Kalkulator odchylenia standardowego

Twórcy

Jasmine J Mah

Tłumaczenie

Agata Flak

Agata is an aspiring translator and interpreter with a passion for foreign languages and linguistics. She holds a Bachelor’s degree in French and Italian Studies from the University of Manchester. She spent a year studying translation and interpreting in Mons, Belgium. She is currently pursuing her Master’s degree in Translation Studies at the Jagiellonian University in Cracow, specializing in conference interpreting. In her free time, she likes petting her dog and engaging in physical training. See full profile

Check our editorial policy

Recenzenci

Bogna Szyk

Bogna is the chief operating officer at Omni Calculator, where she helps keep things running smoothly and ideas moving forward. With a background in civil engineering and a knack for organizing chaos, she brings structure and strategy to everything she does. After hours, you’ll likely find her dancing zouk or crafting the next twist in a D&D campaign. See full profile

Check our editorial policy

i Jack Bowater

Kalkulator odchylenia standardowego pokazuje, jak obliczyć średnią i odchylenie standardowe zbioru danych. Jeśli uczysz się statystyki, koniecznie musisz nauczyć się, jak obliczyć odchylenie standardowe, ponieważ jest ono bardzo szeroko stosowane.

Pokochasz wyjątkowe cechy naszego kalkulatora odchylenia standardowego!

Działa jako kalkulator odchylenia standardowego populacji lub próby.
Wyjaśnimy Ci wszystkie kroki, aby ułatwić Ci zrozumienie jego funkcjonowania.
Doskonale sprawdza się jako narzędzie do nauki lub jako kalkulator dla małych zbiorów danych.
Poniżej znajdziesz definicję i wzór na odchylenie standardowe.

Na co czekasz? Czytaj dalej!

Czym jest odchylenie standardowe?

Odchylenie standardowe jest miarą zmienności w zbiorze danych. Innymi słowy, odchylenie standardowe opisuje, jak zmienne są dane wobec średniej. Ten kalkulator obsługuje zbiory złożone z oddzielnych punktów danych, ale ale możesz też uzyć kalkulatora wariancji danych zgrupowanych 🇺🇸.

Im większe odchylenie standardowe, tym dane należące do zbioru są bardziej zmienne.

Natomiast małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane są bardziej skupione wokół średniej, czyli mniej zmienne.

Czy jesteś w stanie wyobrazić sobie, jak wygląda odchylenie standardowe? Chociaż można obliczyć je dla dowolnego zbioru danych, w przypadku rozkładu normalnego wizualizacja odchylenia standardowego może być szczególnie pomocna. Reguła trzech sigm mówi, że dla każdego zbioru danych, który jest zbliżony do rozkładu normalnego, około 68% danych będzie mieścić się w granicach jednego odchylenia standardowego od średniej, jak pokazano na poniższym rysunku.

Odchylenie standardowe jest nie tylko szeroko stosowaną miarą zmienności, ale stanowi również podstawę innych narzędzi charakteryzujących zmienność, w tym wielkości obliczanych przez kalkulator względnego odchylenia standardowego 🇺🇸 i kalkulator przedziału ufności.

Aby dowiedzieć się więcej, koniecznie zapoznaj się z naszym artykułem o przedziale ufności i odchyleniu standardowym.

Wzór na odchylenie standardowe

W matematyce odchylenie standardowe (σ) to dodatni pierwiastek kwadratowy wariancji ( $\sigma^2$ ):

\mathrm{wariancja} = \sigma^2 \\ \mathrm{odchylenie \ standardowe} = \sqrt{\sigma^2} = \sigma

Równanie odchylenia standardowego wydaje się proste, ale jak obliczyć wariancję?

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od średniej. Zapisuje się ją następująco:

\sigma^2 = \frac{1}{N}\displaystyle\sum_{n}^N (x_i - \mu)^2

gdzie:

$\sigma^2$ – wariancja,
$\mu$ – średnia,
$x_i$ – poszczególna wartość, należąca do zbioru danych liczącego $N$ wartości.

Wariancję można obliczyć w trzech krokach:

Oblicz różnice między każdą wartością a średnią. Użyj wzoru:
$x_i - \mu$
Podnieś do kwadratu każdą z otrzymanych różnic:
$(x_i - \mu)^2$
Policz średnią wszystkich uzyskanych kwadratów:
$\frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$

Jest to metoda obliczania wariancji dla populacji. Zwróć uwagę, że ten krok jest nieco inny w przypadku próby (patrz następna sekcja).

Pamiętaj, że odchylenie standardowe jest (dodatnim) pierwiastkiem kwadratowym wariancji, więc pełny wzór na odchylenie standardowe (dla populacji) wygląda następująco:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i}^N (x_i - \mu)^2}

Wzory na odchylenie standardowe dla populacji i próby

Ze względów praktycznych w wielu eksperymentach naukowych wykorzystuje się tylko próbę, która pozwala nam wyciągać wnioski na temat populacji. Jednak gdy do oszacowania wariancji populacji wykorzystuje się dane próby, wzór na wariancję $\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$ zaniża wariancję populacji.

Aby uniknąć niedoszacowania wariancji populacji (a w konsekwencji odchylenia standardowego), kiedy pracujemy na danych próby, zamiast $N$ podstawimy $N - 1$ . Zabieg ten znany jest jako korekta Bessela.

Wzór na wariancję dla próby wygląda następująco:

s^2 = \frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2

Natomiast pełny wzór na odchylenie standardowe przyjmuje postać:

s = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2}

gdzie:

$s^2$ – przybliżona wariancja,
$s$ – przybliżone odchylenie standardowe,
$\={x}$ – średnia próby.

💡 Chcesz dowiedzieć się więcej? Przeczytaj nasz artykuł: „Wariancja a odchylenie standardowe: zrozumieć różnicę”.

Przykładowe obliczenia

Załóżmy, że mamy próbkę danych z siedmioma liczbami: 2, 4, 5, 6, 6, 9, 10. Jak obliczyć odchylenie standardowe? Wykonaj następujące kroki:

1. Oblicz średnią.

Aby obliczyć średnią (x̄), podziel sumę wszystkich wartości przez liczbę punktów danych:
$\={x} = \frac{2 + 4 + 5 + 6 + 6 + 9 + 10}{7} = 6$

2. Oblicz kwadrat różnicy między poszczególnymi wartościami a średnią.

Użyjemy następującego wzoru:
$(x_i - \={x})^2$

Dla przykładu, obliczmy kwadrat różnicy między punktem 2 i średnią:
$(2-6)^2 = (-4)^2 = 16$

Obliczone kwadraty różnic od średniej dla wszystkich punktów danych przedstawiono w poniższej tabeli:

x_i	(x_i - x̄)²
2	16
4	4
5	1
6	0
6	0
9	9
10	16

3. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe.

Ponieważ używamy danych próby, obliczamy wariancję za pomocą wzoru na wariancję dla próby i kwadratów, które znaleźliśmy w 2. kroku:

$s^2 = \frac{1}{N-1}\sum (x_i - \={x})^2$

W tym wypadku otrzymamy następujące działanie:

$s^2 = \frac{16 + 4 + 1 + 0 + 0 + 9 + 16}{7 - 1} = 7,\!6667$

Odchylenie standardowe (s) jest równe pierwiastkowi kwadratowemu wariancji, wykonajmy więc nasze ostatnie obliczenie:

$s = \sqrt{7,\!6667} = 2,\!7689$ .

Odchylenie standardowe przykładowego zbioru danych wynosi 2,8. Teraz wiesz, jak znaleźć odchylenie standardowe. Spróbuj obliczyć je samodzielnie, a następnie sprawdź swoją odpowiedź za pomocą naszego kalkulatora!

🔎 Czy wiesz? Odchylenie standardowe jest jedną z miar zmienności 🇺🇸 i współczynnika zmienności, które pomagają nam zrozumieć rozkład naszych danych.

Jak korzystać z kalkulatora odchylenia standardowego?

Korzystanie z naszego kalkulatora odchylenia standardowego jest łatwe i intuicyjne. Wystarczy wykonać poniższe czynności:

Wprowadź swój zbiór danych. Możesz dodać do 30 wartości.
W ustawieniach określ, czy pracujesz na dancyh populacji czy próby. Następnie możesz zaznaczyć, czy chcesz znaleźć odchylenie standardowe próby, czy populacji.
Sprawdź swoje wyniki. Nasz kalkulator pokaże ci też, jak obliczyć odchylenie standardowe dla twojego zbioru danych krok po kroku.

Jak obliczyć odchylenie standardowe?

Jeśli obliczasz odchylenie standardowe za pomocą kalkulatora tradycyjnego, możesz użyć uproszczonego wzoru na wariancję. Jest on równoważny z pełnym wzorem, przy czym jest łatwiejszy do wpisania na kalkulatorze.

Oto uproszczony wzór na odchylenie standardowe:

\sigma^2 = \frac{\sum(x_i^2) - (\sum x_i)^2}{N}

A to jest uproszczony wzór na wariancję:

s^2 = \frac{\sum(x_i^2) - (\sum x_i)^2}{N-1}

Aby znaleźć odchylenie standardowe, najpierw oblicz wariancję za pomocą jednego z powyższych wzorów. Następnie znajdź pierwiastek kwadratowy wariancji by obliczyć odchylenie standardowe.

Weźmy próbę, zawierającą następujące dane: 1, 2, 4, 6. Oto jak obliczyć wariancję:
$\sum(x_i^2) = (1^2 + 2^2 + 4^2 + 6^2) = 57$
$(\sum x_i)^2 = \frac{(1 + 2 + 4 + 6)^2}{4} = \frac{169}{4} = 42,\!25$

co daje

$\sigma^2 = \frac{57 - 42,\!25}{4-1} = 4,\!9167$ .

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji:

$\sqrt{4,\!9167} \approx 2,\!2$

Spróbuj samodzielnie, a następnie sprawdź swoją odpowiedź za pomocą naszego kalkulatora odchylenia standardowego!

Podsumowanie zmiennych i równań

Tabela 1. Zmienne dla danych populacyjnych

Zmienna	Symbol	Wzór
Liczba obserwacji	$N$
Średnia populacji	$\mu$	$\frac{1}{N}\sum x_i$
Suma kwadratów	$\mathrm{SS}$	$\sum(x_i - \mu)^2$
Wariancja	$\sigma^2$	$\frac{\mathrm{SS}}{N}$
Odchylenie standardowe	$\sigma$	$\sqrt{\sigma^2}$

Tabela 2. Zmienne dla danych próbki

Zmienna	Symbol	Wzór
Średnia próby	$\={x}$	$\frac{1}{N}\sum x_i$
Suma kwadratów	$\mathrm{SS}$	$\sum (x_i - \={x})^2$
Wariancja próby	$s^2$	$\frac{SS}{N-1}$
Odchylenie standardowe	$s$	$\sqrt{s^2}$