Calculadora de Trapézio

Boas-vindas à calculadora de trapézio da Omni, onde você aprenderá tudo sobre essa forma geométrica de quatro lados. Mostraremos como calcular a área de um trapézio, como encontrar a altura de um trapézio ou como é a fórmula do perímetro de um trapézio. Além disso, descreveremos alguns tipos especiais de quadriláteros: o trapézio isósceles e o trapézio reto. E não se preocupe; não vamos deixar nada de lado. Até a mediana e os ângulos do trapézio vão ser mencionados nesta calculadora.

Parece que há muitas coisas a serem discutidas, então vamos começar?

Um trapézio é um quadrilátero (uma forma que tem quatro lados) que tem pelo menos um par de lados opostos paralelos entre si. Observe que dissemos “pelo menos um par de lados”. Se a forma tiver dois desses pares, ela é apenas um retângulo. E não se engane, todo retângulo é um trapézio. O inverso, é claro, não é verdadeiro.

Os dois lados, que são paralelos, são normalmente chamados de bases. Normalmente, desenhamos trapézios da maneira que fizemos acima, o que pode sugerir por que muitas vezes diferenciamos os dois dizendo base inferior e base superior. Os outros dois lados não paralelos são chamados de lados oblíquos.

Gostaríamos de mencionar alguns casos especiais de trapézios aqui.

1. Retângulo

   Já mencionamos este no início desta seção. Ele é um trapézio que tem dois pares de lados opostos paralelos entre si.

2. Trapézio isósceles

   Um trapézio cujos lados têm o mesmo comprimento (semelhante a como definimos os triângulos isósceles).

3. Trapézio retângulo

   Um trapézio cujo um dos lados é perpendicular às bases. Em primeiro lugar, observe como exigimos aqui que apenas um dos lados satisfaça essa condição, o outro pode ou não satisfazer. Em segundo lugar, observe que, se um lado for perpendicular a uma das bases, ele também será automaticamente perpendicular à outra base, pois as duas são paralelas.

Com esses casos especiais em mente, um olhar atento pode observar que os retângulos satisfazem as condições 2 e 3. De fato, se alguém não soubesse o que é um retângulo, poderíamos simplesmente dizer que ele é um trapézio isósceles que também é um trapézio retângulo. É uma definição bastante extravagante em comparação com a usual, mas com certeza nos faz soar muito cultos, não?

Antes de seguirmos adiante para a próxima seção, vamos mencionar mais dois segmentos de reta que todos os trapézios têm.

A altura de um trapézio é a distância entre as bases, ou seja, o comprimento de uma reta que conecta as duas bases, e que é perpendicular a ambas. Na verdade, esse valor é crucial quando discutimos como calcular a área de um trapézio e, portanto, ele tem sua própria seção dedicada.

A mediana de um trapézio é a reta que liga os pontos médios dos lados. Em outras palavras, com a figura acima em mente, é a reta que corta o trapézio horizontalmente ao meio. Ela é sempre paralela às bases e, com a notação como na figura, temos $\mathrm{mediana} = (a + b) / 2$. Se você estiver curioso sobre a mediana, certifique-se de conferir a calculadora de mediana da Omni (observe que ela não é dedicada a trapézios).

Muito bem, já conhecemos nossa forma geométrica em detalhes; até vimos uma das fórmulas do trapézio! Agora, vamos dar um passo adiante e tentar entender o tópico ainda melhor. Começaremos essa análise aprofundada com a fórmula do perímetro do trapézio e seus ângulos internos.

O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de seus lados. Dando uma olhada na figura do trapézio acima, podemos deduzir que a fórmula do perímetro do trapézio é:

Muito simples, você não acha?

Em seguida, vamos falar sobre ângulos. Assim como em qualquer outro quadrilátero, a soma dos ângulos em um trapézio é $360\degree$ (ou $2\pi$ radianos). No entanto, a condição de ser um trapézio (ou seja, ter um par de lados paralelos) força propriedades adicionais nos lados individuais. Para ser preciso, o par de ângulos ao longo de um dos lados são ângulos suplementares. Isso significa que sua soma deve ser igual a $180\degree$ (ou $\pi$ radianos). Você pode aprender mais sobre isso em nossa calculadora de ângulos suplementares 🇺🇸. Na notação da figura na primeira seção isso se traduz em:

Observe como nossa ferramenta também contêm um bloco apenas com campos para inserir ângulos. Dessa forma, ela também pode servir como uma calculadora de ângulos de trapézio sempre que esses forem os números que estamos procurando. E, de fato, eles costumam ser úteis. Eles desempenham um papel essencial quando aprendemos a encontrar a altura de um trapézio, e isso, por sua vez, aparece quando estudamos como calcular a área de um trapézio. No entanto, vamos começar com a última pergunta.

Vejamos a imagem da primeira seção novamente. Deixamos ela aqui embaixo para que você não tenha que voltar lá no começo do artigo sempre que quiser relembrar a notação.

A fórmula da área de um trapézio é a seguinte:

Observe que, de fato, como já mencionamos algumas vezes, é crucial que você saiba como encontrar a altura de um trapézio para computar sua área. Além disso, os lados nunca aparecem na equação. Claro, eles definem a forma do nosso quadrilátero, mas seus comprimentos têm utilidade apenas na fórmula do perímetro do trapézio que discutimos na seção anterior.

Por fim, vamos deixar claro que, pela ordem das operações, não importa em que momento dividimos por $2$ na fórmula acima. Você pode calcular $(a + b) \cdot h$ primeiro e depois dividir tudo por $2$, ou primeiro encontrar $h/2$, e só então multiplicar por $(a + b)$. Na verdade, um olhar atento observará que $(a + b) / 2$ é a mediana que mencionamos na primeira seção. Em outras palavras, alternativamente, podemos usar a fórmula $A = \mathrm{mediana} \times h$ para encontrar $A$.

Tudo bem, aprendemos a calcular a área de um trapézio e tudo parece ser muito simples, pelo menos se todos os dados sobre o trapézio forem dados. Mas e se eles não forem dados de bandeja? As bases são razoavelmente simples, mas e quanto a $h$? Bem, é hora de explicar como encontrar a altura de um trapézio.

O fato crucial que usamos para encontrar a altura de um trapézio é que ele é um segmento de reta perpendicular às bases. Isso nos dá um ângulo reto em ambos os pontos finais, o que nos permite fazer os cálculos usando triângulos retângulos. E a primeira coisa que vem à mente quando ouvimos a frase triângulo retângulo é, obviamente, o teorema de Pitágoras.

Então valos lá! Primeiro, temos que desenhar linhas a partir de um dos vértices superiores que terminem na base inferior $a$, formando um ângulo de $90\degree$.

Observe como, no caso de trapézios obtusos como o da figura à direita acima, a altura $h$ cai fora da forma, ou seja, na reta que contém $a$ em vez de $a$. No entanto, o que descrevemos mais abaixo ainda é válido para esses quadriláteros.

O comprimento de cada reta (linhas desenhadas) é igual à altura do nosso trapézio. Portanto, exatamente o que procuramos. Observe que, da forma como desenhamos a reta, ela forma um triângulo retângulo com um dos lados $c$ ou $d$ (dependendo do vértice superior que escolhemos).

Se você tiver o comprimento do lado de um trapézio e puder descobrir o outro lado do triângulo retângulo (ou seja, $e$ ou $f$ na figura acima), então saberemos como encontrar a altura de um trapézio: usando o teorema de Pitágoras. No entanto, há também uma outra maneira de calculá-la.

Se você conhece um pouco de trigonometria, poderá encontrar a altura usando o ângulo interno do trapézio. Mais precisamente, olhando para os ângulos do trapézio em nossa calculadora (ou seja, para a notação na figura), podemos usar a definição de funções trigonométricas para escrever:

Onde $\text{sen}$ é a função seno. De fato, pode acontecer de o ângulo ser igual a $30\degree$, $45\degree$, ou $60\degree$, caso em que podemos simplesmente usar as propriedades dos triângulos retângulos especiais.

Por fim, vamos mencionar que toda essa busca por $h$ pode ser muito fácil em um caso especial: quando temos um trapézio retângulo. Então, a altura do nosso trapézio é simplesmente o lado que fica próximo ao ângulo reto. Observe que, nesse caso, a fórmula trigonométrica acima ainda funciona, pois $\text{sen}(90\degree) = 1$.

Isso foi muita teoria! Já é hora de usarmos essas fórmulas de trapézio e vermos como calcular a área e o perímetro de um trapézio na prática.

Vamos conferir como descobrir a área e o perímetro de um trapézio com os seguintes lados e ângulos:

E:

Não parece muito, mas vamos ver o que podemos fazer aqui. Em primeiro lugar, porém, observemos como nossa calculadora de trapézio pode lidar facilmente com este problema mesmo tendo tão pouca informação. De fato, se inserirmos os números acima em nossa ferramenta (observe como podemos mudar para outras unidades clicando nelas e escolhendo a unidade adequada na lista), ela encherá todos os outros campos. Por exemplo, como uma calculadora de ângulos trapezoidais, ela usará as identidades mencionadas na segunda seção para computar $\beta$ e $\gamma$. Observe também que podemos acessar adicionalmente o Modo Avançado e ver o comprimento da mediana.

Agora, se a ferramenta pode fazer isso, nós também podemos! Vamos ver como calcular a área e o perímetro de um trapézio manualmente.

Em primeiro lugar, observe que estamos lidando com um trapézio retângulo pois $\alpha=90\degree$ e $\beta = 90\degree$. Isso significa que o lado $c$ é perpendicular às bases e, portanto, igual à altura ($c = h$). No entanto, não sabemos $c$, portanto, ainda temos que encontrá-lo.

Para fazer isso, desenhe a altura de nosso trapézio, que se origina no vértice entre $b$ e $d$. Juntamente com $d$ e uma parte de $a$, ele forma um triângulo retângulo. Além disso, conhecemos um de seus ângulos: $\delta = 45\degree$. Este é um caso especial, pois ele é metade de um quadrado. Portanto, $h$ é igual ao lado inferior do triângulo, e $d$ é, de fato, a diagonal de um quadrado, o que significa que:

(você obtém a última igualdade racionalizando o denominador).

Agora você tem tudo o que precisa para encontrar $A$. Lembre-se da seção dedicada a como calcular a área de um trapézio e use as informações para obter:

Também reunimos todos os dados para encontrar $P$ desde $c = h = 1{,}5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$. Com a fórmula do perímetro do trapézio dada na segunda seção deste texto, obtemos:

Não foi tão difícil, não é mesmo? Os lados e ângulos que obtivemos no início pareciam um grupo bastante aleatório, mas conseguimos dar a eles uma boa utilidade. Se você quiser aprender mais sobre geometria e fórmulas, certifique-se de conferir outras calculadoras de formas 2D no site da Omni: temos todas elas!