Volumen Rechner

Der Volumenrechner berechnet das Volumen einiger der gängigsten dreidimensionalen geometrischen Körper. Bevor wir zur Berechnung des Volumens übergehen, müssen wir das Volumen definieren. Das Volumen unterscheidet sich von der Fläche, die die Menge an Raum ist, die ein zweidimensionaler Körper einnimmt. Es kann schon mal zu Verwirrung führen, wenn du versuchst, das Volumen eines Rechtecks oder eines Quadrates zu bestimmen (Spoiler: Ein Rechteck hat kein Volumen). Der Rechner hilft dir bei der Berechnung des Volumens von Körpern wie Kugeln, Zylindern, Würfeln, Kegeln und Quadern.

Das Volumen ist die Menge an Raum, die ein Objekt oder eine Substanz einnimmt. Im Allgemeinen wird das Volumen eines Behälters als sein Fassungsvermögen verstanden — nicht als die Menge an Raum, die der Behälter selbst einnimmt. Kubikmeter (m³) ist die SI-Einheit für das Volumen.

Bekannte Volumeneinheiten sind:

1. metrische Volumeneinheiten
   • Kubikzentimeter (cm³)
   • Kubikmeter (m³)
   • Liter (l)
   • Milliliter (ml)
2. US-Volumeneinheiten, UK- (oder imperiale) Volumeneinheiten
   • Fluid ounce/flüssige Unzen (1 fl oz = 29,6 ml)
   • Cubic inch/Kubikzoll (1 cu in = 16,4 ml)
   • Cubic foot/Kubikfuß (1 cu ft = 28,3 l)
   • Cups/Tassen (1 Tasse = 236,6 bis 250 ml)
   • Pints (1 pt = 1,76 l)
   • Quarts/britisches Quartel (1 qt = 1,14 l)
   • Gallons/Gallone (1 gal = 4,5 l)

Wenn du die Volumeneinheiten erst noch umrechnen möchtest, kannst du unseren Volumenumrechner 🇺🇸 verwenden. Ein weiterer nützlicher Rechner ist unser Gramm in Tassen Rechner, der dir helfen kann, imperiale und metrische Mengenangaben von Lebensmitteln umzurechnen. Beachte, dass es sich dabei nicht um eine einfache Umrechnung handelt, sondern um eine Umrechnung von Gewicht (Gramm) auf Volumeneinheiten (Tassen) — deshalb musst du die Dichte der Zutat kennen.

Du kannst auch einen Blick auf diese übersichtliche Umrechnungstabelle für Volumeneinheiten werfen, um den Umrechnungsfaktor im Handumdrehen herauszufinden:

Es gibt keine einfache Antwort auf diese Frage, denn das Volumen hängt von der Form des betreffenden Körpers ab. Hier sind die Formeln für einige der gängigsten Formen:

1. Würfel = $a^3$, wobei $a$ die Länge der Seite ist.

2. Kugel = $(4/3)\pi r^3$, wobei $r$ der Radius ist.

3. Zylinder = $\pi r^2h$, wobei $r$ der Radius und $h$ die Höhe ist.

4. Kegel = $(1/3)\pi r^2h$, wobei $r$ der Radius und $h$ die Höhe ist.

5. Rechteckiger Körper (Quader) = $lwh$, wobei $l$ die Länge, $w$ die Breite und $h$ die Höhe ist (ein einfaches Schwimmbecken ist ein Beispiel für eine solche Form).

6. Pyramide = $(1/3)Ah$, wobei $A$ die Grundfläche und $h$ die Höhe ist. Für eine Pyramide mit einer regelmäßigen Grundfläche kann auch eine andere Gleichung verwendet werden: Pyramide = $(n/12) h a^2 \cot(\pi/n)$, wobei $n$ die Anzahl der Seiten (mit der Länge $a$) der Grundfläche bei einem regelmäßigen Vieleck ist.

7. Prisma = $Ah$, wobei $A$ die Grundfläche und $h$ die Höhe ist. Für ein regelmäßiges Dreiecksprisma lässt sich die Gleichung leicht herleiten, ebenso für ein regelmäßiges, vierseitiges Prisma, das die gleiche Form wie eine Box hat.

Wir haben uns entschlossen, diesen Volumenrechner zu einem einfachen Rechner zu machen, der mit den fünf populärsten 3D-Körper umgehen kann. Um den Rechner nicht unübersichtlich zu machen, haben wir nicht jede Volumengleichung und jeden Körpertyp in diesem einen Rechner implementiert. Wenn du also nach einer bestimmten Form suchst, schaue dir die weiteren Rechner auf unserer Website an, die den Volumina verschiedener Formen gewidmet sind!

Schauen wir uns ein Beispiel für die Verwendung dieses Volumenrechners an:

1. Wähle den Typ deines 3D-Körpers. Wenn du den Körper, dessen Volumen du berechnen möchtest, in unserem Rechner nicht finden kannst, wähle einen passenderen Omni-Rechner auf unserer Website aus. In diesem Beispiel nehmen wir an, dass du das Volumen eines Zylinders berechnen möchtest.

2. Trage deine Daten in die entsprechenden Felder ein. Sagen wir, unser Zylinder hat einen Radius von 10 cm und eine Höhe von 120 cm. Du kannst die Einheiten durch einen einfachen Klick auf den Namen der Einheit ändern.

3. So geht's! Das Volumen der gewählten Form wird angezeigt. Unser Zylinder hat ein Volumen von 37 699 cm³.

Wenn du prüfen möchten, wie vielen Litern es entspricht, klicke einfach auf die Einheit neben dem Ergebnis und wähle Liter aus dem Drop-Down-Menü aus. Unser Zylinder hat ein Fassungsvermögen von 37,7 Litern.

Wie kann das Volumen von Objekten mit verschiedenen Aggregatzuständen bestimmen werden?

1. Feststoffe

Bei regelmäßigen dreidimensionalen Körpern kannst du das Volumen leicht berechnen, indem du die Abmessungen des Körpers nimmst und die entsprechende Volumengleichung anwendest. Wenn es sich um eine unregelmäßige Form handelt, kannst du versuchen, genau das zu tun, was Archimedes dazu veranlasste, das berühmte Wort Eureka zu rufen! Wahrscheinlich hast du die Geschichte schon gehört: Archimedes sollte herausfinden, ob die Krone des Hiero aus reinem Gold ist oder nur die Oberfläche vergoldet wurde — ohne sie zu verbiegen oder zu zerstören. Die Idee kam ihm, als er ein Bad nahm — als er in eine Badewanne stieg, bemerkte er, dass der Wasserspiegel anstieg. Aus dieser Beobachtung schloss er, dass das verdrängte Wasservolumen dem Volumen des Körperteils entsprechen musste, welches er untergetaucht hatte. Da er das Volumen und das Gewicht des unregelmäßigen Gegenstandes kannte, konnte er die Dichte berechnen und sie mit der Dichte von reinem Gold vergleichen. Die Legende besagt, dass Archimedes über diese Entdeckung so begeistert war, dass er aus der Badewanne stieg und nackt durch die Straßen von Syrakus lief.

Wenn du also das Volumen eines unregelmäßigen Körpers messen möchtest, tritt in die Fußstapfen von Archimedes (wobei du den Teil mit dem nackten Rennen weglassen kannst):

• Nimm ein Gefäß, das größer ist als der Körper, dessen Volumen du messen möchtest. Das kann ein Eimer, ein Messbecher, ein Messzylinder oder ähnliches sein. Es sollte eine Messskala haben.

• Gieße Wasser in das Gefäß und lies das gemessene Volumen ab.

• Gib den Gegenstand hinein. Er sollte ganz untergetaucht sein, um sein gesamte Volumen zu messen. Lies das Volumen ab. Diese Methode funktioniert nicht, wenn sich der Gegenstand im Wasser auflöst.

Die Differenz zwischen den Messungen ist das Volumen unseres Gegenstandes.

Diese Messungen sind auch wichtig für die Berechnung der Auftriebskraft, die auf dem Archimedischen Prinzip beruht.

2. Flüssigkeit

Normalerweise ist es recht einfach, das Volumen einer Flüssigkeit zu messen — alles, was du brauchst, ist ein Messgefäß mit einer Skala. Wähle das passende Gefäß für deinen Gegenstand: Die Menge der Flüssigkeit und der Grad der Genauigkeit sind die zu berücksichtigenden Parameter. Die Gefäße, die beim Backen eines Kuchens verwendet werden, unterscheiden sich von denen, die in der Chemie verwendet werden (z. B. bei der Berechnung der molaren Konzentration), und von denen, die für medizinische Zwecke verwendet werden (z. B. für die Dosierung eines Medikaments).

3. Gas

Um das Volumen eines Gases zu messen, müssen wir etwas kompliziertere Methoden anwenden. Wir müssen bedenken, dass das Volumen eines Gases von der Temperatur und dem Druck der Umgebung abhängt und dass sich Gase komplett in jedem Behälter ausdehnen, in dem sie sich befinden. Du kannst versuchen, das Volumen des Gases zu messen:

• Blase einen Ballon mit dem Gas auf, das du messen möchtest (z. B. mit Helium, um sich in die Luft zu heben). Dann kannst du Archimedes Methode anwenden — Drücke den Ballon in einen Eimer mit Wasser herunter und prüfe den Volumenunterschied. Eine ausführliche Anleitung findest du auf der englischen wikiHow-Seite.

• Überprüfe die Maße deiner Lungenkapazität mit einem Gerät namens Spirometer.

• In der Chemie wird eine Spritze zur Gasinjektion verwendet, um ein Volumen eines Gases in ein geschlossenes System einzuführen oder daraus zu entnehmen. Du kannst auch das Volumen von Gasen messen, die bei einer chemischen Reaktion entstehen.

Oder berechne das Volumen:

• Bestimme das Volumen des Gases, aus dessen Dichte und Masse. Verwende die einfache Volumengleichung $V = m / d$.

• Berechne das Volumen eines komprimierten Gases in einem Zylinder mit der allgemeinen Gasgleichung.

Es kann weder das Volumen eines Rechtecks noch das Volumen eines Kreises oder eines Quadrats berechnet werden, da es sich bei diesen um zweidimensionale geometrische Flächen handelt. Ein Rechteck hat also kein Volumen (wohl aber eine Fläche). Was du wahrscheinlich suchst, ist das Volumen eines Quaders (z. B. einer Box), der ein dreidimensionaler Körper ist.

Um das Volumen eines Quaders zu bestimmen, multipliziere einfach Länge, Breite und Höhe miteinander — schon hast du das Ergebnis! Wenn ein Quader z. B. die Maße 5×7×2 cm hat, beträgt sein Volumen 70 Kubikzentimeter.

Bei Dimensionen, die relativ kleine ganze Zahlen sind, ist die Berechnung des Volumens im Kopf oder handschriftlich recht einfach. Bei größeren Zahlen oder Dezimalzahlen ist die Verwendung des Volumenrechners sehr hilfreich.

Es gibt viele Anwendungen im Alltag, bei denen der Volumenrechner nützlich ist:

1. Beispielsweise beim Bau von Straßen oder Gehwegen, wofür Betonplatten hergestellt werden müssen. Im Allgemeinen sind Betonplatten rechteckige Körper, sodass der Betonplatten Rechner — der eine Anwendung des Volumenrechners ist — verwendet werden kann.

2. Die Volumenformeln können auch hilfreich sein, wenn du ein begeisterter Gärtner oder glücklicher Besitzer eines Hauses mit Garten bist. Schaue dir unsere anderen Rechner wie z. B. den Blumenerde Rechner an, um das Volumen und die Kosten von Mutterboden sowie die Menge der für deinen Blumentopf benötigten Erde abzuschätzen.

3. Außerdem kannst du die Volumen der Verpackungen aus deiner Küche oder deinem Badezimmer kennenlernen: Auf jeder Flüssigkeit, die wir trinken (z. B. Wasser in Flaschen), sowie auf Pflegeprodukten oder Zahnpasta steht das Volumen auf der Produktverpackung (in der Regel in Millilitern/Litern).

4. Volumenberechnungen sind sehr praktisch, wenn du genügend Lebensraum für deine geliebten Haustiere garantieren möchtest. Seien es Schildkröten und Fische im Aquarium oder Mäuse und Ratten in Käfigen.

5. Eine weitere verwandte Anwendung ist die Berechnung der Oberfläche. Angenommen, die gesamte Außenfläche eines Gebäudes muss gestrichen werden. Um zu wissen, wie viel Farbe benötigt wird, muss die Fläche des Gebäudes berechnet werden. Mit unserem praktischen Oberflächenrechner kannst du diese Berechnung durchführen.

Die Volumenformel hängt von der Form des Körpers ab. Eine der gängigsten Formen ist das regelmäßige, vierseitige Prisma, auch bekannt als Quader, bei dem einfach Länge mal Breite mal Höhe multipliziert wird, um das Volumen zu ermitteln. Eine weitere gängige Form ist ein Zylinder — um sein Volumen zu ermitteln, wird die Höhe des Zylinders mit der Fläche seiner Basis multipliziert (π ∙ r²). Weitere 3D-Formen findest du in Omni's Volumen-Rechner.

Die Messung des Volumens hängt vom Aggregatzustand des Körpers ab. Für Flüssigkeiten kannst du einen Messzylinder oder eine Bürette für die Messungen im Chemielabor oder einen Messbecher und Löffel für alltägliche Zwecke verwenden. Bei Gasen kannst du das Volumen grob messen, indem du einen Luftballon aufbläst und damit das Wasser in einem Messzylinder verdrängst. Eine ähnliche Methode funktioniert bei Festkörpern: Lege das Objekt in ein mit Wasser gefülltes Messgefäß und miss die Änderung des Wasserstandes. Die Differenz entspricht dem Volumen des Gegenstandes.

Volumen ist „kubisch”, da es sich um ein dreidimensionales Maß handelt. Die Fläche ist ein „quadratischer” Wert, da die Fläche einer Form zwei Dimensionen umfasst. Du kannst dir merken, dass das Volumen ein kubischer Wert ist, indem du dir einige der Volumeneinheiten wie Kubikmeter oder Kubikzentimeter merkst.

Je nach Form deines Körpers werden verschiedene Formeln zur Berechnung des Volumens verwendet:

• Würfelvolumen = Seite³
• Volumen eines Quaders = Länge ∙ Breite ∙ Höhe
• Kugelvolumen = (4/3) ∙ π ∙ Radius³
• Zylindervolumen = π ∙ Radius² ∙ Höhe
• Kegelvolumen = (1/3) ∙ π ∙ Radius² ∙ Höhe
• Pyramidenvolumen = (1/3) ∙ Grundfläche ∙ Höhe

Ein Kubikmeter ist die SI-Volumeneinheit. Da dies jedoch ziemlich unpraktisch ist, wird das Volumen meist angegeben in:

• Kubikzentimeter,
• Milliliter und
• Liter,

In den USA werden vor allem die Maßeinheiten:

• Kubikzoll (cubic ounce) und
• Gallon verwendet.

Messzylinder und Erlenmeyerkolben eignen sich, wenn du das Volumen einer Flüssigkeit grob abmessen möchtest. Für genauere Messungen kannst du eine Messpipette und eine Bürette verwenden. Wenn du jedoch einen Kuchen backen oder ein leckeres Gericht zubereiten möchtest und das Rezept Volumeneinheiten verwendet, kannst du einfach einen Messbecher, ein Glas oder einen Löffel zum Abmessen verwenden.

Der Kubikmeter (m³) ist die SI-Einheit des Volumens. Sie ist von der SI-Basiseinheit der Länge — dem Meter — abgeleitet. Obwohl der Kubikmeter die grundlegende SI-Einheit ist, werden andere Einheiten häufiger verwendet: Für das metrische System sind Milliliter, Liter oder Kubikzentimeter der Standard, während das Volumen für das imperiale System meistens in Pints, Gallonen, Kubikzoll, Kubikfuß oder Kubikyard angegeben wird.

Das Volumen ist eine extensive Zustandsgröße, genau wie die Stoffmenge, die Masse, die Energie oder die Entropie. Eine extensive Zustandsgröße ist eine Größe, die von der Menge der Materie abhängt. Ein Beispiel: Ein Glas, ein Fass und ein mit Wasser gefülltes Becken haben unterschiedliche Volumina und Massen (extensive Zustandsgröße), aber das Wasser in diesen drei Behältern hat die gleiche Dichte, den gleichen Brechungsindex und die gleiche Viskosität (intensive Zustandsgröße).

Das Volumen ist ein 3D-Maß, während die Oberfläche zweidimensional ist. Das Volumen gibt Aufschluss über den kubischen Raum, den ein Objekt einnimmt. Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen, die die 3D-Form bilden. Nehmen wir einen Karton als Beispiel 📦:

• Das Volumen ist der Raum, den der Karton einnimmt — einfach gesagt, ist es der Raum, der im Inneren der Schachtel zur Verfügung steht.
• Die Oberfläche ist der Raum, der von den Seiten des Kartons eingenommen wird. Er wird berechnet, wenn die Seiten bemalt oder der Karton in Papier eingewickelt wird.

Die Verdrängungsmethode kann für unregelmäßig geformte feste Körper verwendet werden:

1. Fülle einen Behälter mit Wasser und markiere den Wasserstand.
2. Tauche deinen Gegenstand komplett unter und markiere den Füllstand erneut. Achte darauf, dass dein Gegenstand nicht wasserlöslich ist.
3. Bei skalierten Behältern kannst du einfach das ursprüngliche Volumen vom neuen Volumen subtrahieren. Das war's, herzlichen Glückwunsch!

Wenn dein ursprünglicher Behälter keine Skala hat:

4. Nimm das Objekt heraus.
5. Fülle dein Gefäß bis zur zweiten Markierung mit Wasser, gieß das Wasser in einen Messzylinder/ein anderes Messgefäß.
6. Wiederhole Schritt 5 für einen anderen markierten Füllstand und ziehe die Volumina ab.
7. Klopfe dir selbst auf die Schulter — du hast das Volumen eines unregelmäßig geformten Körpers bestimmt!

Das Volumen misst die Raummenge, die ein Objekt in drei Dimensionen einnimmt. Ein weiterer, eng verwandter Begriff ist das Fassungsvermögen, das das Volumen des Innenraums eines Objekts angibt. Mit anderen Worten, das Fassungsvermögen beschreibt, wie viel der Behälter fassen kann (Wasser, Gas usw.).

Das Volumen der Erde entspricht ungefähr 1,08321∙10¹² km³ (1,08 Billionen Kubikkilometer). Dieses Ergebnis erhält du, wenn du die Formel für das Kugelvolumen (4/3) ∙ π ∙ Radius³ anwendest und davon ausgehst, dass der durchschnittliche Radius der Erde 6371 km beträgt.

Um das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen A:V zu berechnen, dividiere einfach die Oberfläche durch das Volumen. Für einige ausgewählte Formen ist das:

• Verhältnis A:V für Würfel = (6 ∙ Seite²) / (Seite³) = 6 / Seite
• A:V-Verhältnis für Kugel = (4 ∙ π ∙ Radius²) / ((4/3) ∙ π ∙ Radius³)= 3 / Radius
• A:V-Verhältnis für Zylinder = (2 ∙ π ∙ Radius² + 2 ∙ π ∙ Radius ∙ Höhe) / (π v Radius² ∙ Höhe) = 2 ∙ (Radius + Höhe) / (Radius ∙ Höhe)