Calculadora de Ponto Final

Created by Maciej Kowalski, PhD candidate
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Marinara Andrade do Nascimento Moura, PhD candidate and João Rafael Lucio dos Santos, PhD
Last updated: Jan 18, 2024


Esta é a Calculadora de ponto final da Omni, onde aprenderemos como encontrar o ponto final de um segmento de reta conhecendo sua outra extremidade e seu ponto médio. Como você deve ter adivinhado, esse tópico está relacionado ao cálculo do ponto médio, razão pela qual a fórmula do ponto final é muito semelhante à da calculadora de ponto médio. Mas, antes de entrarmos em detalhes, analisaremos cuidadosamente a definição de ponto final em geometria, para que você entenda melhor com o que estamos lidando aqui.

Portanto, sente-se, prepare uma xícara de café e vamos começar!

Definição do ponto final segundo a geometria

Em termos coloquiais, um ponto final é um ponto que fica no fim. Temos certeza de que essa afirmação foi tão chocante para você quanto foi para nós quando a ouvimos pela primeira vez. Mas, nem sempre uma palavra tem seu sentido literal, não é mesmo? Portanto, você nunca terá 100% de certeza ao adivinhar o significado de uma palavra, concorda?

Em sua forma mais simples, a definição de ponto final em geometria se concentra em segmentos de linha, ou seja, linhas retas que conectam dois pontos. Sim, como você deve estar imaginando, esses pontos são os pontos finais. Observe que, de acordo com essa definição, cada segmento tem dois pontos finais (a menos que seja o caso degenerado em que eles são o mesmo ponto, ou seja, o intervalo é um único ponto).

Um segmento tem dois pontos finais

Para simplificar os cálculos, chamaremos um deles de ponto inicial (como é feito na calculadora). No entanto, lembre-se de que o início também pode ser o fim se você olhar para ele do outro lado.

Isso soou tremendamente filosófico, não acha? Mas vamos deixar as perguntas "Quem somos nós e para onde vamos?" e seguir direto ao ponto. Devemos nos concentrar nos segmentos que mencionamos e em como encontrar os pontos finais.

Como encontrar o ponto final de uma reta?

Para obter o ponto final, inicialmente precisamos ter algum ponto de referência. Em outras palavras, como estamos lidando com um segmento de reta e um de seus componentes, precisamos saber como é o restante da reta.

A situação mais simples e mais comum é quando não temos o ponto final, mas sabemos o ponto inicial e o ponto médio. Este último é simplesmente, como o nome sugere, o ponto que marca o meio do segmento. Isso é tudo o que precisamos para encontrar o ponto final, afinal, já sabemos que ele deve estar na outra extremidade do ponto médio em relação ao ponto inicial e estar à mesma distância.

Portanto, intuitivamente, já podemos descrever geometricamente como encontrar o ponto final.

  1. Dado o ponto inicial, AA, e o ponto médio, BB, desenhe o segmento de reta que conecta os dois;
  2. Desenhe uma linha que se afaste de BB e de AA;
  3. Meça a distância de AA a BB e marque a mesma distância partindo de BB até a outra extremidade do segmento de reta; e"
  4. É isso, agora você já pode comemorar, pois encontrou o ponto final.

Entretanto, há pessoas (e não estamos sugerindo que nós somos essas pessoas) que não gostam muito de desenhar linhas. Afinal de contas, você precisa de uma régua para isso, e quando queremos encontrar uma coisa, incrivelmente, não achamos, não é?

🔎 Em vez de desenhar linhas, você pode simplesmente usar nossa calculadora de distância para dois pontos determinados.

Desenhar linhas pode ser difícil sem o instrumento adequado.

De qualquer forma, para as pessoas que preferem números e cálculos (e agora podemos estar sugerindo que nós somos essas pessoas), vamos nos concentrar em como encontrar o ponto final algebricamente na próxima seção "Fórmula do ponto final". Por favor, não tenha medo da palavra "algebricamente", logo, você verá como ela se traduz em "fácil e sem esforço", o próprio lema da nossa calculadora de ponto final.

Fórmula do ponto final

Na geometria de coordenadas, lidamos com objetos que estão inseridos no que chamamos de espaço euclidiano. Não é muito importante agora entender sua definição matemática, mas, para nossos propósitos, é suficiente saber que isso significa que nesse espaço, os pontos, digamos, AA ou BB, têm duas coordenadas: A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) e B=(x2,y2)B = (x_2, y_2).

Os números x1x_1 e x2x_2 marcam a posição dos pontos em relação ao eixo horizontal (geralmente denotados por xx), enquanto y1y_1 e y2y_2 são usados para o eixo vertical (geralmente denotados por yy). Juntos, esse par de números (x1,y1)(x_1, y_1) define um ponto no espaço. Além disso, as coordenadas nos ajudam a analisar objetos mais complicados em nosso espaço euclidiano. Por exemplo, elas aparecem na fórmula do ponto final.

Digamos que você tenha um segmento de reta que vai de A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) até... bem, ainda não sabemos. Agora explicaremos como encontrar o ponto final B=(x2,y2)B = (x_2, y_2) se você souber o ponto médio M=(x,y)M = (x, y).

A partir da definição de ponto médio, sabemos que a distância de AA para MM deve ser a mesma que a de MM para BB. Só que BB está do outro lado do segmento. Isso significa que, para encontrar BB, basta "mover" MM ao longo da linha que passa por AA e MM pelo mesmo comprimento do segmento AMAM. Ou, se você quiser soar mais elegante, pelo vetor AMAM. Aprenda mais com a calculadora de vetores da Omni!

Em outras palavras, temos:

x2=x+(xx1)=2xx1x_2 = x + (x - x_1) = 2x - x_1, e

y2=y+(yy1)=2yy1y_2 = y + (y - y_1) = 2y - y_1.

Para resumir, se você gosta de ter todas as informações de que precisa em um parágrafo, aqui está.

💡 O ponto final de um segmento de reta que vai de A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) a um ponto médio em M=(x,y)M = (x, y) é o ponto B=(2xx1,2yy1)B = (2x - x_1, 2y - y_1).

Observe que, acima, mencionamos a linha que passa por AA e MM. Essas linhas são bastante úteis quando você está aprendendo a encontrar o ponto final ou o ponto médio. Afinal de contas, o segmento ABAB está contido nessa linha.

Ufa! Gastamos muito tempo com teoria! Que tal deixarmos de lado esse palavreado técnico e ver um exemplo numérico? Afinal de contas, tempo é dinheiro!

Exemplo: usando a calculadora de ponto final

Digamos que, há quatro meses, você começou a postar vídeos no YouTube. Nada sofisticado, apenas algumas receitas culinárias tradicionais da sua região. Começou como um passatempo, mas as pessoas parecem estar gostando do conteúdo, e você vê o número de espectadores aumentando linearmente com o tempo. Por que não tentamos encontrar o ponto final que falta com nossa calculadora para verificar quantos espectadores você terá em quatro meses?

Antes de tudo, observe que, embora o problema não pareça geométrico, podemos de fato encontrar a resposta usando a definição de ponto final da geometria. Afinal de contas, o ponto de partida, ou seja, o mês zero, foi quando você começou a postar os vídeos, portanto, tínhamos 0 espectadores naquele momento. Agora, estamos no mês quatro, que será nosso ponto médio (já que queremos encontrar o número de espectadores em outros quatro meses). Em outras palavras, o ponto final será nossa resposta.

Digamos que, atualmente, você tenha 54.000 inscritos, e vamos tentar traduzir todos esses dados de forma que a calculadora de ponto final entenda o que queremos dela.

De acordo com a seção acima "Fórmula do ponto final", para encontrar a resposta, precisamos do ponto inicial e do ponto médio. Vamos denotá-los por A = (x₁, y₁) e M = (x, y), respectivamente. Para nós, os xs denotam o número de meses em que estamos, e os ys são o número de espectadores. Como nosso ponto de partida foi o mês zero e estamos atualmente em 4 meses, temos (e podemos inserir na calculadora de ponto final):

x₁ = 0,

x = 4.

Agora é a vez dos inscritos. Novamente, o ponto de partida foi quando não tínhamos ninguém, enquanto agora, após quatro meses, estamos com 54.000. Portanto, temos:

y₁ = 0,

y = 54,000.

Assim que inserirmos todos esses dados na calculadora de ponto final, ela exibirá a resposta. Mas não vamos revelá-la ainda! Que tal vermos como encontrar o ponto final por conta própria usando a fórmula do ponto final?

Vamos pegar um pedaço de papel e relembrar as informações que já mencionamos acima. Nosso ponto de partida foi no mês zero com zero inscritos, o que significa que nosso ponto de partida é A = (0, 0). Agora estamos no mês quatro com 54.000 inscritos, que é a metade do que gostaríamos de calcular. Isso significa que nosso ponto médio é (4, 54.000).

Tudo o que precisamos fazer agora é usar a fórmula do ponto final. Se denotarmos as coordenadas do ponto final por B = (x₂, y₂), então:

x₂ = 2×4 - 0 = 8,

y₂ = 2×54,000 - 0 = 108,000.

Isso significa que, se você continuar ganhando seguidores da mesma forma que ganhou quando estreou o canal, deveremos chegar a 108.000 inscritos em quatro meses.

FAQ

Como encontrar o ponto final ausente?

Supondo que você tenha um ponto final A = (x₁, y₁) e um ponto médio M = (x, y):

  1. Duplique as coordenadas dos pontos médios: 2x, 2y;

  2. Subtraia a coordenada x do ponto final conhecido do primeiro valor para obter a coordenada x do ponto final ausente: x₂ = 2x - x₁;

  3. Subtraia a coordenada y do ponto final conhecido do segundo valor para obter a coordenada y do ponto final ausente: y₂ = 2y - y₁;

  4. Muito bem, você encontrou o ponto final que faltava: B = (x₂, y₂).

O ponto médio e um dos pontos finais podem ter as mesmas coordenadas?

Não. Se o ponto final e o ponto médio tiverem as mesmas coordenadas, a distância entre eles será zero. Consequentemente, o segundo ponto final também deve ter as coordenadas exatas, e todos os três são um único ponto, não um segmento.

Qual é o outro ponto final de um segmento de reta com um ponto final em (1,3) e um ponto médio em (3,5)?

Para encontrar o segundo ponto final:

  1. Duplique as coordenadas dos pontos médios:
    2x = 6, 2y = 10.

  2. Subtraia o primeiro valor e a coordenada x do ponto final conhecido:
    6 - 1 = 5.

  3. Subtraia o segundo valor e a coordenada y do ponto final conhecido:
    10 - 3 = 7.

  4. As diferenças resultantes são as coordenadas x e y do ponto final ausente, respectivamente:
    B = (5,7).

Qual é a distância entre os dois pontos finais (3,5) e (6,6)?

Para avaliar a distância perdida:

  1. Encontre as diferenças entre as coordenadas correspondentes:
    Δx = 6 - 3 = 3, Δy = 6 - 5 = 1.

  2. Eleve ao quadrado ambas as diferenças:
    (Δx)² = 3² = 9, (Δy)² = 1² = 1.

  3. Adicione esses dois valores:
    (Δx)² + (Δy)² = 9 + 1 = 10.

  4. Calcule a raiz quadrada da soma:
    √((Δx)² + (Δy)²) = √10.

  5. Bom trabalho! A distância desejada é igual a √10, que é aproximadamente 3,16.

Maciej Kowalski, PhD candidate
A graph showing how to find the endpoint of a segment on the Cartesian plane
Starting point coordinates
x₁
y₁
Midpoint coordinates
x
y
Endpoint coordinates
x₂
y₂
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