Calculadora del extremo de un segmento (punto final)

Bienvenido a la calculadora del extremo de un segmento, donde aprenderemos a hallar el extremo o punto final de un segmento de recta a partir de su otro extremo y su punto medio. Como habrás adivinado, este tema está relacionado con el cálculo del punto medio, razón por la cual la fórmula para el extremo de un segmento es bastante similar a la de la calculadora del punto medio. Pero, antes de entrar en detalles, repasaremos con calma la definición de extremo en geometría y así comprender mejor de qué se trata.

Así que, ponte cómodo, prepárate un café, ¡y manos a la obra!

Hablando coloquialmente, un extremo, o punto final, es un punto que se encuentra al extremo o final. Estamos seguros de que esta afirmación te chocó tanto como a nosotros cuando la oímos por primera vez. Pero, por otra parte, un pájaro carpintero no trabaja en carpintería, así que nunca se está demasiado seguro cuando se adivina el significado de una palabra, ¿verdad?

En su forma más simple, la definición de extremo en geometría se centra en los segmentos de recta, es decir, las rectas que unen dos puntos. Sí, lo has adivinado: estos puntos se llaman extremos. Observa que, según esta definición, cada segmento tiene dos extremos (a menos que se trate del caso "extremo" 🤪 en el que son el mismo punto, es decir, el intervalo es un único punto).

Para simplificar los cálculos a continuación, llamaremos punto inicial a uno de ellos (como se hace en esta calculadora de extremos de segmentos). Ten en cuenta, sin embargo, que el inicio también puede ser un extremo si lo miras desde el otro lado.

Eso ha sonado espantosamente filosófico, ¿no crees? Pero dejemos las preguntas como "¿Quiénes somos y adónde vamos?" para cuando no podamos conciliar el sueño. Centrémonos en los segmentos que hemos mencionado y en cómo encontrar sus extremos.

Para obtener el extremo, necesitamos tener algún punto de referencia para empezar. En otras palabras, como estamos tratando con un segmento de recta y uno de sus componentes, necesitamos saber cómo es el resto.

La situación más sencilla y común es aquella en la que nos falta el extremo, pero conocemos el punto inicial y el punto medio. Este último es simplemente, como su nombre indica, el punto que marca la mitad del segmento. Esto es todo lo que necesitamos para encontrar el extremo; al fin y al cabo, debe encontrarse al otro lado del punto medio desde el punto inicial y estar a la misma distancia.

Por tanto, intuitivamente, ya podemos describir geométricamente cómo encontrar el extremo.

1. Dado el punto inicial, $A$, y el punto medio, $B$, dibuja el segmento de recta que une ambos.
2. Dibuja una línea que se aleje de $B$ y de $A$ hasta Dios sabe dónde.
3. Mide la distancia desde $A$ hasta $B$ y marca la misma distancia desde $B$ yendo en sentido contrario.
4. Procede a realizar El baile de la Victoria.

Sin embargo, hay personas (y no estamos sugiriendo que seamos esas personas) que no disfrutan tanto trazando líneas. Después de todo, necesitas una regla para eso. ¿Y qué pasa si soy un rebelde y no me gustan las reglas? Eso sí, no me refiero a llevarme una regla de la tienda sin pagar... (sí, es un chiste terrible, lo sabemos).

De todos modos, para la gente que prefiere los números y los cálculos (y en realidad podríamos estar sugiriendo que somos esa gente), nos centraremos en cómo encontrar algebraicamente el extremo del segmento en la siguiente sección. Por favor, que no te asuste la palabra "algebraicamente": en un segundo, verás cómo se traduce por "fácilmente y sin esfuerzo", el lema de nuestra calculadora de extremos.

En geometría analítica, manejamos objetos que están inmersos en lo que llamamos espacio euclídeo. No es demasiado importante ahora comprender su definición matemática, pero, para nuestros fines, basta con saber que esto significa que en tales espacios, los puntos, digamos, $A$ o $B$, tienen dos coordenadas: $A = (x_1, y_1)$ y $B = (x_2, y_2)$.

Los números $x_1$ y $x_2$ marcan la posición de los puntos respecto al eje horizontal (normalmente se denotan con $x$), mientras que $y_1$ y $y_2$ se utilizan para el eje vertical (normalmente se denotan con $y$). Juntos, este par de números $(x_1, y_1)$ definen un punto en el espacio. Además, las coordenadas nos ayudan a analizar objetos más complicados en nuestro espacio euclidiano. Por ejemplo, aparecen en la fórmula del extremo de un segmento que estamos desarrollando.

Supongamos que tienes un segmento de recta que va de $A = (x_1, y_1)$ a... bueno, aún no lo sabemos. Ahora explicaremos cómo encontrar su extremo $B = (x_2, y_2)$ si conocemos el punto medio $M = (x, y)$.

Por la definición de punto medio, sabemos que la distancia de $A$ a $M$ debe ser la misma que la de $M$ a $B$. Solo que $B$ está al otro lado. Esto significa que para encontrar $B$, basta con "desplazar" $M$ a lo largo de la recta que pasa por $A$ y $M$ la misma longitud que la del segmento $AM$. O, si quieres sonar extravagante, por el vector 🇺🇸 $AM$.

En otras palabras, tenemos

$x_2 = x + (x - x_1) = 2x - x_1$, y

$y_2 = y + (y - y_1) = 2y - y_1$.

Si te gusta tener toda la información que necesitas en un párrafo, aquí tienes el resumen:

Observa que anteriormente hemos mencionado la recta que pasa por $A$ y $M$. Dichas rectas son bastante útiles para aprender a encontrar el extremo de un segmento o su punto medio. Al fin y al cabo, el segmento $AB$ está contenido en esa recta.

Uf, ¡cuánto tiempo dedicado a la teoría! ¿Qué tal si dejamos a un lado la jerga técnica y vemos un ejemplo numérico? Al fin y al cabo, ¡el tiempo es oro!

Digamos que hace cuatro meses empezaste a subir videos a YouTube. Nada del otro mundo, solo algunas recetas de cocina tradicionales de tu región. Empezó como un hobby, pero parece que a la gente le gusta, y ves que el número de espectadores está aumentando de manera lineal con el tiempo. ¿Por qué no intentamos encontrar el extremo que falta con nuestra calculadora y así comprobar cuántos suscriptores debería haber en cuatro meses?

En primer lugar, observa que, aunque el problema no parece geométrico en absoluto, podemos encontrar la respuesta utilizando la definición de extremo de un segmento en geometría. Después de todo, el punto inicial, es decir, el mes cero, fue cuando empezaste a publicar los vídeos, por lo que en ese momento teníamos 0 espectadores. Ahora, estamos en el mes cuatro, que será nuestro punto medio (ya que queremos averiguar el número de espectadores dentro de otros cuatro meses). En otras palabras, el extremo del segmento será nuestra respuesta.

Supongamos que actualmente tienes 54 000 suscriptores, e intentemos traducir todos estos datos de forma que esta calculadora de extremos entienda lo que queremos de ella.

De acuerdo con la sección anterior, para encontrar la respuesta, necesitamos el punto inicial y el punto medio. Denotémoslos por A = (x₁, y₁) y M = (x, y), respectivamente. Para nosotros, las x denotarán el número de meses que pasaron hasta hoy, y las y serán el número de espectadores. Como nuestro punto de partida era el mes cero, y actualmente llevamos 4 meses, tenemos (y podemos introducir en la calculadora de extremos):

x₁ = 0,

x = 4.

Ahora es el momento de los suscriptores. De nuevo, el punto de partida era cuando no teníamos a nadie, mientras que ahora, después de cuatro meses, estamos en 54 000. Por tanto, tenemos

y₁ = 0,

y = 54 000.

Una vez introducidos todos estos datos en la calculadora de extremos, nos dará la respuesta. Pero ¡no la leamos todavía! ¿Qué tal si vemos cómo encontrar el extremo nosotros mismos utilizando la fórmula del extremo de un segmento?

Tomemos un trozo de papel y recordemos la información que ya hemos mencionado anteriormente. Nuestro punto de partida estaba en el mes cero con cero suscriptores, lo que significa que nuestro punto inicial es A = (0, 0). Ahora estamos en el mes cuatro con 54 000 suscriptores, que es la mitad de lo que nos gustaría calcular. Esto significa que nuestro punto medio es (4, 54 000).

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es usar la fórmula del extremo de un segmento que se menciona en la sección anterior. Si denotamos las coordenadas del extremo por B = (x₂, y₂), entonces:

x₂ = 2 × 4 - 0 = 8,

y₂ = 2 × 54 000 - 0 = 108 000.

Esto significa que, si la tendencia se mantiene, deberíamos alcanzar los 108 000 suscriptores en cuatro meses.