Calculadora de Distribuição Uniforme

Boas-vindas à calculadora de distribuição uniforme da Omni! Aqui você poderá computar probabilidades, gerar amostras e determinar várias medidas relacionadas à distribuição uniforme de forma rápida e fácil. Em particular, ela pode servir como uma calculadora da média da distribuição uniforme. Além disso, se precisar aprender como calcular uma distribuição de probabilidade uniforme manualmente ou como são as várias fórmulas (por exemplo, a FDP e a FDA da distribuição uniforme), você está no lugar certo!

Começaremos discutindo a definição de uma distribuição uniforme. Lembre-se de que este artigo é, em sua maior parte, dedicado à distribuição uniforme contínua. Vá diretamente para a última seção para saber mais sobre a distribuição uniforme discreta.

A distribuição uniforme é uma distribuição de probabilidade na qual os resultados possíveis formam um intervalo e todos os sub-intervalos contidos nesse intervalo que têm o mesmo comprimento são igualmente prováveis. Se os resultados mínimo e máximo possíveis forem a e b, respectivamente, você terá a distribuição uniforme em [a,b]. Denotamos essa distribuição como U(a, b).

Podemos definir uma distribuição uniforme contínua em qualquer intervalo que quisermos. Se usarmos o intervalo [0,1], obteremos a distribuição uniforme padrão, U(0,1). É interessante notar que a distribuição uniforme padrão é um caso especial da distribuição beta 🇺🇸 com parâmetros (1,1):

U(0,1) = B(1,1).

Intuitivamente, podemos dizer que a distribuição uniforme modela a situação em que todos os resultados são igualmente prováveis, embora tenhamos que lembrar que, formalmente, no caso de distribuições contínuas, a probabilidade de um determinado resultado x é sempre igual a zero: P(X = x) = 0.

A distribuição uniforme aparece várias vezes em estatística. Ela é mais útil quando precisamos gerar números aleatórios. Praticamente todos os geradores de números aleatórios (incluindo o gerador de números aleatórios da Omni) produzem números que seguem a distribuição uniforme padrão. Então, se exigirmos outra distribuição, esses números passarão por alguma transformação para garantir que sigam a distribuição desejada.

Agora entendemos intuitivamente do que se trata a distribuição uniforme, mas para compreendê-la totalmente, precisamos examinar alguns gráficos e fórmulas. Portanto, vamos discutir a definição matemática da distribuição uniforme.

A FDP da distribuição uniforme

A fórmula para a função de densidade de probabilidade (FDP) da distribuição uniforme U(a,b) é a seguinte:

f(x) = 1 / (b - a) para a ≤ x ≤ b.

Para a distribuição uniforme padrão, temos uma fórmula ainda mais simples:

f(x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1.

Fora do intervalo [a,b], o valor de f é, obviamente, zero.

O gráfico dessa fórmula FDP é uma linha reta horizontal. Ele tem a mesma altura para cada resultado potencial, e esta altura é igual a 1 / (b - a), ou seja, ao recíproco do comprimento do intervalo [a,b] sobre o qual a distribuição é definida. Portanto, o gráfico da distribuição uniforme se parece com um retângulo. Dessa forma, não é de surpreender que às vezes chamemos a distribuição uniforme de distribuição retangular.

A FDA da distribuição uniforme

A fórmula da função de distribuição acumulada (FDA) da distribuição uniforme U(a,b) é a seguinte:

F(x) = (x - a) / (b - a) para a ≤ x ≤ b.

Para a distribuição uniforme padrão, ela assume uma forma particularmente simples:

F(x) = x para 0 ≤ x ≤ 1.

Fora do intervalo [a,b], os valores são F(x) = 0 para x ≤ a e F(x) = 1 para b ≥ x.

Função quantil da distribuição uniforme

Lembre-se de que a função quantil é o inverso da FDA. Para a distribuição uniforme, podemos calculá-la com muita facilidade, obtendo a seguinte fórmula:

Q(p) = (b - a) ⋅ p + a.

Como você viu acima, a distribuição uniforme não é um conceito complicado, mas há algumas fórmulas que você precisa lembrar para fazer os cálculos. Felizmente, nossa calculadora de distribuição uniforme conhece todas elas muito bem e pode fazer o trabalho duro para você! Para usar a calculadora de forma eficiente, siga estas etapas:

1. Escolha o modo da calculadora, ou seja, diga à calculadora o que exatamente você deseja calcular. As opções disponíveis são:
   • Calculadora de probabilidade;
   • Gerador de amostras;
   • Função de densidade de probabilidade;
   • Função de distribuição acumulada;
   • Função quantil; ou
   • Medidas comuns (média, mediana, variância, desvio padrão, assimetria).
2. Se você escolheu o modo Calculadora de probabilidade, selecione o tipo de probabilidade.
3. Insira os parâmetros a e b da distribuição uniforme que você deseja que a calculadora considere.
4. No caso de probabilidade, FDP, FDA e quantil, digite o argumento.
5. No caso do gerador de amostras, digite o comprimento da amostra.
6. O resultado da calculadora de distribuição uniforme vai depender do modo que você escolher. Pode até aparecer um gráfico!

Na distribuição uniforme U(a,b), a probabilidade de um intervalo [c,d] (presumimos que ele esteja totalmente contido no intervalo [a,b]) é proporcional ao comprimento desse intervalo. Assim, a fórmula da distribuição uniforme é a seguinte:

P(c ≤ x ≤ d) = (d - c) / (b - a).

Como alternativa, podemos calcular P(c ≤ x ≤ d) como a área sobre [c,d] que se encaixa na FDP da distribuição uniforme U(a,b). A forma em questão é um retângulo, portanto, sua área é altura vezes largura.

• A altura do retângulo é o valor da FDP, que é 1 / (b - a).
• A largura do retângulo é o comprimento de [c,d], ou seja, d - c.

Consequentemente:

P(c ≤ x ≤ d) = (d - c) ⋅ 1 / (b - a)

Portanto, temos a mesma fórmula de antes.

Esperamos que você nunca se encontre em uma situação na qual não possa usar a calculadora de distribuição uniforme da Omni, mas é melhor estar seguro. Esta seção contém as principais fórmulas que caracterizam uma distribuição uniforme, de modo que, em caso de emergência, você possa calculá-las rapidamente à mão.

1. A média da distribuição uniforme U(a,b):

   μ = (a + b) / 2

2. A variância da distribuição uniforme U(a,b):

   σ² = (b - a)² / 12

   Como você bem sabe, o desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância, portanto, você pode facilmente transformar um no outro.

3. A assimetria da distribuição uniforme U(a,b) é igual a zero porque essa distribuição é simétrica!

Se houver um número finito de resultados e cada um deles tiver a mesma probabilidade de ocorrer, então estamos lidando com uma distribuição uniforme discreta. Formalmente, a probabilidade de você obter o resultado x é a seguinte:

P(x) = 1 / n

onde n é o número de resultados possíveis.

Aqui estão alguns exemplos:

• Ao jogar uma moeda (justa), você tem dois resultados possíveis: “cara” ou “coroa”. A probabilidade de cada resultado é 1/2 (ou 50%).
• Ao tirar um naipe específico de um baralho de cartas, você tem quatro resultados possíveis: ♣ ♦ ♥ ♠. A probabilidade de cada um deles é 1/4 (ou 25%).
• Ao lançar um dado (justo) 🎲, você pode obter os seguintes resultados: ⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄ ou ⚅. A probabilidade de cada resultado é 1/6 (ou 16,67%).

O valor esperado da distribuição uniforme U(a,b) é o mesmo que sua média e é dado pela fórmula a seguir:

μ = (a + b) / 2.

Observe que esse é precisamente o ponto médio do intervalo [a,b].

A mediana e a média da distribuição uniforme são iguais porque essa distribuição é simétrica. Assim, temos a seguinte fórmula:

mediana = (a + b) / 2.

Para obter o desvio padrão da distribuição uniforme U(a,b), você precisa tirar a raiz quadrada de sua variância. Consequentemente, a fórmula do desvio padrão é a seguinte

σ = (b - a) / √12

Não, essas são distribuições diferentes! Na distribuição normal, os resultados mais próximos da média têm maior probabilidade de ocorrer do que os mais distantes da média. Seu gráfico tem o formato de um sino. Na distribuição uniforme, todos os resultados são igualmente prováveis. O gráfico da distribuição uniforme é um retângulo.

Sim, a distribuição uniforme às vezes é chamada de distribuição retangular. Isso ocorre porque o gráfico da distribuição uniforme U(a,b) (mais precisamente, de sua FDP) é um retângulo desenhado sobre o intervalo [a,b] com área igual a 1. Portanto, a altura desse retângulo é igual a 1 / (b - a).