Kalkulator pola prostokąta

Niezależnie od tego, czy potrzebujesz obliczyć pole dywanu, działki, ekranu telewizora, prostokątnego basenu czy okna, nasz kalkulator pola prostokąta rozwiąże twój problem w mgnieniu oka!

Wszystko, co musisz zrobić, to wprowadzić długość i szerokość (lub przekątną) i pozwolić kalkulatorowi znaleźć wartości Ob (obwód) i P (pole powierzchni).

W dalszej części artykułu omawiamy, czym jest prostokąt, jaka jest jego definicja, jakie znamy wzory oraz właściwości prostokątów. Lub po prostu przeczytaj poniżej, jak znaleźć pole prostokąta.

Prostokąt to czworokąt z czterema kątami prostymi. Możemy również zdefiniować go w inny sposób: równoległobok zawierający kąt prosty — jeśli jeden kąt jest prosty, pozostałe muszą być takie same. Co więcej, każdy bok prostokąta ma taką samą długość jak bok przeciwległy. Sąsiednie boki nie muszą być równe, w przeciwieństwie do kwadratu, który jest szczególnym przypadkiem prostokąta.

Jeśli znasz łacinę, sama nazwa danej figury wiele wyjaśniać. Słowo prostokąt pochodzi od łacińskiego rectangulus. Jest to połączenie słów rectus (co oznacza „prosty”) i angulus (kąt), więc sama nazwa może służyć jako prosta, podstawowa definicja prostokąta.

Prostokąt jest rodzajem czworokąta. Możesz użyć naszego kalkulatora czworokątów 🇺🇸, aby znaleźć pole innych typów czworokątów.

Powyższy rysunek przedstawia typowy prostokąt. Ma on cztery boki i cztery kąty proste. Długości boków oznaczono zmiennymi a i b, natomiast długość przekątnej to d.

Jeśli wszystkie boki prostokąta mają równe długości, nazywamy go kwadratem.

Pole prostokąta to przestrzeń ograniczona jego bokami lub, innymi słowy, przestrzeń znajdująca się w obrębie obwodu prostokąta. Aby znaleźć pole prostokąta, wszystko, co musisz zrobić, to pomnożyć a i b:

Powierzchnia = a ⋅ b

Nasz kalkulator prostokąta wykorzystuje następujące wzory:

• Wzór na pole powierzchni:
  P = a ⋅ b

• Wzór na obwód:
  Ob = 2 ⋅ (a + b)

• Wzór na przekątną:
  d² = a² + b²
d = √(a² + b²)

Ponieważ znamy wzór na pole prostokąta P = a ⋅ b, możemy wykonać obliczenia na prostym przykładzie:

1. Ustal długość prostokąta — na przykład a = 5 cm.
2. Ustal szerokość prostokąta — na przykład b = 6 cm.
3. Pomnóż te dwie wartości: P = 5 cm ⋅ 6 cm = 30 cm².
4. Pole prostokąta wynosi 30 cm².

Teraz spróbujmy znaleźć obwód danego prostokąta. Obwód, rzecz jasna, jest sumą wszystkich boków danej figury, czyli dla prostokąta:

Ob = a + b + a + b

co można zapisać jako:

Ob = 2 ⋅ (a + b)

Użyjmy danych z poprzedniego przykładu:

1. Długość prostokąta — w naszym przypadku a = 5 cm.
2. Szerokość prostokąta — tutaj b = 6 cm.
3. Dodajemy obie wartości do siebie: a + b = 5 + 6 = 11 cm.
4. Mnożymy wynik przez 2: Ob = 2 ⋅ 11 = 22 cm.
5. No i proszę! Obwód naszego prostokąta wynosi 22 cm.

Przekątna prostokąta to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta. Oblicz długość przekątnej przykładowego prostokąta:

1. Ustal długość prostokąta — na przykład a = 5 cm.
2. Ustal szerokość prostokąta — na przykład b = 6 cm.
3. Podnieś a do kwadratu: a² = 25 cm².
4. Podnieś b do kwadratu: b² = 36 cm².
5. Dodaj te dwie wartości: a² + b² = 25 + 36 = 61 cm².
6. Na koniec weź pierwiastek kwadratowy z wyniku: d = √(a² + b²) = √61 ~ 7,81 cm.
7. Długość przekątnej wynosi 7,81 cm.

Oczywiście, zamiast obliczać wszystkie te wartości ręcznie, możesz użyć naszego kalkulatora pola prostokąta Omni. Możesz go również użyć w odwrotnej sytuacji — na przykład do obliczenia szerokości prostokąta o znanej długości i obwodzie.

Powyższy rysunek przedstawia specjalny typ prostokąta zwanego złotym prostokątem (dowiedz się więcej na ten temat z naszego kalkulatora złotego prostokąta 🇺🇸). Taki prostokąt spełnia następujący warunek:

(a + b) / a = a / b = φ

gdzie φ jest złotą proporcją równą 1,618. Dowiedz się więcej o tej szczególnej proporcji z naszym kalkulatorem złotego podziału.

Jak zapewne pamiętasz z kalkulatora stosunku 🇺🇸, proporcja to stosunek między dwiema wielkościami, często przedstawiany w postaci ułamka.

Czy wiesz, że możesz skonstruować złoty prostokąt, używając tylko linijki i cyrkla? To bardzo proste!

1. Narysuj kwadrat (zaznaczony na rysunku czerwoną linią).
2. Narysuj linię od punktu środkowego jednego boku kwadratu do przeciwległego rogu. Nasz kalkulator punktu środkowego może pomóc ci w tym kroku.
3. Narysuj okrąg o promieniu równym długości tej linii i środku w punkcie środkowym boku kwadratu, jak na powyższym rysunku.
4. Punkt, w którym okrąg styka się z przedłużonym bokiem kwadratu, jest kolejnym rogiem złotego prostokąta.
5. Znajdź ostatni wierzchołek i uzupełnij złoty prostokąt.

Zrobione! To nie było takie trudne, prawda?

Prostokąty mają wiele interesujących właściwości. Prostokąt jest:

• Regularny — co oznacza, że wszystkie narożniki leżą na obwodzie jednego, odpowiednio naniesionego okręgu.
• Równokątny — wszystkie jego kąty są równe 90 stopni.
• Prostoliniowy — jego boki stykają się pod kątem prostym.
• Posiada dwie linie symetrii — pionową i poziomą przechodzącą przez środek.
• Ma dwie przekątne, które przecinają się w połowie — długość przekątnej możemy znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
• Przeciwległe boki prostokąta są względem siebie równoległe i mają równe długości.

Inne, mniej znane właściwości prostokąta:

• Przecięcie przekątnych jest środkiem okręgu — istnieje okrąg, który ma środek w tym punkcie i przechodzi przez cztery rogi prostokąta.
• W prostokącie o różnych długościach boków (nie w kwadracie) nie można narysować okręgu.
• Linie łączące punkty środkowe boków prostokąta tworzą romb, który stanowi połowę powierzchni prostokąta. Boki tego kształtu są równoległe do przekątnych prostokąta.

Możesz również samodzielnie ustalić nieoczywiste właściwości, np. dotyczące ruchu obrotowego tej figury — wzdłuż boku lub przekątnej, aby otrzymać odpowiednio walec lub stożek.

W skrócie:

1. Czy kwadrat jest prostokątem? Tak.
2. Czy prostokąt jest równoległobokiem? Tak.
3. Czy prostokąt jest rombem? Ogólnie — NIE. Tylko jeśli jest kwadratem (wszystkie kąty rombu mają 90 stopni).
4. Czy romb jest prostokątem? Ogólnie — NIE. Tylko jeśli jest kwadratem (wszystkie boki prostokąta są równej długości).
5. Czy prostokąt jest czworokątem? Tak, oczywiście.
6. Czy prostokąt jest trapezem? Tak.

Zastanawiasz się, czy kwadrat jest prostokątem lub, czy prostokąt jest równoległobokiem? Spójrz na poniższy obrazek, a nie powinieneś mieć już żadnych wątpliwości co do relacji między czworokątami:

Jak odczytać ten diagram? Zacznijmy od naszego prostokąta. Z tym kształtem są bezpośrednio powiązane trzy figury geometryczne: kwadrat, równoległobok i trapez równoramienny. Jeśli więc dany kształt znajduje się powyżej figury, której szukamy — jak kwadrat i prostokąt — możemy powiedzieć, że:

• Każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem.

W przypadku pozostałych dwóch figur możemy stwierdzić analogicznie:

• Każdy prostokąt jest równoległobokiem, ale nie każdy równoległobok jest prostokątem.
• Każdy prostokąt jest trapezem, ale nie każdy trapez jest prostokątem.

Istnieje wiele różnych rankingów oceniających kraje — czy to pod względem ich obszarów, populacji, poziomu edukacji, czy laureatów nagrody Nobla.

Ale czy kiedykolwiek zastanawiałeś/aś się kto jest zwycięzcą konkursu na najbardziej prostokątny kraj? Australijski statystyk, David Barry, obliczył parametr prostokątności dla wszystkich krajów na świecie i stworzył ranking.

Okazało się, że najbardziej prostokątnym krajem jest Egipt, podczas gdy tytuł „najmniej prostokątnego kraju na świecie” przypadł Malediwom (autor przyznaje jednak, że obliczenia dla krajów składających się z wielu małych wysp mogą być obarczone dużym marginesem błędu). Spójrz na poniższą tabelę i sprawdź pierwsze dziesięć najbardziej prostokątnych krajów (Polska na miejscu dziewiątym!) i kilka najmniej prostokątnych.

Egipt jest liderem, ale nie powinno to nikogo dziwić, patrząc na kształt tego kraju na mapie. USA znajdują się w środku rankingu, głównie ze względu na oddalone terytoria Alaski i Hawajów. Mylące jest to, że drugi najbardziej prostokątny kraj — Watykan — jest jednocześnie 4. najbardziej okrągłym krajem, a Polska, piąta w klasyfikacji okrągłości, jest dziewiąta w rankingu prostokątności.

Jak to w ogóle możliwe, aby być prostokątnym i okrągłym w tym samym czasie? Jak możesz się domyślić, chodzi o definicję prostokątności i okrągłości, która może nie być adekwatna do złożonych lub rozproszonych kształtów — a granice państw są zwykle takimi przykładami, zawierającymi ostre krawędzie, małe wyspy lub kolonie gdzieś na drugiej części globu.

Jeśli jesteś zainteresowany tematem, możesz rzucić okiem na to wyjaśnienie i omówienie wyników.

Można by pomyśleć, że świat byłby łatwiejszy do narysowania, gdyby każdy kraj był prostokątem...

Kształt prostokąta jest używany w wielu okresowych wzorach teselacji (parkietażu). Wzory z prostokątami możemy znaleźć na murowanych ścianach, płytkach podłogowych, chodnikach lub różnych mozaikach. Poniżej znajdziesz kilka popularnych wzorów:

• Szachownica — jest to najbardziej powszechny i najprostszy wzór układania płytek, ponieważ są one kładzione w liniach prostych.

• Cegiełka — typowa dla chodników, płytek i murów.

• Jodełka — drewniane podłogi dobrze wyglądają z takim wzorem.

• Plecionka — często używana w korytarzach lub na chodnikach/ścieżkach.

Oczywiście płytki występują we wszystkich kształtach i rozmiarach — sześciokątne i ośmiokątne z kwadratami są dość popularnym wyborem. W przypadku pięciokąta kształt musi być nieregularny, aby utworzyć odpowiedni wzór płytek.

Kształt ciała jest jednym z najczęściej wyszukiwanych problemów związanych z prostokątami. Wszystko, co musisz zrobić, to zmierzyć swój biust, talię, biodra i wysokie biodro i wpisać wartości do narzędzia. Następnie uzyskasz informacje na temat kształtu swojego ciała.

Na przykład, prostokątny kształt ciała jest zdefiniowany jako „chłopięcy” typ ciała — twoje biodra, talia i biust są mniej więcej tego samego rozmiaru. Twoje ciało jest proporcjonalne i ma atletyczny wygląd.

Co zaskakujące, jesteśmy otoczeni przez prostokątne obiekty. Dlatego nasz kalkulator pola prostokąta może być przydatny nie tylko na lekcjach matematyki, ale także w codziennym życiu. Oczywiście nie znajdziesz idealnego prostokąta w rzeczywistości, ponieważ zawsze ma on trzeci wymiar; ale jeśli jest on mały w porównaniu z pozostałymi dwoma wymiarami, przybliżenie jest wystarczająco dobre.

• Obrusy w kształcie prostokąta — biorąc pod uwagę rozmiar swojego stołu, możesz dowiedzieć się, jaki obrus jest potrzebny lub ile koronki bądź tkaniny do obszycia musisz zużyć.

• Drzwi i okna — czy burza lub piłka golfowa rozbiła twoją szybę? Oblicz powierzchnię i oszacuj koszt naprawy, biorąc pod uwagę cenę za metr kwadratowy szyby.

• Ekrany urządzeń elektronicznych — tabletów, smartfonów, telewizorów — użyj naszego kalkulatora powierzchni prostokąta, aby oszacować, ile miejsca na ścianie zajmie twój ekran — lub jak duży jest ekran telefonu, który chcesz kupić.

• Tablice, lustra, ramki, płótna, kartki papieru, notatniki, koperty, pieniądze, flagi, prostokątne baseny... To niekończąca się lista!

Przyjrzyj się. Czy możesz znaleźć więcej prostokątnych obiektów wokół siebie? Pewnie, że możesz, są wszędzie!