Calculador del máximo común denominador

Con la calculadora del MCD podrás calcular el máximo común denominador, es decir, el mayor número que divide exactamente a todos los números de un conjunto. Sigue leyendo este breve artículo para averiguarlo:

• Qué es el máximo común denominador;
• Cómo calcular el máximo común denominador;
• Las propiedades del máximo común denominador;

¡y mucho más!

Para usar la calculadora de MCD , es importante saber qué es el MCD . El máximo común denominador es un número tal que para un conjunto de números enteros (requisito de la definición de máximo común denominador) el MCD divide exactamente a cada miembro del conjunto.

En otras palabras, el máximo común denominador es el mayor divisor que comparten todos los números de un conjunto.

El MCD se utiliza mucho en matemáticas. En teoría de números, en particular, utiliza el concepto para describir patrones periódicos. En términos más prácticos, el MCD puede utilizarse cuando se buscan teselaciones exactas o se emparejan figuras de longitudes diferentes.

Sin embargo, el uso más común del MCD pasa casi desapercibido: la reducción de fracciones. Cuando encuentras la forma más simple de una fracción, divides tanto el numerador como el denominador por el MCD.

Ahora que sabes dónde lo utilizamos, podemos aprender a calcular el máximo común denominador.

Para los números pequeños, encontrar el máximo común denominador es casi intuitivo: mira este conjunto:

¡Está claro que el MCD es $3$! Pero, ¿qué hacemos cuando los números empiezan a crecer?

Factorización en primos

El MCD está listo para ser hallado si escribes la factorización en primos de los números de un conjunto. La factorización en primos es el conjunto de números primos elevados a determinados exponentes que, multiplicados, devuelven el número original. El MCD es el mayor factor primo compartido, elevado al mayor exponente posible. Tomemos este conjunto: $\{360,378,405\}$. Las factorizaciones en primos de estos números son:

Encuentra el factor primo repetido: sólo $3$ aparece en los tres números, y el exponente mayor es $2$: ¡ $3^2$ es el MCD del conjunto!

Algoritmo euclidiano

El MCD de dos números también divide exactamente su diferencia. Puede sonar extraño, pero piénsalo: el resultado de la división del número mayor por el MCD puede verse como la suma de dos números: uno de ellos, multiplicado por el MCD, devuelve el número menor, el otro la diferencia.

Para hallar el MCD , encuentra el resultado de la resta de los dos números y sustitúyelo por el número mayor. Procede hasta que los dos números coincidan: el resultado es el MCD. Tomemos, por ejemplo, el conjunto $\lbrace49,14\rbrace$. Sigue estos pasos:

1. Resta $14$ de $49$: $49-14 = 35$.
2. Sustituye $45$ por $35$.
3. Resta $14$ de $35$: $35-14 = 21$.
4. Sustituye $35$ por $21$.
5. Resta $14$ de $21$: $21-14 = 7$.
6. Sustituye $21$ por $7$.
7. Resta $7$ de $14$: $14-7 = 7$.

Te quedan dos $7$s: éste es tu MCD.

Para hallar el MCD de más de dos números con este método, simplemente halla el MCD de dos pares de números (por ejemplo, si el conjunto es $\{a,b,c\}$, toma $\mathrm{MCD}(a,b)$ y $\mathrm{MCD}(b,c)$). Una vez hallados los MCD , halla a su vez su MCD del mismo modo: cuando te quedes con dos números, el resultado será el máximo común denominador de todo el conjunto de números.

Algoritmo euclídeo modificado

Para acelerar las cosas, puedes utilizar el residuo de la división entre los dos números de los que estás calculando el máximo común denominador y utilizar este resultado en el algoritmo euclídeo. Por ejemplo, en el conjunto $\{a,b\}$, sustituye el número mayor ($a$) por $a\mod\ b$. Repite la operación, pero esta vez con $b$ y el resultado del paso anterior. En un momento dado, te encontrarás calculando $d\mod 0$: $d$ es el MCD de los números del conjunto.

Nuestra calculadora del MCD funciona con números enteros, incluso negativos. Introduce hasta 15 números y verás el MCD en un abrir y cerrar de ojos. También puedes decidir visualizar los pasos del proceso: en la selección opuesta, encontrarás más métodos que no analizamos en el texto pero que son tan buenos, si no mejores, que el presentado.

Ahora que ya sabes usar la calculadora del MCD

• La calculadora del MCD; (máximo común divisor)
• La calculadora del MCD 🇺🇸; (máximo común denominador)
• La calculadora del Máximo Común Denominador 🇺🇸;
• La calculadora del máximo común divisor 🇺🇸.

Para calcular el MCD de {12,27,9} mediante el algoritmo euclídeo, sigue estos sencillos pasos:

1. Calcula el MCD de 12 y 27 mediante el algoritmo euclídeo:

   • Resta 12 de 27, y sustituye 27 por el resultado: 27 - 12 = 15.

   • Repite el paso para 12 y 15: 15 - 12 = 3.

   • Repite los mismos pasos. Al final encontrarás 3.

   • 3es el DGC de12y27`.

2. Saca el MCD de 27 y 9: MCD(27,9) = 9.

3. Calcula el MCD de los resultados de los pasos 1. y 2.: MCD(3,9) = 3. Éste es el MCD de {12,27,9}.

Para sacar el MCD utilizando la factorización en primos, debes seguir estos pasos:

1. Encuentra la factorización en primos de los números que estás analizando.
2. Encuentra, si existe, el mayor de los factores primos comunes.
   • Si no lo encuentras, el MCD es 1.
3. Encuentra el mayor exponente al que se eleva el factor hallado en el paso 2.
4. El resultado del factor elevado al exponente es el MCD del conjunto de números dado.

Sí: puedes hallar el MCD de los números negativos. El signo no importa; puedes excluirlo fácilmente de los cálculos. El MCD siempre será positivo, ya que suponemos que el número original procede de la multiplicación del máximo común divisor por un número negativo.