Calculadora de Gradiente

Boas-vindas à calculadora de gradiente da Omni, onde você terá a oportunidade de aprender a calcular o gradiente de uma reta que conecta dois pontos. "O que é gradiente?", você pode se perguntar. Bem, você já olhou para uma montanha e pensou: "nossa, essa montanha é bem íngreme, mas ela é tão íngreme quanto a que está ao lado dela!"? E se esse tipo de pergunta o deixou imaginando como comparar a inclinação das duas, você veio ao lugar certo! Continue lendo para saber a definição de gradiente.

Se você quiser encontrar o gradiente de uma função não linear, recomendamos que consulte a calculadora da taxa média de variação da Omni.

Antes de analisarmos o que é o gradiente, voltemos ao caso da montanha e à questão absolutamente crucial da inclinação.

Como mencionamos acima, tudo o que você precisa é de dois pontos para encontrar o gradiente, então, por que não ser um pouco egocêntrico e escolher a si como o centro, ou seja, o ponto (x₁,y₁) = (0,0) no plano.

Agora nos resta encontrar um segundo ponto, (x₂,y₂), acima ou abaixo da inclinação. Você olha ao redor para encontrar alguma árvore particularmente espessa ou algum outro ponto de referência.

Vá até a árvore e use uma trena laser para medir o quanto mais alto/baixo ela está em relação a você (isso será y₂) e a que distância ela está de você (isso será x₂). Lembre-se de medir a distância entre vocês dois horizontalmente, não paralelamente à inclinação. E aí está o resultado! A proporção de y₂ / x₂ é o gradiente ou a inclinação da montanha naquele ponto.

Uma definição informal de gradiente é a seguinte: é uma forma matemática de medir o quão rápido é possível subir ou descer uma trajetória reta. Pense nele como um número que você atribui a uma colina, uma estrada, um caminho, etc., que lhe diz quanto esforço você tem de fazer para percorrê-lo, especialmente se você está andando de bicicleta. Se estiver subindo, você precisa se esforçar para atingir o pico, portanto, a energia necessária (ou seja, o gradiente) é grande. Se estiver descendo uma ladeira, você nem precisa pedalar para ganhar velocidade, portanto, o esforço é, na verdade, negativo. E se você estiver em terreno plano, ele não ajuda nem dificulta, portanto, é neutro ou tem um gradiente zero.

E se você estiver enfrentando uma inclinação vertical? Bem, nem sempre está claro se você quer cair por ela (o que é fácil) ou subir por ela. Portanto, nesse caso, o gradiente é indefinido. Quer saber quantas calorias você perde no seu passeio ciclístico? Consulte a calculadora de calorias queimadas ao pedalar da Omni.

Calculamos o gradiente da mesma forma que calculamos a inclinação. Encontramos dois pontos e os denotamos com as coordenadas cartesianas (x₁,y₁) e (x₂,y₂), respectivamente. Essa também é a notação usada na calculadora. Observe que usamos os mesmos símbolos no exemplo da inclinação da montanha. Queremos ver como eles se relacionam entre si, ou seja, qual é a relação de subida e descida entre eles. Isso é descrito pela fórmula do gradiente:

gradiente = elevação / caminho

com elevação = y₂ - y₁ e caminho = x₂ - x₁. A elevação é o quanto o segundo ponto está mais alto/baixo em relação ao primeiro, e o caminho é a distância (horizontal) entre eles.

Agora que você já conhece a definição de gradiente, é hora de ver a calculadora de gradiente em ação e saber como usá-la passo a passo:

1. Encontre dois pontos arbitrários na reta que você deseja estudar e determine suas coordenadas cartesianas. Digamos que você queira calcular o gradiente de uma reta que passa pelos pontos (-2,1) e (3,11).

2. Pegue as coordenadas do primeiro ponto e coloque-as na calculadora como x₁ e y₁.

3. Faça o mesmo com o segundo ponto, desta vez como x₂ e y₂.

4. A calculadora usará automaticamente a fórmula do gradiente, obtendo (11 - 1) / (3 - (-2)) = 2.

5. Muito bem, você encontrou o gradiente da sua reta!

Você pode se perguntar: "Espere aí, acho que já vi isso em outro lugar. Não acontece algo semelhante quando você calcula inclinação ou a elevação do seu caminho?" Você está absolutamente certo. Todos os três conceitos: gradiente, inclinação e elevação sobre o caminho descrevem a mesma quantidade, portanto, não se preocupe, pois não há diferença entre eles.

Você também pode se perguntar quão íngreme é íngreme, ou seja, o que o 2 no exemplo acima nos diz. É muito ou pouco? Será que vai ser difícil subir essa ladeira? Bem, é tudo uma questão de perspectiva, e alguns podem dizer uma coisa, enquanto outros dirão o contrário. Como ponto de referência, você deve se lembrar de que ter uma reta paralela ao horizonte é considerado neutro aqui, pois o gradiente é igual a zero. Quando ela sobe (ou desce), ela se torna cada vez mais parecida com uma trajetória perpendicular ao horizonte, onde a inclinação vai até o infinito se você estiver subindo (ou menos infinito se estiver descendo). Para entender melhor como encontrar a equação de uma reta perpendicular a uma dada trajetória, acesse a nossa calculadora de retas perpendiculares 🇺🇸.