Calculadora de desviación estándar

La calculadora de la desviación estándar te muestra cómo calcular la media y la desviación estándar de un conjunto de datos. Si estás aprendiendo estadística, es esencial que aprendas a hallar la desviación estándar , porque su uso está muy extendido.

Te encantarán las características especiales de nuestra calculadora de desviación estándar o típica:

• Funciona como calculadora de la desviación estándar poblacional o muestral.
• Te mostramos los pasos para que la entiendas fácilmente.
• Es excelente como herramienta de aprendizaje o como calculadora para conjuntos de datos pequeños.
• A continuación se explican la definición y la fórmula de la desviación estándar.

¡Sigue leyendo para empezar!

La desviación estándar o típica es una medida de la variabilidad de un conjunto de datos. En otras palabras, la desviación estándar describe lo "dispersos" que están los datos en torno a la media. Esta calculadora trata con datos puntuales separados, pero también tenemos una calculadora de desviación estándar de datos agrupados 🇺🇸 dedicada a los datos agrupados.

Una desviación estándar alta indica que un conjunto de datos está más disperso.

Una desviación estándar baja indica que los datos están más agrupados en torno a la media o menos dispersos.

¿Te imaginas cómo es una desviación estándar? Aunque puedes calcular la desviación estándar de cualquier conjunto de datos, puede ser útil visualizar la desviación estándar de los datos con distribución normal. La regla empírica establece que para cualquier conjunto de datos que se aproxime a una distribución normal, aproximadamente el 68% de los datos se situarán dentro de una desviación estándar de la media, como se muestra en la figura siguiente.

La desviación estándar no sólo es una medida de variación muy utilizada, sino que constituye la base de otras herramientas que caracterizan la variación, incluidas las cantidades calculadas por la calculadora de la desviación estándar relativa 🇺🇸 y la calculadora del intervalo de confianza.

La definición matemática de la desviación estándar (σ) es la raíz cuadrada positiva de la varianza ($\sigma^2$):

La ecuación de la desviación estándar parece sencilla, pero ¿cómo se calcula la varianza?

La varianza se define como la diferencia cuadrática media respecto a la media de todos los puntos de datos. Se escribe como:

donde:

• $\sigma^2$ - Varianza;
• $\mu$ - Media;
• $x_i$ - El i-ésimo punto de datos de $N$ puntos de datos totales.

Puedes calcular la varianza en tres pasos:

1. Halla la diferencia respecto a la media de cada punto. Utiliza la fórmula:
   $x_i - \mu$

2. Eleva al cuadrado la diferencia con la media de cada punto:
   $(x_i - \mu)^2$

3. Halla la media de las diferencias al cuadrado respecto a la media que has hallado en el paso 2:
   $\frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$
   Ésta es la varianza de los datos poblacionales. Ten en cuenta que este paso es ligeramente distinto para los datos muestrales (véase el apartado siguiente).

Ahora recordamos que la desviación estándar es la raíz cuadrada (positiva) de la varianza, por lo que la ecuación completa de la desviación estándar (para datos poblacionales) pasa a ser:

En muchos experimentos científicos, sólo se mide una muestra de una población por razones prácticas. Esta muestra nos permite hacer inferencias sobre la población. Sin embargo, cuando los datos de la muestra se utilizan para estimar la varianza de una población, la fórmula de la varianza $\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$ subestima la varianza de la población.

Para evitar subestimar la varianza de una población (y, en consecuencia, la desviación estándar), sustituimos $N$ por $N - 1$ en las fórmulas de la varianza y la desviación estándar, cuando se utilizan datos de la muestra. Este ajuste se conoce como corrección de Bessels.

La fórmula de la varianza muestral pasa a ser

y la fórmula de la desviación estándar completa pasa a ser

donde:

• $s^2$ - Estimación de la varianza;
• $s$ - Estimación de la desviación estándar;
• $\={x}$ - Media muestral.

Supongamos que tenemos un conjunto de datos de muestra con siete números: 2, 4, 5, 6, 6, 9, 10. ¿Cómo calculamos la desviación estándar? Sigue estos pasos:

1. Calcula la media

Para calcular la media (x̄), divide la suma de todos los números por el número de puntos de datos:
$\={x} = \frac{2 + 4 + 5 + 6 + 6 + 9 + 10}{7} = 6$.

2. Calcula las diferencias al cuadrado respecto a la media

Ahora que conocemos la media (x̄ = 6), calcularemos la diferencia al cuadrado respecto a la media de cada punto de datos:
$(x_i - \={x})^2$.

Para el primer punto con valor 2, el cálculo sería:
$(2-6)^2 = (-4)^2 = 16$.

Las diferencias al cuadrado calculadas respecto a la media para todos los puntos de datos se muestran en la tabla siguiente:

3. Calcula la varianza y la desviación estándar

Como estamos utilizando datos muestrales, calculamos la varianza utilizando la ecuación de la varianza muestral y las diferencias al cuadrado respecto a la media que hallamos en el paso 2:

$s^2 = \frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2$,
lo que da
$s^2 = \frac{16 + 4 + 1 + 0 + 0 + 9 + 16}{7 - 1} = 7.6667$.

La desviación estándar (s) es la raíz cuadrada de la varianza, por lo que nuestro paso final es:

$s = \sqrt{7.6667} = 2.7689$.

La desviación estándar del conjunto de datos de la muestra era 2.8. Ahora que ya sabes cómo hallar la desviación estándar, prueba a calcularla tú mismo y comprueba tu respuesta con nuestra calculadora

Si calculas la desviación estándar con una calculadora de mano, hay una fórmula más fácil de utilizar para calcular la varianza. Esta fórmula alternativa es matemáticamente equivalente, pero más fácil de escribir en una calculadora.

La fórmula fácil de escribir para la varianza (para datos de población) es:

La fórmula fácil de escribir para la varianza muestral es:

Para hallar la desviación estándar, primero calcularías la varianza utilizando cualquiera de las fórmulas anteriores. Después, la desviación estándar sería la raíz cuadrada de la varianza.

Por ejemplo, con un conjunto de datos muestrales de 1, 2, 4, 6, el cálculo de la varianza muestral sería:
$\sum(x_i^2) = (1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2) = 57$
$(\sum x_i)^2 = \frac{(1 + 2 + 4 + 6)^2}{4} = \frac{169}{4} = 42.25$

lo que da

$\sigma^2 = \frac{57 - 42.25}{4-1} = 4.9167$.

La desviación estándar sería entonces la raíz cuadrada de la varianza:

$\sqrt{4.9167} \approx 2.2$

Inténtalo tú mismo y comprueba tu respuesta con nuestra calculadora de desviación estándar

Tabla 1. Variables de los datos de población

Tabla 2. Variables de los datos de la muestra