Calculadora da Área de Superfície de um Cone

Created by Steven Wooding
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Marinara Andrade do Nascimento Moura, PhD candidate and João Rafael Lucio dos Santos, PhD
Last updated: Jan 18, 2024


A calculadora da área de superfície de um cone é uma ferramenta da Omni que ajudará você a calcular a área de superfície de qualquer cone reto. No texto abaixo, mostraremos a você a fórmula da área da superfície de um cone e como chegar nela. Depois de usar nossa calculadora e ler este artigo, você estará super confiante sobre como encontrar a área da superfície de um cone.

Para que tipo de cone essa calculadora é útil?

Antes de explicarmos como usar a calculadora da área de superfície de um cone, vamos primeiro definir em que tipo de cone você pode usá-la. Uma forma genérica de cone consiste em uma base circular ou oval e um vértice (ou ponta) acima da base conectado ao perímetro da forma da base. O perímetro corresponde ao comprimento da circunferência que forma a base.

Esta calculadora é para um tipo específico de cone chamado cone reto (conforme mostrado no diagrama acima da calculadora). Ele tem uma base circular e o vértice está diretamente acima do centro da base. Portanto, o ângulo formado entre a base e uma linha imaginária entre a base e o vértice é 90°90\degree, comumente conhecido como ângulo reto.

Essa ferramenta não pode ser usada para cones oblíquos, em que o vértice está fora do centro. Para aqueles que se sentem confortáveis com cálculos avançados, você pode aprender mais sobre o cálculo da área da superfície de um cone oblíquo acessando este link sobre o problema.

Como usar esta calculadora de área de superfície de um cone

A calculadora é bastante simples de usar. Vamos examiná-la passo a passo:

  1. Insira um valor para o raio da base circular. Lembre-se de que o raio é a metade do diâmetro de um círculo. Você pode escolher diferentes unidades de comprimento, dependendo do problema ou da medida tomada. Como alternativa, você pode inserir o perímetro da base circular.

  2. Digite a altura do cone ou a altura inclinada do cone, dependendo de qual você conhece. A altura é a distância perpendicular entre a ponta do cone e o centro da base circular. A altura inclinada é a distância entre a ponta e a borda externa da base, isto é, a circunferência.

Lembre-se de que a altura do cone precisa ser maior que zero e que a altura inclinada (se você a estiver inserindo) precisa ser mais longa que o raio da base.

  1. A área da superfície do cone reto será exibida. Você pode alterar as unidades da área também.

Como derivar a fórmula da área de superfície de um cone

Para que você entenda melhor como essa calculadora funciona, veremos agora qual é a fórmula da área da superfície de um cone e como derivá-la.

O primeiro passo para resolver o problema é dividir o cone reto em duas partes diferentes: a base circular e a área lateral do cone. Vamos começar calculando a área da base circular.

Você pode calcular a área do círculo com a nossa calculadora de círculo, ou simplesmente, aplicando a fórmula:

Abase=πr2A_{\text{base}}=\pi\cdot r^2

onde:

  • AbaseA_{\text{base}}: área de superfície da base do cone;
  • π\pi: razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo; e
  • rr: raio do círculo.

Posteriormente, adicionaremos essa equação da área da base à equação que derivaremos a seguir para a área lateral de um cone reto.

cone aberto e dobrado na horizontal
Um cone aberto e dobrado na horizontal forma um setor de um círculo maior.

Imagine um cone sem sua base feito de papel. Em seguida, você o desenrola de modo que fique plano em uma mesa. Você obterá uma forma como a do diagrama acima. Ela é uma parte (ou um setor) de um círculo maior cujo raio (l) é igual à altura inclinada do cone. O comprimento do arco do setor (c) é equivalente o perímetro da base do cone (o comprimento da sua circunferência).

Ao combinar a equação usada para calcular a área de um setor (que você pode encontrar na nossa calculadora da área do setor circular) em termos de raio e ângulo, com a equação para o comprimento do arco de um setor, podemos escrever a área do setor como:

Alat=12clA_{\text{lat}} = \frac{1}{2}\cdot c\cdot l

onde:

  • AlatA_{\text{lat}}: área lateral do cone
  • cc: comprimento do arco do setor e, portanto, o perímetro do cone
  • ll: raio do setor e a altura inclinada do cone

Agora, usando a fórmula para o comprimento da circunferência (se não lembrar, confira a nossa calculadora de circunferência) c=2πrc = 2\cdot\pi\cdot r, a equação acima pode ser reescrita em termos do raio da base do cone:

Alat=πrlA_{\text{lat}} = \pi\cdot r\cdot l

Somando a área lateral ao resultado da área da base do cone, obtemos A, a área total da superfície de um cone reto:

A=(πr2)+(πrl)A = (\pi\cdot r^2) + (\pi\cdot r\cdot l)

Que pode ser simplificada para:

A=πr(r+l)A = \pi\cdot r\cdot(r + l)

Se você souber apenas a altura perpendicular do cone, poderá usar a equação para calcular a sua geratriz 🇺🇸 em termos do raio para obter:

A=πr(r+h2+r2)A = \pi\cdot r \cdot \left(r + \sqrt{h^2 + r^2}\right)

onde:

  • hh: altura perpendicular do cone.

Exemplos de como encontrar a área da superfície de um cone

Agora temos duas equações para calcular a área da superfície de um cone reto, dependendo dos parâmetros que você conhece. Vamos dar uma olhada em alguns exemplos práticos.

Para um cone com um raio de base de 3 cm e uma altura de 4 cm, podemos calcular a área da superfície da seguinte forma:

A=πr(r+h2+r2)=π3(3+42+32)=75, ⁣4 cm2\begin{split} A &= \pi\cdot r \cdot\left(r + \sqrt{h^2 + r^2}\right)\\[1em] &= \pi\cdot 3\cdot \left(3+\sqrt{4^2+3^2}\right) \\[1em] &= 75,\!4\ \text{cm}^2 \end{split}

Vamos pegar outro cone em que medimos o diâmetro da base como 10cm10 \,\mathrm{cm} e a altura inclinada é 15cm15 \,\mathrm{cm}. Primeiro, divida o diâmetro por dois para obter o raio, 5cm5 \,\mathrm{cm}. Em seguida, use a fórmula para a área de um cone com altura inclinada, resultando em:

A=πr(r+l)=π5(5+15)=314, ⁣16 cm2\begin{split} A &= \pi\cdot r \cdot (r+l)\\ &= \pi\cdot 5\cdot (5+15) = 314,\!16\ \text{cm}^2 \end{split}

Agora você sabe como encontrar a área da superfície de um cone e as equações que alimentam essa calculadora da área de superfície de um cone.

Se você precisar calcular as áreas de superfície de outras formas geométricas 3D, por que não experimentar nossa calculadora de área de superfície?

FAQ

Como encontrar a área da superfície lateral de um cone conhecendo sua altura?

Para determinar a área da superfície lateral de um cone, considerando sua altura perpendicular e seu raio, você precisa:

  1. Calcular os quadrados da altura e do raio e somá-los.

  2. Tirar a raiz quadrada do resultado da Etapa 1.

  3. Multiplique pelo raio.

  4. Multiplique por π ≈ 3,14.

  5. É isso aí! O resultado que você obteve é a área da superfície lateral do seu cone.

Qual é a área da superfície de um cone com altura 4 e raio 3?

A resposta é 75,4. Para chegar a esse resultado, você precisa aplicar a fórmula A = π⋅r(r + √(h² + r²)) com r = 3 e h = 4. Lembre-se de que a resposta está em unidades quadráticas.

Steven Wooding
Right circular cone with height, slant height, radius and circumference marked.
Radius (r)
in
Circumference (c)
in
Height (h)
in
Slant height (l)
in
Surface area
in²
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