Calculadora de MCD – Máximo común divisor

La calculadora MCD evalúa el Máximo Común Divisor entre dos y quince números diferentes. Sigue leyendo para encontrar la respuesta a la pregunta "¿Cuál es el Máximo Común Divisor de un número?". Infórmate sobre varios métodos de búsqueda del MCD, como la factorización en números primos o el algoritmo euclídeo; decide cuál es tu favorito y comprueba por ti mismo que nuestra calculadora del MCD puede ahorrarte tiempo cuando tratas con números grandes

La definición de máximo común divisor es el mayor factor entero presente en un conjunto de números. También se conoce como máximo común divisor, máximo común denominador (MCD), máximo común factor (MCF) o máximo común divisor (MCD). Esto es importante en ciertas aplicaciones de las matemáticas, como la simplificación de polinomios, donde a menudo es esencial sacar los factores comunes. A continuación, necesitamos saber cómo hallar el MCD.

Hay varios métodos que te ayudan a encontrar el MCD. Algunos son un juego de niños, mientras que otros son más complejos. Merece la pena conocerlos todos para que puedas decidir cuál prefieres:

• Utilizando la lista de factores;
• Factorización de números primos;
• Algoritmo euclidiano;
• Algoritmo binario (algoritmo de Stein);
• Uso de múltiples propiedades del MCD (incluido el mínimo común múltiplo, MCM).

La buena noticia es que puedes calcular el MCD con operaciones matemáticas sencillas, ¡sin raíces ni logaritmos! En la mayoría de los casos, no son más que restas, multiplicaciones o divisiones.

El método conceptualmente más sencillo para calcular el máximo común divisor consiste en hallar todos los factores de los números dados. Los factores no son más que números que se multiplican entre sí para dar como resultado el valor original. En general, pueden ser tanto positivos como negativos, por ejemplo, 2 × 3 es lo mismo que (-2) × (-3), ambos iguales a 6. Desde un punto de vista práctico, sólo consideramos las positivas. Además, sólo tratamos números enteros. De lo contrario, podrías encontrar una combinación infinita de fracciones distintas que fueran factores, lo que no tiene sentido en nuestro caso. Sabiendo esto, vamos a estimar el máximo común denominador de los números 72 y 40.

1. Los factores de 72 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
2. Los factores de 40 son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
3. Enumera todos los factores comunes: 1, 2, 4, 8.
4. El máximo común divisor es 8, el valor más alto de los anteriores.

Intentemos algo más desafiante. Queremos encontrar la respuesta a una pregunta: "¿Cuál es el mayor factor común de 33 264 y 35 640?" Sólo tenemos que repetir los pasos anteriores:

1. Los factores de 33 264 son: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 21, 22, 24, 27, 28, 33, 36, 42, 44, 48, 54, 56, 63, 66, 72, 77, 84, 88, 99, 108, 112, 126, 132, 144, 154, 168, 176, 189, 198, 216, 231, 252, 264, 297, 308, 336, 378, 396, 432, 462, 504, 528, 594, 616, 693, 756, 792, 924, 1008, 1188, 1232, 1386, 1512, 1584, 1848, 2079, 2376, 2772, 3024, 3696, 4158, 4752, 5544, 8316, 11,088, 16,632, 33,264.

2. Los factores de 35 640 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 20, 22, 24, 27, 30, 33, 36, 40, 44, 45, 54, 55, 60, 66, 72, 81, 88, 90, 99, 108, 110, 120, 132, 135, 162, 165, 180, 198, 216, 220, 264, 270, 297, 324, 330, 360, 396, 405, 440, 495, 540, 594, 648, 660, 792, 810, 891, 990, 1080, 1188, 1320, 1485, 1620, 1782, 1980, 2376, 2970, 3240, 3564, 3960, 4455, 5940, 7128, 8910, 11,880, 17,820, 35,640.

3. Lista de todos los divisores comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 18, 22, 24, 27, 33, 36, 44, 54, 66, 72, 88, 99, 108, 132, 198, 216, 264, 297, 396, 594, 792, 1188, 2376.

4. El resultado final es: 2376.

Como puedes ver, cuanto mayor es el número de factores, más tiempo requiere el procedimiento, y es fácil equivocarse. Merece la pena saber cómo funciona este método, pero en su lugar, te recomendamos que utilices nuestra calculadora MCD para asegurarte de que el resultado es correcto.

Otro procedimiento de uso común que puede tratarse como una calculadora del máximo común divisor utiliza la factorización en primos 🇺🇸. Este método está en cierto modo relacionado con el anterior. En lugar de enumerar todos los factores posibles, sólo encontramos los que son números primos. Como resultado, el producto de todos los números primos compartidos es la respuesta a nuestro problema, y lo que es más importante, siempre hay una única forma de factorizar cualquier número en números primos. Así que ahora, vamos a encontrar el máximo común denominador de 72 y 40 utilizando la factorización en primos:

1. Los factores primos de 72 son: 2, 2, 2, 3, 3.

2. Los factores primos de 40 son: 2, 2, 2, 5.

3. En otras palabras, podemos escribir 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 y 40 = 2 × 2 × 2 × 5.

4. La parte que se comparte en ambos casos es 2 × 2 × 2 = 8, y ése es el Máximo Común Factor.

Podemos ver que, para este sencillo ejemplo, el resultado es coherente con el método anterior. Averigüemos si funciona igual de bien para el caso más complicado. ¿Cuál es el MCD de 33 264y 35 640?

1. Los factores primos de 33 264 son: 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 7, 11.

2. Los factores primos de 35 640 son: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 11.

3. Podemos utilizar la notación exponente para escribir los productos como: 33 264 = 2⁴ × 3³ × 7 × 11, 35 640 = 2³ × 3⁴ × 5 × 11.

4. El producto común de dos números es 2³ × 3³ × 11. También podemos escribirlo de forma más compacta y sofisticada, teniendo en cuenta los factoriales: (3!)³ × 11. Comprueba si nuestra calculadora MCD te da el mismo resultado, que es 2376.

La idea, que es la base del algoritmo euclídeo, dice que si el número k es el máximo común divisor de los números A y B, entonces k es también MCD para la diferencia de estos números A - B. Siguiendo este procedimiento, llegaremos finalmente a 0. Como resultado, el máximo común divisor es el último número distinto de cero. Veamos nuestros ejemplos una vez más: los números 40 y 72. Cada vez que hacemos una resta, comparamos dos números, ordenándolos del mayor al menor valor:

• MCD de 72 y 40: la diferencia 72 - 40 es igual a 32,
• MCD de 40 y 32: 40 - 32 = 8,
• MCD de 32 y 8: 32 - 8 = 24,
• MCD de 24 y 8: 24 - 8 = 16,
• MCD de 16 y 8: 16 - 8 = 8,
• MCD de 8 y 8: 8 - 8 = 0 ¡PARA!

En nuestro último paso, obtenemos 0 de la resta. Esto significa que encontramos nuestro máximo común divisor y su valor en la penúltima recta de las restas: 8.

¿Y un caso más difícil con 33 264 y 35 640? Intentemos resolverlo utilizando el algoritmo euclídeo:

• MCD de 35 640 y 33264: 35 640 - 33 264 = 2376,
• MCD de 33 264 y 2376: 33 264 - 2376 = 30 888,
• MCD de 30 888 y 2376: 30 888 - 2376 = 28 512,
• MCD de 28 512 y 2376: 28 512 - 2376 = 26 136,
• MCD de 26 136 y 2376: 26 136 - 2376 = 23 760,
• MCD de 23 760 y 2376: 23 760 - 2376 = 21 384,
• MCD de 21 384 y 2376: 21 384 - 2376 = 19 008,
• MCD de 19 008 y 2376: 19 008 - 2376 = 16 632,
• MCD de 16 632 y 2376: 16 632 - 2376 = 14 256,
• MCD de 14 256 y 2376: 14 256 - 2376 = 11 880,
• MCD de 11 880 y 2376: 11 880 - 2376 = 9504,
• MCD de 9504 y 2376: 9504 - 2376 = 7128,
• MCD de 7128 y 2376: 7128 - 2376 = 4752,
• MCD de 4752 y 2376: 4752 - 2376 = 2376,
• MCD de 2376 y 2376: 2376 - 2376 = 0 ¡PARA!

Al igual que en el ejemplo anterior, el MCD de 33 264 y 35 640 es la última diferencia distinta de cero del procedimiento, que es 2376.

Como puedes ver, la versión básica de este buscador del MCD es muy eficaz y sencilla, pero tiene un inconveniente importante. Cuanto mayor sea la diferencia entre los números dados, más pasos se necesitan para llegar al paso final. El módulo es una operación matemática eficaz que resuelve el problema porque sólo nos interesa un residuo menor que ambos números. Repitamos el algoritmo euclídeo para nuestros ejemplos utilizando el módulo en lugar de la resta ordinaria:

• MCD de 72 y 40: 72 mod 40 = 32,
• MCD de 40 y 32: 40 mod 32 = 8,
• MCD de 32 y 8: 32 mod 8 = 0 ¡PARA!

El máximo común denominador es 8. ¿Y el otro?

• MCD de 35 640 y 33 264: 35 640 mod 33 264 = 2376,
• MCD de 33 264 y 2376: 33 264 mod 2376 = 0 ¡PARA!

El MCD de 35.640 y 33.264 es 2376, y se encuentra en sólo dos pasos en lugar de 15. No está mal, ¿verdad?

Si te gustan las operaciones aritméticas más sencillas que las utilizadas en el algoritmo euclidiano (por ejemplo, el módulo), ¡el algoritmo binario (o algoritmo de Stein) es definitivamente para ti! Sólo tienes que utilizar la comparación, la resta y la división por 2. Al estimar el Máximo Común Divisor de dos números, ten en cuenta estas identidades:

1. mcd(A, 0) = A, estamos utilizando el hecho de que cada número divide a cero y una observación del último paso del algoritmo euclídeo: uno de los números baja a cero, y nuestro resultado fue el anterior.

2. Si tanto A como B son pares, significa que mcd(A, B) = 2 × mcd(A/2, B/2) debido a que 2 es un factor común.

3. Si sólo uno de los números es par, digamos A, entonces mcd(A, B) = mcd(A/2, B). Esta vez 2 no es un divisor común, por lo que podemos continuar con la reducción hasta que ambos números sean impares.

4. Si tanto A como B son impares y A > B, entonces mcd(A, B) = mcd((A-B)/2, B). Esta vez combinamos dos características en un solo paso. La primera se deriva del algoritmo euclídeo, calculando el máximo común divisor de la diferencia de ambos números y el menor. En segundo lugar, la división por 2 es posible, ya que la diferencia de dos números impares es par, y según el paso 3 podemos reducir el par.

5. Los pasos 2-4 se repiten hasta llegar al paso 1 o si A = B. El resultado será 2ⁿ × A, donde n es el número de factores 2 encontrados en un segundo paso.

Como de costumbre, practiquemos el algoritmo con nuestros conjuntos de números. Empezamos con 40 y 72:

• Ambos son pares, así que mcd(72, 40) = 2 × mcd(36, 20) = 2² × mcd(18, 10) = 2³ × mcd(9, 5) = ...;

• Los números restantes son impares, así que ... = 2³ × mcd((9-5)/2, 5) = 2³ × mcd(2, 5);

• 2 es par, así que podemos reducirlo: ... = 2³ × mcd(1, 5);

• 1 y 5 son impares, así que ... = 2³ × mcd((5-1)/2, 1) = 2³ × mcd(2, 1); y

• Elimina 2 de un número par: ... = 2³ × mcd(1, 1) = 2³ = 8.

En realidad, podríamos habernos detenido en el tercer paso, ya que el MCM de 1 y cualquier número es 1.
Bien, ¿y cómo hallar el máximo común divisor de 33 264 y 35 640 utilizando el método binario?

• Dos números pares: mcd(35 640, 33 264) = 2 × mcd(17 820, 16 632) = 2² × mcd(8910, 8316) = 2³ × mcd(4455, 4158) = ...

• Uno par uno impar: ... = 2³ × mcd(4455, 2079).

• Dos impares: ... = 2³ × mcd((4455-2079)/2, 2079) = 2³ × mcd(1188, 2079).

• Uno par uno impar: ... = 2³ × mcd(594, 2079) = 2³ × mcd(297, 2079).

• Dos impares: ... = 2³ × mcd((2079-297)/2, 297) = 2³ × mcd(891, 297).

• Dos impares: ... = 2³ × mcd((891-297)/2, 297) = 2³ × mcd(297, 297) = 2³ × 297 = 2376.

Sabemos que los números primos son aquellos que sólo tienen 2 factores enteros positivos: 1 y sí mismo. Entonces la pregunta es, ¿qué son los números coprimos? Podemos definirlos como números que no tienen factores comunes. Más concretamente, 1 es su único factor común, pero como omitimos 1 en la factorización en primos, está bien decir que no tienen divisores comunes. En otras palabras, podemos escribir que los números A y B son coprimos si mcd(A,B) = 1. En realidad no significa que ninguno de los dos sea un número primo, sino que la lista de factores compartidos está vacía. Los ejemplos de números coprimos son: 5 y 7, 35 y 48, 23 156 y 44 613.

Un dato curioso: es posible calcular la probabilidad de que dos números elegidos al azar sean coprimos. Aunque es bastante complicado, el resultado global es aproximadamente del 61%. ¿Te sorprende? Pruébalo tú mismo: imagina dos números al azar (digamos de al menos 5 cifras), utiliza nuestra calculadora del Máximo Común Divisor y averigua si el resultado es 1 o no. Repite el juego varias veces y calcula cuál es el porcentaje de números coprimos que has encontrado.

Ahora que conocemos numerosos métodos para hallar el máximo común divisor de dos números, podrías preguntarte: *"¿cómo hallar el Máximo Común Divisor de tres o más números? Resulta que no es tan difícil como podría parecer a simple vista. Enumerar todos los factores de cada número es, sin duda, un método sencillo, porque basta con encontrar el mayor. Sin embargo, enseguida te darás cuenta de que cada vez lleva más tiempo a medida que aumenta el número de cifras.

El método de factorización de primos tiene un inconveniente similar, pero como podemos agrupar todos los primos, por ejemplo, en orden ascendente, podemos introducir una forma de obtener un resultado un poco más rápida que antes.

Por otra parte, si prefieres utilizar algoritmos binarios o euclidianos para estimar cuál es el MCD de varios números, también puedes utilizar un teorema que afirma que

mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c) = mcd(mcd(a, c), b) = mcd(mcd(b, c), a).

Significa que podemos calcular el MCD de dos números cualesquiera y, a continuación, volver a empezar el algoritmo utilizando el resultado y el tercer número y continuar mientras quede alguna cifra. No importa qué dos elijamos primero.

Otro concepto estrechamente relacionado con el MCD es el mínimo común múltiplo. Para hallar el mínimo común múltiplo, utilizamos prácticamente el mismo proceso que para hallar el MCD. Una vez reducidos los números a la factorización en primos, buscamos la potencia más pequeña de cada factor, en lugar de la potencia más grande. Luego multiplicamos las potencias más altas, y el resultado es el mínimo común múltiplo o MCM. Esto puede hacerse a mano o utilizando la calculadora de MCM 🇺🇸.

El máximo común divisor se puede estimar con el uso del MCM. La siguiente expresión es válida:

mcd(a, b) = |a × b| / mcm(a, b).

Puede ser útil hallar primero el mínimo común múltiplo, debido a la complejidad y la duración. Naturalmente, puede calcularse de cualquier forma, por lo que merece la pena saber tanto cómo hallar el MCD como el MCM.

Ya hemos presentado algunas propiedades del máximo común denominador. En este apartado, enumeramos las más importantes:

• Si el cociente de dos números a y b (a > b) es un número entero, entonces mcd(a, b) = b.

• mcd(a, 0) = a, utilizado en el algoritmo euclídeo.

• mcd(a, 1) = 1.

• Si a y b no tienen factores comunes (son coprimos), entonces mcd(a, b) = 1.

• Todos los factores comunes de a y b son también divisores de mcd(a,b).

• Si b × c / a es un número entero y mcd(a, b) = d, entonces a × c / d también es un número entero.

• Para cualquier número entero k: mcd(k×a, k×b) = k × mcd(a, b), utilizado en el algoritmo binario.

• Para cualquier número entero positivo k: mcd(a/k, b/k) = mcd(a, b) / k.

• mcd(a, b) × mcm(a, b) = |a×b|.

• mcd(a, mcm(b, c)) = mcm(mcd(a, b), mcd(a, c)).

• mcm(a, mcd(b, c)) = mcd(mcm(a, b), mcm(a, c)).

No, el MCD de 14 y 42 es no 2. El MCD de 14 y 42 es 14, y para hallarlo descompones ambos números en sus factores:

• Los factores de 14 son 1, 2, 7 y 14.
• Los factores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42.

Como puedes ver, el mayor número común de ambas listas es 14, que es el MCD.

El MCD de 8 y 12 es 4. Para llegar a esta respuesta:

1. Escribe todos los factores de todos los números:

   • Los factores de 8 son 1, 2, 4 y 8.
   • Los factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

2. Enumera todos los factores comunes: 1, 2, 4.

3. El Máximo Común Divisor es el mayor de ellos, que es 4.

El MCD de 24 y 36 es 12. Podemos llegar a esta respuesta utilizando el método euclídeo:

1. Ordena los números en orden ascendente:

   24, 36.

2. Resuelve la operación del módulo, tomando como dividendo el número mayor y como divisor el menor:

   36 mod 24 = 12.

3. Reúne el divisor y el residuo y ordénalos en orden ascendente:

   12, 24.

4. De nuevo, resuelve la operación del módulo de la misma manera:

   24 mod 12 = 0.

5. Sólo queda un número (el divisor, 12), así que 12 es el máximo común divisor.

El MCD de 30 y 54 es 6. Podemos utilizar la factorización en primos para obtener la respuesta:

1. Escribe todos los números como producto de sus factores primos:

   • 30 = 2 × 3 × 5
   • 54 = 2 × 3 × 3 × 3

2. Enumera todos los factores primos comunes: 2, 3

3. Encuentra el producto de todos los factores primos comunes: 2 × 3 = 6

4. El Máximo Común Divisor es el resultado del paso anterior. Para 30 y 54 es 6