Calculadora de Valor Esperado

Se você está se perguntando “como calcular o valor esperado?”, acabou de encontrar a solução aqui, na calculadora de valor esperado da Omni. Basta inserir os valores e suas probabilidades e ela fará o resto. Se você ainda não tiver muita familiaridade com o conceito de probabilidade, certifique-se de visitar primeiro nossa calculadora de probabilidade.

No texto abaixo, você pode aprender a fórmula do valor esperado, a definição de valor esperado e como encontrar o valor esperado manualmente.

O valor esperado é uma aproximação da média de uma variável aleatória, uma previsão de qual seria a média se fôssemos repetir o experimento muitas vezes. Por exemplo, se você rolar um dado mil vezes, qual seria a média mais provável para os resultados? Esse número é chamado de valor esperado.

Em termos matemáticos, o valor esperado de uma variável aleatória $X$ é a soma de cada valor possível $x$ de $X$, multiplicado pela probabilidade desse valor, $P(x)$.

Para compreender essa definição, dê uma olhada na fórmula do valor esperado:

onde $P(x_i)$ é a probabilidade de ocorrência do valor $x_i$ ($i = 1, \ldots, n$) e $n$ é o número de todos os valores possíveis assumidos por nossa variável aleatória.

Você pode reescrever a fórmula acima usando o símbolo da somatória, resultando em:

Se você já visitou nossa calculadora de média ponderada, deve ter notado que encontrar o valor esperado é semelhante ao cálculo da média ponderada, mas, em vez de pesos, usamos probabilidades.

Vamos primeiro aprender como encontrar o valor esperado quando você não tem tempo para fazer cálculos manuais.

Você deve inserir os valores das variáveis aleatórias e suas probabilidades na calculadora. Você pode inserir até 20 números. Novas linhas aparecerão quando você preencher o último campo, desde que tenha fornecido o valor da variável e a probabilidade.

Lembre-se de que a probabilidade não pode ser menor que zero nem maior que um (probabilidade igual a zero significa que algo nunca acontece, e um significa que ocorrerá com 100% de certeza).

A soma de todas as probabilidades também deve ser igual a exatamente um. A calculadora exibirá uma mensagem de aviso, que desaparecerá quando os números estiverem corretos.

Quando as probabilidades estiverem corretas e a soma total for igual a 1, o valor esperado será exibido na parte inferior.

Como parte dos exemplos de valor esperado, agora calcularemos o valor esperado de uma jogada de dado.

Em uma jogada, temos seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Todos os resultados são igualmente prováveis, portanto, a probabilidade de qualquer um deles é igual a 1/6. Agora só precisamos substituir tudo na equação do valor esperado:

E(x) = 1 ⋅ 1/6 + 2 ⋅ 1/6 + 3 ⋅ 1/6 + 4 ⋅ 1/6 + 5 ⋅ 1/6 + 6 ⋅ 1/6

E(x) = 21/6

E(x) = 3,5

O resultado final obtido a partir da definição de valor esperado é 3,5. Você também pode verificar esse resultado com a nossa calculadora de rolagem de dados.

Vamos agora ver um exemplo mais prático de valor esperado.

Você e um amigo estão combinando uma aposta. Ele lhe dará R$ 100,00 se você ganhar, e você lhe dará apenas R$ 45,00 se ele ganhar. Você avaliou que a probabilidade de você ganhar é de 35% e a chance de seu amigo ganhar é de 65%. Você deve aceitar a aposta? Para responder, você pode usar a equação do valor esperado:

E(x) = 100 ⋅ 0,35 + (-45) ⋅ 0,65 = 35 - 29,25 = 5,75

O valor esperado dessa aposta é de R$ 5,75. O resultado sugere que você deve aceitar a aposta. Se você jogar muitos jogos em que o valor esperado seja positivo, os ganhos superarão as perdas a longo prazo.

Para encontrar o valor esperado, use a fórmula:
E(x) = x₁ ⋅ P(x₁) + ... + x_n ⋅ P(x_n).
Em outras palavras, você precisa:

1. Multiplicar cada valor aleatório por sua probabilidade de ocorrência.
2. Somar todos os produtos da etapa 1.
3. O resultado é o valor esperado.

Sim, o valor esperado pode ser negativo. Por exemplo, vamos considerar este cenário: 10 alunos respondem a um questionário que pede que eles classifiquem suas aulas de -2 a 2. Cinco alunos dão uma classificação de -2, dois dão 1 e três dão 0. Nesse caso, o valor esperado seria 5/10 ⋅ (-2) + 2/10 ⋅ 1 + 3/10 ⋅ 0 = -0,8.

Para calcular o valor esperado de uma determinada célula em uma tabela de duas vias:

1. Some os números na linha da célula.

2. Some os números na coluna da célula.

3. Some todas as células da tabela.

4. Para encontrar o valor esperado para uma determinada célula, multiplique a soma da linha (passo 1) pela soma da coluna (passo 2) e divida pela soma de todas as células (passo 3).