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Calculadora de Segmentos Proporcionais

Created by Krishna Nelaturu
Reviewed by Steven Wooding
Translated by Luna Maldonado Fontes and João Rafael Lucio dos Santos, PhD
Last updated: Apr 21, 2024


A calculadora de segmentos proporcionais da Omni ajudará você a calcular as coordenadas do ponto que particiona o segmento de reta em uma determinada proporção. Este artigo explorará o que é um segmento de reta orientado, como particionar um segmento de reta com uma determinada proporção, a fórmula de partição do segmento e algumas perguntas frequentes.

Se você estiver particionando seu segmento de reta em duas metades, nossa calculadora de ponto médio será igualmente útil.

O que é um segmento de reta orientado?

Um segmento de reta ABAB é uma parte de uma reta limitada por dois pontos finais AA e BB onde ABA \neq B. Um segmento de reta orientado AB\overrightharpoon{AB} é um segmento de reta com uma direção definida, que também pode ser chamado de segmento de reta orientado de AA para BB.

Diferença entre um segmento de reta e um segmento de reta orientado.
Um segmento de reta orientado tem comprimento e direção. AB\overrightharpoon{AB} tem o mesmo comprimento que o segmento de reta ABAB, e está na direção ABA\rightarrow B. Observe que ABBA\overrightharpoon{AB} \neq \overrightharpoon{BA}.

Embora o segmento de reta ABAB também possa ser escrito como BABA, o mesmo não ocorre com o segmento de reta orientado AB\overrightharpoon{AB}. Isso ocorre porque AB\overrightharpoon{AB} é orientado de AA para BB, enquanto BA\overrightharpoon{BA} é orientado de BB para AA.

🔎 Você notou as semelhanças entre um segmento de reta orientado e um vetor? Nem todos os segmentos de reta orientados são vetores, mas você pode usar um segmento de reta orientado para representar geometricamente um vetor com a mesma direção se o comprimento do segmento de reta corresponder à magnitude do vetor. Nossa calculadora da norma de um vetor 🇺🇸 pode ajudar você com isso.

Na próxima seção, responderemos à pergunta que está na sua mente: como dividir um segmento em determinadas proporções?

Partição e fórmula de segmentos de reta orientados

Um ponto PP situado no segmento de reta orientado AB\overrightharpoon{AB} se dividirá em dois segmentos de reta. Há duas maneiras de dividir um segmento de reta:

  1. Internamente, quando o ponto PP está em algum lugar dentro do segmento AB\overrightharpoon{AB}; e
  2. Externamente, quando o ponto PP está localizado em uma reta paralela ao segmento de reta, também conhecida como segmento de reta estendido AB\overrightharpoon{AB}.
O ponto P em AB divide AB na proporção m:n.
Partição interna de AB\overrightharpoon{AB} na relação m:nm:n por um ponto P(px,py)P(p_x,p_y) situado em AB\overrightharpoon{AB}.

Para que você possa particionar o segmento de reta AB\overrightharpoon{AB} internamente na relação m:nm:n, o ponto P(px,py)P(p_x,p_y) deve estar em AB\overrightharpoon{AB} de modo que ele esteja localizado na posição mm+n\frac{m}{m+n} distante de AA e nm+n\frac{n}{m+n} distante de BB.

O ponto P no segmento de reta estendido AB o divide na proporção m:n
Partição externa de AB\overrightharpoon{AB} na relação m:nm:n por um ponto P(px,py)P(p_x,p_y) situado no segmento de reta estendidoAB\overrightharpoon{AB}.

Por outro lado, para particionar o segmento de reta AB\overrightharpoon{AB} externamente na relação m:nm:n, o ponto P(px,py)P(p_x,p_y) deve estar no segmento de reta estendido AB\overrightharpoon{AB} de forma que ele esteja localizado na posição mmn\frac{m}{m-n} distante de AA e nmn\frac{n}{m-n} distante de BB.

Agora que você conhece o conceito de dividir um segmento de reta em uma razão, vamos montar uma fórmula para um segmento de reta orientado dividido por qualquer ponto PP.

Para a partição interna de AB\overrightharpoon{AB} temos:

P(px,py)=(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n)\scriptsize P(p_x,p_y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)

E para a partição externa de AB\overrightharpoon{AB} ficamos com:

P(px,py)=(mx2nx1mn,my2ny1mn)\scriptsize P(p_x,p_y) = \left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}\right)

onde:

  • PP é qualquer ponto de referência para particionar o segmento de reta orientado AB\overrightharpoon{AB};
  • px,pyp_x,p_y são as coordenadas x e y do ponto PP;
  • m,nm,n é a razão m:nm:n na qual ponto PP divide AB\overrightharpoon{AB};
  • x1,y1x_1,y_1 são as coordenadas x e y do ponto final AA de AB\overrightharpoon{AB}; e
  • x2,y2x_2,y_2 são as coordenadas x e y do ponto final BB de AB\overrightharpoon{AB}.

❗ Lembre-se de que, no caso da partição do segmento de reta estendido, as proporções mm e nn não podem ser iguais para evitar uma divisão por zero na fórmula.

Agora que você conhece a fórmula da proporção de segmentos de reta, vamos discuti-la mais detalhadamente, juntamente com alguns exemplos de cálculo de partição de segmentos.

Como particionar um segmento de reta com uma determinada proporção?

Para encontrar o ponto P(px, py) que divide internamente o segmento de reta AB na proporção m:n, siga estes passos:

  1. Calcule px usando px = (mx2 + nx1)/(m + n), onde x1 e x2 são as coordenadas x de A e B, respectivamente.
  2. Determine py usando py = (my2 + ny1)/(m + n), onde y1 e y2 são as coordenadas y de A e B, respectivamente.

Para encontrar o ponto P(px, py) que divide externamente o segmento de reta AB na razão m:n, siga estes passos:

  1. Calcule px usando px = (mx2 - nx1)/(m - n), onde x1 e x2 são as coordenadas x de A e B, respectivamente.
  2. Encontre py usando py = (my2 - ny1)/(m - n), onde y1 e y2 são as coordenadas y de A e B, respectivamente.

Por exemplo, considere um segmento de reta AB\overrightharpoon{AB} com os pontos finais A(1,2)A(1,2) e B(4,6)B(4,6). A direção desse segmento seria de AA a BB. Para encontrar um ponto que divida esse segmento internamente na proporção 2:32:3, podemos usar a fórmula de partição interna da seguinte forma:

P(px,py)=(24+312+3,26+322+3)=(115,185)=(2,2,3,6)\scriptsize \begin{align*} P(p_x, p_y) &= \left(\frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 1}{2+3}, \frac{2 \cdot 6 + 3\cdot 2}{2+3}\right) \\\\ &= \left(\frac{11}{5}, \frac{18}{5}\right) \\\\ &= \left(2{,}2, 3{,}6\right) \end{align*}
No segmento de reta AB dividido na proporção 2:3 por um ponto P(2,2, 3,6), você pode ver que a reta é dividida em duas partes.
O ponto P(2.2,3.6)P(2.2, 3.6) divide AB\overrightharpoon{AB} na proporção 2:32:3.

Observe que dizer que o ponto P(2,2,3,6)P(2{,}2,3{,}6) divide AB\overrightharpoon{AB} na proporção 2:32:3 é o mesmo que dizer que o ponto P(2,2,3,6)P(2{,}2,3{,}6) se encontra 25{\frac{2}{5}} distante do ponto final A(1,2)A(1,2) e 35{\frac{3}{5}} distante do ponto final B(4,6)B(4,6).

Agora, se você quiser dividir o mesmo segmento de reta externamente na mesma proporção, empregaremos a fórmula para partição externa do segmento de reta:

P(px,py)=(243123,263223)=(831,1261)=(5,6)\scriptsize \begin{align*} P(p_x, p_y) &= \left(\frac{2 \cdot 4 - 3 \cdot 1}{2-3}, \frac{2 \cdot 6 - 3\cdot 2}{2-3}\right) \\\\ &= \left(\frac{8-3}{-1}, \frac{12-6}{-1}\right) \\\\ &= \left(-5,-6\right) \end{align*}
AB dividido na proporção 2:3 por um ponto P(-5,-6) situado na extensão AB.
O ponto P(5,6)P(-5,-6) divide AB\overrightharpoon{AB} na proporção 2:32:3 externamente.

Você vê como é fácil dividir um segmento de reta em uma determinada proporção? 😉 Vá em frente, tente alguns problemas práticos e domine esse método! Você sempre pode verificar seus resultados usando essa calculadora para dividir segmentos de reta.

Como usar essa calculadora de proporções de segmentos de reta orientados?

Essa calculadora de proporções de segmentos de reta orientados é útil para que você encontre o ponto que divide um segmento de reta em uma proporção determinada.

  1. Escolha o tipo de partição entre interna e externa no campo A reta é particionada.... Por padrão, a definimos como uma partição interna.

  2. Insira as coordenadas dos pontos finais do segmento. Certifique-se de que você está escrevendo a direção do segmento de reta corretamente. Nessa calculadora, a direção é sempre de A(x1,y1)A(x_1,y_1) a B(x2,y2)B(x_2,y_2).

  3. Esse passo depende de você querer encontrar o ponto ou a proporção:

    • Se a razão for o valor dado, insira a razão dada nos campos correspondentes, e as coordenadas do ponto aparecerão em seus respectivos campos, juntamente com um gráfico útil. Caso contrário, deixe os campos da razão vazios.
    • Se as coordenadas do ponto forem o valor dado, insira estas coordenadas nos campos correspondentes, e a razão resultante aparecerá na parte inferior.

Agora você tem uma ferramenta simples que te ajuda a calcular a partição de um segmento de reta sempre que precisar! Consulte também nossa calculadora da razão de ouro ou calculadora de ponto final para obter mais cálculos de partição de segmentos de reta.

FAQ

Como encontrar um ponto que divide um segmento ao meio?

Se você souber as coordenadas das extremidades do segmento de reta, poderá facilmente encontrar seu ponto médio (xm, ym) usando estes passos:

  1. Calcule a média das coordenadas x dos pontos extremos para obter a coordenada x do ponto médio. xm = (x1 + x2)/2.
  2. Determine a média das coordenadas y dos pontos extremos para obter a coordenada y do ponto médio. ym = (y1 + y2)/2.
  3. Verifique esses resultados usando nossa calculadora de ponto médio ou calculadora de proporções de segmentos de reta orientados.

Como dividir um segmento de reta em três partes iguais?

Para dividir um segmento de reta AB em três partes iguais, você precisa encontrar dois pontos P(px, py) e Q(Qx, Qy) em AB, de modo que cada um deles divida AB nas razões 1:2 e 2:1:

  1. Calcule a coordenada x px do ponto P usando a fórmula px = (2x2 + x1)/3, em que x1 e x2 são as coordenadas x de A e B, respectivamente.

  2. Calcule a coordenada y do ponto P usando py = (2y2 + y1)/3, onde y1 e y2 são as coordenadas y de A e B, respectivamente.

  3. Determine a coordenada x qx do ponto Q usando qx = (x2 + 2x1)/3.

  4. Determine a coordenada y qy do ponto Q usando qy = (y2 + 2y1)/3.

  5. Combine essas coordenadas para obter os pontos P(px, py) e Q(qx, qy).

Como encontrar um ponto que está a um terço distante de um ponto final?

Um ponto P situado a um terço de distância a partir do ponto final A no segmento de reta AB o dividirá na razão 1:2. Para encontrar esse ponto, siga estas etapas simples:

  1. Calcule a coordenada x px desse ponto usando a fórmula px = (2x2 + x1)/3, onde x1 e x2 são as coordenadas x de A e B, respectivamente.

  2. Calcule a coordenada y py desse ponto usando py = (2y2 + y1)/3, onde y1 e y2 são as coordenadas de y de A e B, respectivamente.

  3. Combine as coordenadas de x e de y para obter o ponto desejado P(px, py).

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