Calculadora de Ângulos Coterminais

Esta é a calculadora de ângulos coterminais da Omni, uma ferramenta que resolverá muitos dos problemas que você tem com relação a ângulos coterminais:

• Você deseja encontrar um ângulo coterminal de um determinado ângulo, de preferência no intervalo $[0, 360\degree)$? Pois aqui vem uma ótima notícia: nesta calculadora você pode aprender os pontos mais importantes sobre este tema.
• Você está procurando por ângulos coterminais positivos e negativos? Você também irá aprender sobre isso aqui.
• Você gostaria de verificar se dois ângulos são coterminais? Confira aqui! ✔️
• Você está procurando uma calculadora de ângulos coterminais em radianos? Nossa ferramenta funciona tanto para π radianos quanto para graus.
• Ou talvez você esteja procurando pela definição de ângulos coterminais, com alguns exemplos? Então, você não ficará desapontado com esta calculadora.
• A ferramenta garantirá que eu seja aprovado no teste de matemática? ❌ Bem, nossa ferramenta é versátil, mas sua aprovação depende de você :)

Use esta calculadora da Omni para resolver seus problemas de ângulos coterminais ou siga lendo para saber mais.

Vamos começar com a definição de ângulos coterminais.

Os ângulos coterminais (ou às vezes chamados côngruos), são aqueles que compartilham a extremidade ou lado terminal de um ângulo que ocupa a posição padrão. A posição padrão significa que um lado do ângulo está fixo ao longo do eixo x positivo e o vértice está localizado na origem.

Em outras palavras, dois ângulos são coterminais quando os próprios ângulos são diferentes, mas seus lados e vértices são idênticos. Além disso, você pode se lembrar da definição de ângulos coterminais como ângulos que diferem por um número inteiro de circunferências completas.

Veja a imagem abaixo e tudo ficará claro para você!

Então, como dissemos: todos os ângulos coterminais começam no mesmo lado (orientação padrão) e compartilham o mesmo lado terminal.

O que às vezes pode ser confuso é a diferença entre as definições do ângulo de referência e dos ângulos coterminais. Lembre-se de que eles não são a mesma coisa. O ângulo de referência é o ângulo entre o lado terminal e o eixo x, ele está sempre no intervalo entre $[0, 90\degree]$ (ou $[0, \pi/2]$): para obter mais informações sobre o tópico, visite a calculadora de ângulo de referência 🇺🇸 da Omni!

Para encontrar os ângulos coterminais a um dado ângulo, você precisa somar ou subtrair um múltiplo de 360° (ou 2π se estiver trabalhando em radianos). Portanto, para verificar se os ângulos α e β são coterminais, você deve verificar se eles estão de acordo com a fórmula de ângulos coterminais:

a) Para ângulos medidos em graus:

onde $k$ é um número inteiro positivo.

b) Para ângulos medidos em radianos:

aqui $k$ é um número inteiro positivo

Um recurso útil presente em cálculos de funções trigonométricas, é que quaisquer dois ângulos coterminais têm os mesmos valores trigonométricos. Portanto, se $\beta$ e $\alpha$ são coterminais, então seus senos, cossenos e tangentes são todos iguais. Para saber mais sobre este tema visite a calculadora de funções trigonométricas 🇺🇸 da Omni.

Ao usar a calculadora de seno 🇺🇸, por exemplo, vemos que:

Para determinar o ângulo coterminal entre $0\degree$ e $360\degree$, tudo o que você precisa fazer é calcular o módulo, ou seja, divida o ângulo fornecido por $360\degree$ e verifique qual é o restante. Na dúvida, você pode sempre contar com a calculadora de módulo, da Omni.

Mostraremos a você como esse procedimento funciona com dois exemplos, considerando ângulos positivos e negativos. Queremos encontrar um ângulo coterminal com uma medida de $\theta$ tal que $0\degree \leq \theta < 360\degree$, para um determinado ângulo igual a:

Como você pode fazer isso à mão?

• Primeiro, divida um número pelo outro, arredondando para baixo (para isso você pode usar a calculadora de função piso 🇺🇸 da Omni): $\left\lfloor420\degree/360\degree\right\rfloor = 1$.

• Em seguida, multiplique o divisor pelo número obtido (chamado de quociente): $360\degree \cdot 1 = 360\degree$.

• Subtraia esse número do número inicial: $420\degree - 360\degree = 60\degree$.

Substituindo esses ângulos na fórmula dos ângulos coterminais, você obtém $420\degree = 60\degree + 360\degree\cdot 1$.

-858°

Repetindo os passos acima:

• Calcule o piso: $\left\lfloor-858\degree / 360\degree\right\rfloor = -3$.
• Encontre o total de circunferências completas: $360\degree \cdot -3 = -1080\degree$.
• Calcule o restante: $-858\degree + 1080\degree = 222\degree$.

Portanto, a fórmula dos ângulos coterminais, $\beta = \alpha \pm 360\degree \cdot k$, para o nosso exemplo de ângulo negativo é dada por:

O mesmo funciona para o intervalo $[0,2\pi)$, tudo o que você precisa alterar é o divisor. Ao invés de $360\degree$, use $2\pi$.

Agora, verifique os resultados com nossa calculadora de ângulos coterminais. Ela exibe o ângulo coterminal entre $0\degree$ e $360\degree$ (ou $0$ e $2\pi$), bem como alguns exemplos de ângulos coterminais positivos e negativos.

Se você quiser encontrar alguns ângulos coterminais positivos e negativos, precisará subtrair ou adicionar um número de círculos completos. Mas quantos?

Um método é encontrar o ângulo coterminal no intervalo $0\degree$ e $360\degree$ (ou $[0,2\pi)$), como fizemos no parágrafo anterior (se o seu ângulo já estiver nesse intervalo, você não precisará fazer essa etapa). Em seguida, basta adicionar ou subtrair $360\degree$, $720\degree$, $1080\degree$... ($2\pi$,$4\pi$,$6\pi$...), para obter ângulos coterminais positivos ou negativos em relação ao ângulo que você forneceu.

Por exemplo, se você tiver $\alpha = 1400\degree$, o ângulo coterminal no intervalo $[0,360\degree)$ é $320\degree$, sendo este um exemplo de ângulo coterminal positivo.

• Outros ângulos coterminais positivos são $680\degree$, $1040\degree$...

• Outros ângulos coterminais negativos são $-40\degree$, $-400\degree$, $-760\degree$...

Além disso, você pode simplesmente adicionar e subtrair um número de rotações se tudo o que você precisa é de qualquer ângulo coterminal positivo e negativo. Para nosso ângulo escolhido anteriormente, $\alpha = 1400\degree$, vamos adicionar e subtrair $10$ rotações (ou $100$, por que não?):

• Ângulo coterminal positivo: $\beta = \alpha + 360\degree \cdot 10 = 1400\degree + 3600\degree = 5000\degree$.

• Ângulo coterminal negativo: $\beta = \alpha - 360\degree\cdot 10 = 1400\degree - 3600\degree = -2200\degree$.

O número de rotações deve ser grande o suficiente para alterar o sinal ao adicionar/subtrair. Por exemplo, uma volta para nosso ângulo α não é suficiente para que você tenha um ângulo coterminal tanto positivo quanto negativo. Neste caso, obteremos dois ângulos positivos, $1040\degree$ e $1760\degree$.

Se você estiver se perguntando qual é o ângulo coterminal de algum ângulo, não hesite em usar nossa ferramenta, ela está aqui para ajudá-lo!

Mas se, por algum motivo, você ainda preferir uma lista de ângulos coterminais (mas nós realmente não entendemos o porquê...), aqui está:

• Ângulo coterminal de $0\degree$: $360\degree$, $720\degree$, $-360\degree$, $-720\degree$.

• Ângulo coterminal de $1\degree$: $361\degree$, $721\degree$ $-359\degree$ , $-719\degree$.

• Ângulo coterminal de $5\degree$: $365\degree$, $725\degree$, $-355\degree$, $-715\degree$.

• Ângulo coterminal de $10\degree$: $370\degree$, $730\degree$, $-350\degree$, $-710\degree$.

• Ângulo coterminal de $15\degree$: $375\degree$, $735\degree$, $-345\degree$, $-705\degree$.

• Ângulo coterminal de $20\degree$: $380\degree$, $740\degree$, $-340\degree$, $-700\degree$.

• Ângulo coterminal de $25\degree$: $385\degree$, $745\degree$, $-335\degree$, $-695\degree$.

• Ângulo coterminal de $30\degree$ ($\pi / 6$): $390\degree$, $750\degree$, $-330\degree$, $-690\degree$.

• Ângulo coterminal de $45\degree$ ($\pi / 4$): $495\degree$, $765\degree$, $-315\degree$, $-675\degree$.

• Ângulo coterminal de $60\degree$ ($\pi / 3$): $420\degree$, $780\degree$, $-300\degree$, $-660\degree$

• Ângulo coterminal de $75\degree$: $435\degree$, $795\degree$,$-285\degree$, $-645\degree$

• Ângulo coterminal de $90\degree$ ($\pi / 2$): $450\degree$, $810\degree$, $-270\degree$, $-630\degree$.

• Ângulo coterminal de $105\degree$: $465\degree$, $825\degree$, $-255\degree$, $-615\degree$.

• Ângulo coterminal de $120\degree$ ($2\pi/ 3$): $480\degree$, $840\degree$, $-240\degree$, $-600\degree$.

• Ângulo coterminal de $135\degree$ ($3\pi / 4$): $495\degree$, $855\degree$, $-225\degree$, $-585\degree$.

• Ângulo coterminal de $150\degree$ ($5\pi/ 6$): $510\degree$, $870\degree$, $-210\degree$, $-570\degree$.

• Ângulo coterminal de $165\degree$: $525\degree$, $885\degree$, $-195\degree$, $-555\degree$.

• Ângulo coterminal de $180\degree$ ($\pi$): $540\degree$, $900\degree$, $-180\degree$, $-540\degree$

• Ângulo coterminal de $195\degree$: $555\degree$, $915\degree$, $-165\degree$, $-525\degree$.

• Ângulo coterminal de $210\degree$ ($7\pi / 6$): $570\degree$, $930\degree$, $-150\degree$, $-510\degree$.

• Ângulo coterminal de $225\degree$ ($5\pi / 4$): $585\degree$, $945\degree$, $-135\degree$, $-495\degree$.

• Ângulo coterminal de $240\degree$ ($4\pi / 3$: $600\degree$, $960\degree$, $120\degree$, $-480\degree$.

• Ângulo coterminal de $255\degree$: $615\degree$, $975\degree$, $-105\degree$, $-465\degree$.

• Ângulo coterminal de $270\degree$ ($3\pi / 2$): $630\degree$, $990\degree$, $-90\degree$, $-450\degree$.

• Ângulo coterminal de $285\degree$: $645\degree$, $1005\degree$, $-75\degree$, $-435\degree$.

• Ângulo coterminal de $300\degree$ ($5\pi / 3$): $660\degree$, $1020\degree$, $-60\degree$, $-420\degree$.

• Ângulo coterminal de $315\degree$ ($7\pi / 4$): $675\degree$, $1035\degree$, $-45\degree$, $-405\degree$.

• Ângulo coterminal de $330\degree$ ($11\pi / 6$): $690\degree$, $1050\degree$, $-30\degree$, $-390\degree$.

• Ângulo coterminal de $345\degree$: $705\degree$, $1065\degree$, $-15\degree$, $-375\degree$.

• Ângulo coterminal de $360\degree$ ($2\pi$): $0\degree$, $720\degree$, $-360\degree$, $-720\degree$.

Se você não encontrou seu ângulo nessa lista, digite ele em nossa calculadora de ângulos coterminais. Você obterá a resposta em um piscar de olhos!

A resposta é 280°. Para chegar a esse resultado, lembre-se da fórmula para ângulos coterminais de 1000°:

1000° + 360° ⋅ k.

Claramente, para obter um ângulo coterminal entre 0° e 360°, precisamos usar valores negativos de k. Para k=-1, obtemos 640°, o que é muito alto. Então, vamos tentar k=-2: obtemos 280°, que está entre 0° e 360°, portanto, temos nossa resposta.

Um determinado ângulo tem um número infinito de ângulos coterminais, portanto você não pode listar todos eles. Você pode escrevê-los com a ajuda de uma fórmula. Se o seu ângulo θ for expresso em graus, os ângulos coterminais serão da forma θ + 360° ⋅ k, onde k é um número inteiro (talvez um número negativo!). Se θ estiver em radianos, então a fórmula será θ + 2π ⋅ k.

Os ângulos coterminais de 45° são obtidos a partir de 45° + 360° ⋅ k, em que k é um número inteiro. Inserindo diferentes valores de k, obtemos diferentes ângulos coterminais de 45°. Vamos listar vários deles:

45°, 405°, 765°, -315°, -675°.

Dois ângulos, α e β, são coterminais se sua diferença for um múltiplo de 360°. Ou seja, se β - α = 360° ⋅ k para algum número inteiro k.

Por exemplo, os ângulos -170° e 550° são coterminais, pois 550° - (-170°) = 720° = 360° ⋅ 2. Se os ângulos forem expressos em radianos em vez de graus, você procurará múltiplos de 2π, ou seja, a fórmula é β - α = 2π ⋅ k para um número inteiro qualquer k.