibile da N(0,1). Consulta il nostro calcolatore per la statistica t per calcolare la relativa statistica del test.

Densità di distribuzione t di Student
Densità della distribuzione t di Student con ν gradi di libertà.
Fonte: Skbkekas / CC BY wikimedia.org

Nelle formule seguenti, Qt,dQ_{\text{t}, d} è la funzione quantile della distribuzione t di Student con dd gradi di libertà:

  1. Valore critico t unilaterale sinistro: Qt,d(α)Q_{\text{t}, d}(\alpha);

  2. Valore critico t unilaterale destro: Qt,d(1α)Q_{\text{t}, d}(1 - \alpha); e

  3. Valori critici t bilaterale: ±Qt,d(1α/2)\pm Q_{\text{t}, d}(1 - \alpha/2).

Visita il calcolatore per i test t per saperne di più sui vari test t — quello per la media di una popolazione con una deviazione standard sconosciuta, quello per la differenza tra le medie di due popolazioni (con deviazioni standard uguali o disuguali) e il test per campioni accoppiati.

Valori critici del chi-quadrato (χ²)

Usa l'opzione χ² (chi-quadrato) quando esegui un test in cui la statistica del test segue la distribuzione χ².

È necessario determinare il numero di gradi di libertà della distribuzione χ² della statistica del test — di seguito li elenchiamo per i test χ² più comunemente utilizzati.

Densità della distribuzione chi-quadrato
Densità della distribuzione χ² con k gradi di libertà.
Fonte: Geek3 / CC BY wikimedia.org

Qui di seguito forniamo le formule per i valori critici del chi quadrato; Qχ2,dQ_{\chi^2, d} è la funzione quantile della distribuzione χ² con dd come gradi di libertà:

  1. Valore critico χ² unilaterale sinistro: Qχ2,d(α)Q_{\chi^2, d}(\alpha);

  2. Valore critico χ² unilaterale destro: Qχ2,d(1α)Q_{\chi^2, d}(1 - \alpha); e

  3. Valori critici di χ² bilaterale: Qχ2,d(α/2)Q_{\chi^2, d}(\alpha/2) e Qχ2,d(1α/2)Q_{\chi^2, d}(1 - \alpha/2).

Diversi test portano a un punteggio di χ²:

  • Test di bontà dell'adattamento: la distribuzione empirica concorda con la distribuzione prevista?

    Questo test è unilaterale destro. La sua statistica segue la distribuzione χ² con k1k - 1 gradi di libertà, dove kk è il numero di classi in cui è suddiviso il campione;

  • Test d'indipendenza: esiste una relazione statisticamente significativa tra due variabili?

    Anche questo test è unilaterale destro e la sua statistica viene calcolata dalla tabella di contingenza. Ci sono (r1)(c1)(r - 1)(c - 1) gradi di libertà, dove rr è il numero di righe e cc è il numero di colonne della tabella di contingenza; e

  • Test per la varianza dei dati normalmente distribuiti: questa varianza ha un valore predeterminato?

    Questo test può essere unilaterale o bilaterale! La sua statistica ha la distribuzione χ² con n1n - 1 gradi di libertà, dove nn è la dimensione del campione.

Valori critici F

Infine, scegli F (Fisher-Snedecor) se la statistica del test segue la distribuzione F. Questa distribuzione ha una coppia di gradi di libertà.

Vediamo come si formano questi gradi di libertà. Supponiamo di avere due variabili casuali indipendenti, XX e YY, che seguono distribuzioni χ² con d1d_1 e d2d_2 gradi di libertà, rispettivamente. Se ora consideri il rapporto (Xd1):(Yd2)(\frac{X}{d_1}):(\frac{Y}{d_2}), si scopre che segue la distribuzione F con (d1,d2)(d_1, d_2) gradi di libertà. Questo è il motivo per cui chiamiamo d1d_1 e d2d_2 rispettivamente i gradi di libertà del numeratore e del denominatore.

Densità di distribuzione F
Densità della distribuzione F con (d1,d2) gradi di libertà.
Fonte: IkamusumeFan / CC BY-SA wikimedia.org

Nelle formule seguenti, QF,d1,d2Q_{\text{F}, d_1, d_2} indica la funzione quantile della distribuzione F con (d1,d2)(d_1, d_2) gradi di libertà:

  1. Valore critico F unilaterale sinistro: QF,d1,d2(α)Q_{\text{F}, d_1, d_2}(\alpha);

  2. Valore critico F unilaterale destro: QF,d1,d2(1α)Q_{\text{F}, d_1, d_2}(1 - \alpha); e

  3. Valori critici della F bilaterale: QF,d1,d2(α/2)Q_{\text{F}, d_1, d_2}(\alpha/2) e QF,d1,d2(1α/2)Q_{\text{F}, d_1, d_2}(1 -\alpha/2).

Di seguito elenchiamo i test più importanti che producono punteggi F: ognuno di essi è unilaterale destro.

  • ANOVA: verifica l'uguaglianza delle medie in tre o più gruppi che provengono da popolazioni normalmente distribuite con varianze uguali. Ci sono (k1,nk)(k - 1, n - k) gradi di libertà, dove kk è il numero di gruppi e nn è la dimensione totale del campione (per ogni gruppo);

  • Significatività complessiva nell'analisi di regressione. La statistica del test ha (k1,nk)(k - 1, n - k) gradi di libertà, dove nn è la dimensione del campione e kk è il numero di variabili (inclusa l'intercetta);

  • Confronto tra due modelli di regressione annidati. La statistica del test segue la distribuzione F con (k2k1,nk2)(k_2 - k_1, n - k_2) gradi di libertà, dove k1k_1 e k2k_2 sono il numero di variabili nel modello più piccolo e in quello più grande, rispettivamente, e nn è la dimensione del campione; e

  • L'uguaglianza delle varianze in due popolazioni normalmente distribuite. Ci sono (n1,m1)(n - 1, m - 1) gradi di libertà, dove nn e mm sono le rispettive dimensioni del campione.

FAQ

Che cos'è il valore critico Z?

Il valore critico Z è il valore che definisce la regione critica nei test di ipotesi quando la statistica del test segue la distribuzione normale standard. Se il valore della statistica del test rientra nella regione critica, dovrai rifiutare l'ipotesi nulla e accettare l'ipotesi alternativa.

Come si calcola il valore critico Z?

Trovare un valore critico Z per un determinato livello di confidenza α:

  1. Controlla se esegui un test unilaterale o bilaterale;

  2. Per un test unilaterale:

    • Unilaterale sinistro: il valore critico è il α-esimo quantile della distribuzione normale standard N(0,1), e

    • Unilaterale destro: il valore critico è il (1-α)-esimo quantile;

  3. Test bilaterale: il valore critico è uguale al ±(1-α/2)-esimo quantile di N(0,1);

  4. Non ci sono tabelle di quantili? Usa le tabelle CDF! (La funzione quantile è l'inverso della CDF); e

  5. Verifica la tua risposta con un calcolatore dei valori critici online.

Il valore critico t è uguale al valore critico Z?

In teoria, no. In pratica, molto spesso, . La distribuzione t di Student è simile alla distribuzione normale standard, ma non è stessa cosa. Tuttavia, se il numero di gradi di libertà (che è, grosso modo, la dimensione del tuo campione) è abbastanza grande (>30), allora le due distribuzioni sono praticamente indistinguibili e quindi il valore critico t ha praticamente lo stesso valore del valore critico Z.

Qual è il valore critico Z per una confidenza del 95%?

Il valore critico Z per un intervallo di confidenza del 95% è:

  • 1,96 per un test bilaterale;
  • 1,64 per un test unilaterale destro; e
  • -1,64 per un test unilaterale sinistro.
Anna Szczepanek, PhD
What distribution?
t-Student
What type of test?
Right-tailed
Degrees of freedom (d)
Significance level
The test statistic follows the t-distribution with d degrees of freedom.
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