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Calculadora de Ângulos Coterminais

Created by Hanna Pamuła, PhD
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by João Rafael Lucio dos Santos, PhD and Luna Maldonado Fontes
Last updated: Oct 30, 2024


Esta é a calculadora de ângulos coterminais da Omni, uma ferramenta que resolverá muitos dos problemas que você tem com relação a ângulos coterminais:

  • Você deseja encontrar um ângulo coterminal de um determinado ângulo, de preferência no intervalo [0,360°)[0, 360\degree)? Pois aqui vem uma ótima notícia: nesta calculadora você pode aprender os pontos mais importantes sobre este tema.
  • Você está procurando por ângulos coterminais positivos e negativos? Você também irá aprender sobre isso aqui.
  • Você gostaria de verificar se dois ângulos são coterminais? Confira aqui! ✔️
  • Você está procurando uma calculadora de ângulos coterminais em radianos? Nossa ferramenta funciona tanto para π radianos quanto para graus.
  • Ou talvez você esteja procurando pela definição de ângulos coterminais, com alguns exemplos? Então, você não ficará desapontado com esta calculadora.
  • A ferramenta garantirá que eu seja aprovado no teste de matemática? ❌ Bem, nossa ferramenta é versátil, mas sua aprovação depende de você :)

Use esta calculadora da Omni para resolver seus problemas de ângulos coterminais ou siga lendo para saber mais.

Vamos começar com a definição de ângulos coterminais.

O que é um ângulo coterminal?

Os ângulos coterminais (ou às vezes chamados côngruos), são aqueles que compartilham a extremidade ou lado terminal de um ângulo que ocupa a posição padrão. A posição padrão significa que um lado do ângulo está fixo ao longo do eixo x positivo e o vértice está localizado na origem.

Em outras palavras, dois ângulos são coterminais quando os próprios ângulos são diferentes, mas seus lados e vértices são idênticos. Além disso, você pode se lembrar da definição de ângulos coterminais como ângulos que diferem por um número inteiro de circunferências completas.

Veja a imagem abaixo e tudo ficará claro para você!

Imagem apresentando três ângulos coterminais diferentes para o ângulo agudo α: α - 360°, α+360° e α - 2⋅360°

Então, como dissemos: todos os ângulos coterminais começam no mesmo lado (orientação padrão) e compartilham o mesmo lado terminal.

O que às vezes pode ser confuso é a diferença entre as definições do ângulo de referência e dos ângulos coterminais. Lembre-se de que eles não são a mesma coisa. O ângulo de referência é o ângulo entre o lado terminal e o eixo x, ele está sempre no intervalo entre [0,90°][0, 90\degree] (ou [0,π/2][0, \pi/2]): para obter mais informações sobre o tópico, visite a calculadora de ângulo de referência 🇺🇸 da Omni!

Como encontrar ângulos coterminais? Fórmula dos ângulos coterminais

Para encontrar os ângulos coterminais a um dado ângulo, você precisa somar ou subtrair um múltiplo de 360° (ou 2π se estiver trabalhando em radianos). Portanto, para verificar se os ângulos α e β são coterminais, você deve verificar se eles estão de acordo com a fórmula de ângulos coterminais:

a) Para ângulos medidos em graus:

β=α±(360°k)\beta=\alpha\pm(360\degree\cdot k)

onde kk é um número inteiro positivo.

b) Para ângulos medidos em radianos:

β=α±(2πk)\beta = \alpha \pm(2\pi\cdot k)

aqui kk é um número inteiro positivo

Um recurso útil presente em cálculos de funções trigonométricas, é que quaisquer dois ângulos coterminais têm os mesmos valores trigonométricos. Portanto, se β\beta e α\alpha são coterminais, então seus senos, cossenos e tangentes são todos iguais. Para saber mais sobre este tema visite a calculadora de funções trigonométricas 🇺🇸 da Omni.

Ao usar a calculadora de seno 🇺🇸, por exemplo, vemos que:

sen(α)=sen(α±(360°k))\mathrm{sen}\,(\alpha) = \mathrm{sen}\,(\alpha\pm(360\degree \cdot k))

Como encontrar um ângulo coterminal entre 0 e 360° (ou 0 e 2π)?

Para determinar o ângulo coterminal entre 0°0\degree e 360°360\degree, tudo o que você precisa fazer é calcular o módulo, ou seja, divida o ângulo fornecido por 360°360\degree e verifique qual é o restante. Na dúvida, você pode sempre contar com a calculadora de módulo, da Omni.

Mostraremos a você como esse procedimento funciona com dois exemplos, considerando ângulos positivos e negativos. Queremos encontrar um ângulo coterminal com uma medida de θ\theta tal que 0°θ<360°0\degree \leq \theta < 360\degree, para um determinado ângulo igual a:

420°mod 360°=60°420\degree\text{mod}\ 360\degree = 60\degree

Como você pode fazer isso à mão?

  • Primeiro, divida um número pelo outro, arredondando para baixo (para isso você pode usar a calculadora de função piso 🇺🇸 da Omni): 420°/360°=1\left\lfloor420\degree/360\degree\right\rfloor = 1.

  • Em seguida, multiplique o divisor pelo número obtido (chamado de quociente): 360°1=360°360\degree \cdot 1 = 360\degree.

  • Subtraia esse número do número inicial: 420°360°=60°420\degree - 360\degree = 60\degree.

Substituindo esses ângulos na fórmula dos ângulos coterminais, você obtém 420°=60°+360°1420\degree = 60\degree + 360\degree\cdot 1.

-858°

858°mod 360°=222°-858\degree \text{mod}\ 360\degree = 222\degree

Repetindo os passos acima:

  • Calcule o piso: 858°/360°=3\left\lfloor-858\degree / 360\degree\right\rfloor = -3.
  • Encontre o total de circunferências completas: 360°3=1080°360\degree \cdot -3 = -1080\degree.
  • Calcule o restante: 858°+1080°=222°-858\degree + 1080\degree = 222\degree.

Portanto, a fórmula dos ângulos coterminais, β=α±360°k\beta = \alpha \pm 360\degree \cdot k, para o nosso exemplo de ângulo negativo é dada por:

858°=222°360°3-858\degree = 222\degree - 360\degree\cdot 3

O mesmo funciona para o intervalo [0,2π)[0,2\pi), tudo o que você precisa alterar é o divisor. Ao invés de 360°360\degree, use 2π2\pi.

Agora, verifique os resultados com nossa calculadora de ângulos coterminais. Ela exibe o ângulo coterminal entre 0°0\degree e 360°360\degree (ou 00 e 2π2\pi), bem como alguns exemplos de ângulos coterminais positivos e negativos.

Ângulos coterminais positivos e negativos

Se você quiser encontrar alguns ângulos coterminais positivos e negativos, precisará subtrair ou adicionar um número de círculos completos. Mas quantos?

Um método é encontrar o ângulo coterminal no intervalo 0°0\degree e 360°360\degree (ou [0,2π)[0,2\pi)), como fizemos no parágrafo anterior (se o seu ângulo já estiver nesse intervalo, você não precisará fazer essa etapa). Em seguida, basta adicionar ou subtrair 360°360\degree, 720°720\degree, 1080°1080\degree... (2π2\pi,4π4\pi,6π6\pi...), para obter ângulos coterminais positivos ou negativos em relação ao ângulo que você forneceu.

Por exemplo, se você tiver α=1400°\alpha = 1400\degree, o ângulo coterminal no intervalo [0,360°)[0,360\degree) é 320°320\degree, sendo este um exemplo de ângulo coterminal positivo.

  • Outros ângulos coterminais positivos são 680°680\degree, 1040°1040\degree...

  • Outros ângulos coterminais negativos são 40°-40\degree, 400°-400\degree, 760°-760\degree...

Além disso, você pode simplesmente adicionar e subtrair um número de rotações se tudo o que você precisa é de qualquer ângulo coterminal positivo e negativo. Para nosso ângulo escolhido anteriormente, α=1400°\alpha = 1400\degree, vamos adicionar e subtrair 1010 rotações (ou 100100, por que não?):

  • Ângulo coterminal positivo: β=α+360°10=1400°+3600°=5000°\beta = \alpha + 360\degree \cdot 10 = 1400\degree + 3600\degree = 5000\degree.

  • Ângulo coterminal negativo: β=α360°10=1400°3600°=2200°\beta = \alpha - 360\degree\cdot 10 = 1400\degree - 3600\degree = -2200\degree.

O número de rotações deve ser grande o suficiente para alterar o sinal ao adicionar/subtrair. Por exemplo, uma volta para nosso ângulo α não é suficiente para que você tenha um ângulo coterminal tanto positivo quanto negativo. Neste caso, obteremos dois ângulos positivos, 1040°1040\degree e 1760°1760\degree.

Qual é o ângulo coterminal de ...

Se você estiver se perguntando qual é o ângulo coterminal de algum ângulo, não hesite em usar nossa ferramenta, ela está aqui para ajudá-lo!

Mas se, por algum motivo, você ainda preferir uma lista de ângulos coterminais (mas nós realmente não entendemos o porquê...), aqui está:

  • Ângulo coterminal de 0°0\degree: 360°360\degree, 720°720\degree, 360°-360\degree, 720°-720\degree.

  • Ângulo coterminal de 1°1\degree: 361°361\degree, 721°721\degree 359°-359\degree , 719°-719\degree.

  • Ângulo coterminal de 5°5\degree: 365°365\degree, 725°725\degree, 355°-355\degree, 715°-715\degree.

  • Ângulo coterminal de 10°10\degree: 370°370\degree, 730°730\degree, 350°-350\degree, 710°-710\degree.

  • Ângulo coterminal de 15°15\degree: 375°375\degree, 735°735\degree, 345°-345\degree, 705°-705\degree.

  • Ângulo coterminal de 20°20\degree: 380°380\degree, 740°740\degree, 340°-340\degree, 700°-700\degree.

  • Ângulo coterminal de 25°25\degree: 385°385\degree, 745°745\degree, 335°-335\degree, 695°-695\degree.

  • Ângulo coterminal de 30°30\degree (π/6\pi / 6): 390°390\degree, 750°750\degree, 330°-330\degree, 690°-690\degree.

  • Ângulo coterminal de 45°45\degree (π/4\pi / 4): 495°495\degree, 765°765\degree, 315°-315\degree, 675°-675\degree.

  • Ângulo coterminal de 60°60\degree (π/3\pi / 3): 420°420\degree, 780°780\degree, 300°-300\degree, 660°-660\degree

  • Ângulo coterminal de 75°75\degree: 435°435\degree, 795°795\degree,285°-285\degree, 645°-645\degree

  • Ângulo coterminal de 90°90\degree (π/2\pi / 2): 450°450\degree, 810°810\degree, 270°-270\degree, 630°-630\degree.

  • Ângulo coterminal de 105°105\degree: 465°465\degree, 825°825\degree, 255°-255\degree, 615°-615\degree.

  • Ângulo coterminal de 120°120\degree (2π/32\pi/ 3): 480°480\degree, 840°840\degree, 240°-240\degree, 600°-600\degree.

  • Ângulo coterminal de 135°135\degree (3π/43\pi / 4): 495°495\degree, 855°855\degree, 225°-225\degree, 585°-585\degree.

  • Ângulo coterminal de 150°150\degree (5π/65\pi/ 6): 510°510\degree, 870°870\degree, 210°-210\degree, 570°-570\degree.

  • Ângulo coterminal de 165°165\degree: 525°525\degree, 885°885\degree, 195°-195\degree, 555°-555\degree.

  • Ângulo coterminal de 180°180\degree (π\pi): 540°540\degree, 900°900\degree, 180°-180\degree, 540°-540\degree

  • Ângulo coterminal de 195°195\degree: 555°555\degree, 915°915\degree, 165°-165\degree, 525°-525\degree.

  • Ângulo coterminal de 210°210\degree (7π/67\pi / 6): 570°570\degree, 930°930\degree, 150°-150\degree, 510°-510\degree.

  • Ângulo coterminal de 225°225\degree (5π/45\pi / 4): 585°585\degree, 945°945\degree, 135°-135\degree, 495°-495\degree.

  • Ângulo coterminal de 240°240\degree (4π/34\pi / 3: 600°600\degree, 960°960\degree, 120°120\degree, 480°-480\degree.

  • Ângulo coterminal de 255°255\degree: 615°615\degree, 975°975\degree, 105°-105\degree, 465°-465\degree.

  • Ângulo coterminal de 270°270\degree (3π/23\pi / 2): 630°630\degree, 990°990\degree, 90°-90\degree, 450°-450\degree.

  • Ângulo coterminal de 285°285\degree: 645°645\degree, 1005°1005\degree, 75°-75\degree, 435°-435\degree.

  • Ângulo coterminal de 300°300\degree (5π/35\pi / 3): 660°660\degree, 1020°1020\degree, 60°-60\degree, 420°-420\degree.

  • Ângulo coterminal de 315°315\degree (7π/47\pi / 4): 675°675\degree, 1035°1035\degree, 45°-45\degree, 405°-405\degree.

  • Ângulo coterminal de 330°330\degree (11π/611\pi / 6): 690°690\degree, 1050°1050\degree, 30°-30\degree, 390°-390\degree.

  • Ângulo coterminal de 345°345\degree: 705°705\degree, 1065°1065\degree, 15°-15\degree, 375°-375\degree.

  • Ângulo coterminal de 360°360\degree (2π2\pi): 0°0\degree, 720°720\degree, 360°-360\degree, 720°-720\degree.

Se você não encontrou seu ângulo nessa lista, digite ele em nossa calculadora de ângulos coterminais. Você obterá a resposta em um piscar de olhos!

FAQ

Qual é o ângulo coterminal de 1000° entre 0° e 360°?

A resposta é 280°. Para chegar a esse resultado, lembre-se da fórmula para ângulos coterminais de 1000°:

1000° + 360° ⋅ k.

Claramente, para obter um ângulo coterminal entre e 360°, precisamos usar valores negativos de k. Para k=-1, obtemos 640°, o que é muito alto. Então, vamos tentar k=-2: obtemos 280°, que está entre e 360°, portanto, temos nossa resposta.

Como encontrar todos os ângulos coterminais?

Um determinado ângulo tem um número infinito de ângulos coterminais, portanto você não pode listar todos eles. Você pode escrevê-los com a ajuda de uma fórmula. Se o seu ângulo θ for expresso em graus, os ângulos coterminais serão da forma θ + 360° ⋅ k, onde k é um número inteiro (talvez um número negativo!). Se θ estiver em radianos, então a fórmula será θ + 2π ⋅ k.

Quais são os ângulos coterminais de 45°?

Os ângulos coterminais de 45° são obtidos a partir de 45° + 360° ⋅ k, em que k é um número inteiro. Inserindo diferentes valores de k, obtemos diferentes ângulos coterminais de 45°. Vamos listar vários deles:

45°, 405°, 765°, -315°, -675°.

Como verificar se dois ângulos são coterminais?

Dois ângulos, α e β, são coterminais se sua diferença for um múltiplo de 360°. Ou seja, se β - α = 360° ⋅ k para algum número inteiro k.

Por exemplo, os ângulos -170° e 550° são coterminais, pois 550° - (-170°) = 720° = 360° ⋅ 2. Se os ângulos forem expressos em radianos em vez de graus, você procurará múltiplos de , ou seja, a fórmula é β - α = 2π ⋅ k para um número inteiro qualquer k.

Hanna Pamuła, PhD
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