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Der Name klingt vielleicht hochtrabend, aber der euklidische Abstand ist nichts anderes als die Entfernung, wie wir sie uns jeden Tag vorstellen: Entdecke mehr darüber, wie du sie mit unserem Euklidischer-Abstand-Rechner ermitteln kannst!

Hier erfährst du:

  • Was der euklidische Abstand ist;
  • Formeln:
    • Der Abstand zwischen zwei Punkten und die Entfernung zwischen drei Punkten;
    • Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden;
    • Der Abstand zwischen zwei Geraden.
  • Andere Verwendungen des euklidischen Abstands.

Was ist der euklidische Abstand?

Der euklidische Abstand ist eine Metrik, die über den Euklidischen Raum (den physischen Raum, der uns umgibt, plus oder minus einiger Dimensionen) definiert ist. Kurz gesagt, misst der euklidische Abstand den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten in einem glatten n-dimensionalen Raum.

Wir können den euklidischen Abstand nur in flachen Räumen definieren: Auf gekrümmten Oberflächen passieren seltsame Dinge, und gerade Linien sind nicht unbedingt die kürzesten!

Wie berechne ich den euklidischen Abstand?

Der euklidische Abstand wird durch die kartesischen Koordinaten der untersuchten Punkte definiert. Man kann ihn sich als Translationsvektor zwischen zwei Punkten vorstellen. In unserem Rechner für euklidische Abstände zeigen wir dir, wie du ihn berechnen kannst:

  • Der euklidische Abstand zwischen zwei oder drei Punkten in Räumen von einer bis vier Dimensionen;
  • Der euklidische Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden im zweidimensionalen Raum; und
  • Der euklidische Abstand zwischen zwei parallelen Geraden im zweidimensionalen Raum.

Euklidischer Abstand zwischen zwei Punkten

Um den euklidischen Abstand zwischen zwei Punkten zu bestimmen, musst du die Koordinaten dieser Punkte kennen.

Nimm einen allgemeinen Punkt pp. Wir können seine Koordinaten wie folgt schreiben:

p=(p1,p2,p3,...)p = (p_1,p_2,p_3,...)

Die Anzahl der Koordinaten hängt von der Dimensionalität des Raums ab.

Um den Abstand zwischen dem Punkt pp und dem Punkt qq zu berechnen, wenden wir eine verallgemeinerte Form des Satzes des Pythagoras an:

 ⁣d(p,q) ⁣= ⁣(q1 ⁣ ⁣p1)2 ⁣+ ⁣(q2 ⁣ ⁣p2)2 ⁣+ ⁣=i=1n(qipi)2\small \begin{align*} \!d(p,q)\!&=\!\sqrt{(q_1\!-\!p_1)^2\!+\!(q_2\!-\!p_2)^2\!+\!\dots}\\ \\ &=\sqrt{\sum_{i=1}^n(q_i-p_i)^2} \end{align*}

Dabei ist nn die Dimensionalität des Raums.

Wie du siehst, ist es ziemlich einfach!

Euklidischer Abstand von drei Punkten

Wenn wir einen Punkt hinzufügen, finden wir drei mögliche Entfernungen; drei Punkte definieren schließlich immer ein (möglicherweise entartetes) Dreieck.

Nimmt man das Dreieck aus den Punkten pp, qq und rr, ergeben sich die folgenden zwei Abstände:

d(p,q)=i=1n(qipi)2d(q,r)=i=1n(qiri)2d(p,r)=i=1n(piri)2\begin{align*} d(p,q)&=\sqrt{\sum_{i=1}^n(q_i-p_i)^2}\\ \\ d(q,r)&=\sqrt{\sum_{i=1}^n(q_i-r_i)^2}\\ \\ d(p,r)&=\sqrt{\sum_{i=1}^n(p_i-r_i)^2} \end{align*}

Dieses Konzept kann natürlich auf immer größere n-Tupel erweitert werden.

Euklidischer Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden (in zwei Dimensionen) zu bestimmen, müssen wir die Tatsache berücksichtigen, dass eine Gerade nichts anderes ist als eine Ansammlung von Punkten, die eine Gleichung erfüllen. Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden ist dann der minimale Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden.

Das Segment, das den Punkt mit dem Punkt auf der Geraden verbindet, der die obige Bedingung erfüllt, steht senkrecht auf der Geraden selbst. Um den Abstand zu bestimmen, verwenden wir diese Formel:

d=ap1+bq1+ca2+b2d=\frac{\left\lvert a\cdot p_1 +b\cdot q_1 + c\right\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}

Dabei sind aa, bb und cc die Koeffizienten der Gleichung der Geraden in der Form: ax+by+c=0a\cdot x + b\cdot y + c = 0. Wenn wir den gebräuchlicheren Ausdruck y=mx+cy = m\cdot x + c betrachten, würden wir diese (in jeder Hinsicht gleichwertige) Formel verwenden:

d=mp1+q1+cm2+1d=\frac{\left\lvert m\cdot p_1 + q_1 + c\right\rvert}{\sqrt{m^2+1}}

Euklidischer Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

Um den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden zu berechnen, verwenden wir die folgende Gleichung:

d=c2c1a2+b2d=\frac{\lvert c_2-c_1 \rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}

Die Geraden haben die Gleichungen:

  • a1x+b1y1+c1a_1\cdot x+b_1\cdot y_1 + c_1; und
  • a2x+b2y1+c2a_2\cdot x+b_2\cdot y_1 + c_2.

Die Wahl der Koeffizienten unterliegt jedoch einer starken Beschränkung. Da sich zwei nicht parallele Geraden an einem bestimmten Punkt in der Ebene kreuzen würden, was zu einem trivialen Abstand d=0d=0 führen würde, definieren wir den euklidischen Abstand nur im Fall von parallelen Geraden. Das gibt uns einige hilfreiche Regeln:

  • a1=a2=aa_1=a_2=a;
  • b1=b2=bb_1=b_2=b;
  • Allerdings c1c2c_1\neq c_2.

Wenn wir die Hauptform einer Geradengleichung verwenden, lautet die Formel für den Abstand:

d=c2c1m2+1d=\frac{\lvert c_2-c_1 \rvert}{\sqrt{m^2+1}}

Eine andere Sichtweise: Euklidischer Abstand als Entfernung zwischen mehreren Punkten

Der euklidische Abstand wird zu einem wichtigen Konzept beim maschinellen Lernen (der weniger wissenschaftlichen Version der KI), bei dem die Entfernung zwischen Punkten in beliebigen Räumen von Merkmalen mit Metriken gemessen wird. Die am häufigsten verwendeten sind:

  • Der Minkowski-Abstand;
  • Der Manhattan-Abstand; und
  • Der Euklidische Abstand.

Jeder dieser Abstände ist für bestimmte Daten geeignet: der Manhattan-Abstand für ganzzahlige Werte und der euklidische Abstand für reellwertige Daten. Der Minkowski-Abstand ist eine Verallgemeinerung von beiden.

Es ist interessant zu sehen, wie ein physikalisches und konkretes Konzept (der Abstand zwischen zwei Punkten) in einen Abstand in einem Merkmalsraum umgewandelt wird: Der Unterschied besteht darin, dass der Abstand zwischen deinem Haus und dem eines Freundes nicht berechnet wird, sondern ein verallgemeinerter Abstand zwischen zwei Farben, zwei Automodellen etc.

Wie benutze ich den Rechner für euklidische Abstände?

Wähle zunächst die Objekte aus, für die du den Abstand berechnest: Bei Punkten kannst du auch die Dimensionalität des Raums wählen.

Dann gibst du die Koordinaten der Punkte oder die Parameter der Geraden ein. Wir zeigen dir sowohl den Abstand als auch die Rechenschritte, um ihn zu berechnen. Mehr gibt es dazu nicht zu sagen!

Euklidischer Abstand und darüber hinaus

Der euklidische Abstand ist eine besondere — aber dennoch gängige — Art, die Entfernung zu messen. Wir haben weitere Rechner für bestimmte Themen und Probleme entwickelt:

FAQ

Wie groß ist der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden mit den Gleichungen y = 2x + 3 und y = 2x - 4?

Der Abstand beträgt 3,13. Um ihn zu berechnen:

  1. Bestimme die Parameter der Geraden:

    • m=2 (der Wert ist für beide Geraden gleich, da sie parallel sind); und

    • c₁ = 3, und c₂ = -4.

  2. Wende die Gleichung für den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden an:

    d = | c₁ - c₂ |/(√[m² + 1])
    d = | 3 + 4 |/(√[2² + 1] = 3,13

Wie kann ich den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade berechnen?

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor:

  1. Lege die Koordinaten und Parameter der Objekte fest.

  2. Berechne den Abstand mithilfe der Formel:

    d = | m ∙ p₁ + q₁ + c |/(√[m² + 1])

  3. Und das war's! Um den Abstand zu berechnen, mussten wir den Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatenraum und dann seine Höhe berechnen.

Ist die Formel für den Abstand in einem vierdimensionalen Raum noch gültig?

Ja: Das Konzept des Abstands existiert in jedem euklidischen Raum mit einer beliebigen Anzahl von Dimensionen. Es kann allerdings schwierig sein, sich einen 4-dimensionalen Raum vorzustellen. Stell dir ein Auto vor, das sich in einer bestimmten Zeit t von einem Punkt A zu einem Punkt B bewegt. Wenn du die Zeit als vierte Dimension nimmst, kannst du sehen, dass sich das Auto nicht bewegt, wenn du die Bewegung einfrierst: Wir brauchen die vierte Dimension, um den Abstand zu definieren!

Wie groß ist der Abstand zwischen den Punkten p = (1,2) und q = (2,3)?

d = 1,414. Um den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in einer Ebene zu berechnen, wenden wir einfach die Formel an:

√[(p₂ - p₁)² + (q₂ - q₁)²]

In diesem Fall:

√[(2 - 1²) + (3 - 2²] = √2 = 1,414

Beachte, dass der Abstand zwischen diesen beiden Punkten sowohl der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als auch der Diagonale eines Quadrats entspricht.

Davide Borchia
distance between points in 2D
Dimensions
2D
Type
2 points
First point
x₁
y₁
Second point
x₂
y₂
Result
Distance
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