Kalkulator ośmiokąta

Witaj w kalkulatorze ośmiokąta, najlepszym narzędziu do badania wszystkiego, co ośmiokątne: do obliczania przekątnych, obwodu i pola powierzchni ośmiokąta foremnego, jak również promienia okręgu wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym. W naszym kalkulatorze znajdziesz również odpowiedzi na następujące pytania: co to jest ośmiokąt, ile boków ma ośmiokąt, jak znaleźć pole ośmiokąta foremnego oraz jak narysować ośmiokąt.

Zapoznamy się z definicją ośmiokąta, zastanowimy się, jakie są wielkości kątów w ośmiokącie i jaki mają wpływ na kształt ośmiokąta. Ponadto zobaczymy kilka przykładów wykorzystania ośmiokątów w życiu codziennym, w tym ośmiokątne płytki, podłogi i słynny „ośmiokątny dom”.

Standardowa definicja ośmiokąta brzmi mniej więcej tak: „Ośmiokąt to wielokąt o 8 bokach ograniczający zamknięty obszar”. Z pewnością nawet bez znajomości tej jesteś w stanie odpowiedzieć na pytanie „ile boków ma ośmiokąt?”. Odpowiedź jest zawarta w samym słowie: ośmiokąt ma osiem boków, tak jak ośmiornica ma osiem nóg.

Jeśli ktoś zapyta „ile boków ma ośmiokąt?”, odpowiedź jest zawsze taka sama, ale jeśli ktoś zapyta o długości tych boków, nie możemy udzielić jednej odpowiedzi. Każdy bok ośmiokąta może mieć inną długość; nie ma żadnych ograniczeń w tym zakresie. Jednakże, gdy wszystkie wewnętrzne kąty są takie same i długości wszystkich boków są równe, to nasza figura jest nazywana ośmiokątem foremnym i ma specjalne właściwości. Jakie? Zobaczymy w kolejnych sekcjach.

Przypomnijmy, że ośmiokąt to wielokąt składający się z ośmiu wierzchołków połączonych ośmioma bokami. Osiem boków ośmiokąta jest prostą konsekwencją posiadania ośmiu kątów. Standardowa definicja ośmiokąta definiuje ośmiokąt jako figurę posiadającą osiem boków, a nie osiem kątów, ale już wiesz, że obie definicje są równoważne. Tak więc na pytanie co to jest ośmiokąt możesz równie dobrze odpowiedzieć „wielokąt o ośmiu bokach”, jak i „wielokąt o ośmiu kątach”.

Podczas gdy boki ośmiokąta mogą mieć niemal dowolną długość, kąty ośmiokąta podlegają pewnym ograniczeniom. Nie jest to ograniczenie nałożone na każdy kąt z osobna, ale na ich sumę. Ograniczenie to ma charakter geometryczny, ponieważ niemożliwe byłoby połączenie wszystkich ośmiu boków bez przestrzegania tej zasady. Dla dowolnego ośmiokąta, suma wszystkich jego kątów wewnętrznych wynosi zawsze 1080°.

Oznacza to, że ośmiokąt foremny będzie miał kąty wewnętrzne wynoszące dokładnie 1080°/8 = 135° (jeśli wolisz inne jednostki, możesz skorzystać z naszego przelicznika kątów 🇺🇸). Naszym zdaniem ośmiokąt foremny jest znacznie ładniejszy niż wszystkie inne ośmiokąty. W dalszej części tekstu dowiesz się, jak znaleźć pole ośmiokąta foremnego i poznasz różne ciekawostki związane z ośmiokątem foremnym.

Jeśli chcesz dowiedzieć się, jak ręcznie znaleźć pole ośmiokąta foremnego, najprostszym sposobem jest zastosowanie standardowego wzoru na pole wielokąta foremnego. Wzór ten jest następujący:

pole wielokąta foremnego = obwód × apotema / 2,

gdzie apotema jest odległością od środka wielokąta do punktu środkowego boku.

Sztuczka pomagająca w zapamiętaniu tego wzoru polega na zrozumieniu, skąd on się bierze. Jeśli spojrzysz na apotemę, zobaczysz, że jest to wysokość trójkąta utworzonego przez poprowadzenie linii z wierzchołka wielokąta/ośmiokąta do jego środka. Powstały trójkąt jest trójkątem równoramiennym, a jego pole wynosi:

pole trójkąta = podstawa × wysokość / 2

jak to wyjaśniliśmy już w naszym kalkulatorze pola trójkąta. Zauważ, że podstawa trójkąta jest długością boku ośmiokąta. Ponieważ tych trójkątów jest tyle, ile boków ma wielokąt (osiem dla ośmiokąta), musisz pomnożyć pole tego trójkąta przez liczbę boków. Otrzymasz całkowite pole ośmiokąta:

pole ośmiokąta = 8 × podstawa × wysokość / 2 = obwód × apotem / 2.

Ta sztuczka działa dla każdego wielokąta foremnego, np. sześciokąta. Są jeszcze inne sztuczki, których możesz użyć do obliczenia pola ośmiokąta, jeśli akurat nie pamiętasz wzoru, ale nie będą one działać dla innych wielokątów. Na przykład, jeśli wyobrazisz sobie ośmiokąt wewnątrz kwadratu, zobaczysz, że różnica to tylko cztery trójkąty prostokątne. „Jak znaleźć pole ośmiokąta foremnego z tymi informacjami?”, możesz zapytać. Cóż, to bardzo proste:

1. Oblicz pole kwadratu (jego bok to 2 × apotema).
2. Oblicz boki trójkątów prostokątnych za pomocą Omni kalkulatora trójkąta prostokątnego.
3. Odejmij pole trójkąta prostokątnego cztery razy od pola kwadratu.
4. Ciesz się sukcesem!

Alternatywnie możesz użyć następującej sztuczki. Jeśli prawidłowo ułożysz trójkąty prostokątne, możesz skonstruować z nich kwadrat. Zauważ, że przeciwprostokątna jest również bokiem ośmiokąta. Następnie możesz obliczyć pole tego kwadratu i odjąć je od pola dużego kwadratu.

Możesz wykazać się jeszcze większą kreatywnością. Wyobraź sobie na przykład, że ośmiokąt składa się z prostokąta z dwoma trapezami, po jednym powyżej i poniżej prostokąta. W takim przypadku obliczenie pola powierzchni będzie znacznie łatwiejsze, ponieważ musisz jedynie zsumować pole prostokąta i podwoić pole jednego z trapezów, ponieważ oba trapezy są równe.

W sumie ośmiokąt ma 20 przekątnych; najdłuższe z nich znajdują się na jego osiach symetrii i spotykają się w punkcie centralnym, O, który jest również środkiem symetrii. Istnieją trzy rodzaje przekątnych (spójrz na obrazek powyżej w sekcji „Pole ośmiokąta”):

• Krótkie przekątne, na przykład AG, FH lub CE;
• Średnie przekątne, takie jak AF lub BE (zwane również wysokością ośmiokąta); i
• Długie przekątne, na przykład AE lub BF.

Możesz z łatwością wyprowadzić wzór dla każdej z nich, korzystając z podstawowych zasad geometrii. Poniżej znajdziesz wzory na długość przekątnych:

• krótka przekątna s = a · √(2 + √2)
• średnia przekątna m = a · (1 + √2)
• długa przekątna l = a · √(4 + 2√2)

Jeśli nie masz czasu na ręczne obliczenia, po prostu użyj Omni kalkulatora ośmiokąta.

Czas porozmawiać o okręgach! Nasz kalkulator jest w stanie wyznaczyć promień okręgu opisanego i wpisanego w ośmiokąt foremny.

Możesz zauważyć, że promień okręgu opisanego jest po prostu połową długości najdłuższej przekątnej:

• R = l/2 = a / 2 · √(4 + 2√2)

Podobnie, promień okręgu wpisanego jest taki sam jak apotema, która jest połową wysokości ośmiokąta:

• r = m/2 = a/2 · (1 + √2)

Narysowanie ośmiokąta może wydawać się łatwe i w zasadzie takie jest. Po prostu narysuj dowolny kształt o ośmiu prostych bokach i gotowe. Ale zazwyczaj ludzie nie chcą narysować jakiegokolwiek ośmiokąta, ale ośmiokąt foremny. Zobaczmy więc, jak łatwo narysować taki ośmiokąt.

Najbardziej precyzyjnym sposobem byłoby użycie odpowiednich przyborów i rysowanie kolejnych boków ośmiokąta foremnego, łącząc je kątami 135°. Ale nie każdy ma takie narzędzia pod ręką, więc nie jest to zbyt praktyczna metoda. Aby uzyskać kształt ośmiokąta, którego szukamy, najlepiej zacząć od okręgu opisanego, ponieważ można go narysować ręcznie (niezalecane) lub za pomocą szklanki, kubka, a nawet monety.

Po narysowaniu okręgu zacznij dzielić go na połowy. Najpierw utworzysz dwa półokręgi. Następnie podziel je ponownie na pół i uzyskaj cztery ćwierćokręgi. Podziel je jeszcze raz na pół, a otrzymasz osiem ósmych częsci okręgu. Możemy teraz wziąć punkty podziału i połączyć każde dwa sąsiednie punkty odcinkami. Rezultatem jest idealnie regularny ośmiokąt, pomijając drobne niedokładności, który możesz popełnić podczas rysowania i dzielenia na pół.

Inny sposób na narysowanie ośmiokąta związany jest z własnościami, które omówiliśmy podczas wyjaśniania, jak znaleźć pole ośmiokąta za pomocą kwadratów. Zacznij od narysowania dużego kwadratu, a następnie „odetnij” jego rogi. Matematyczny termin na tę procedurę to obcięcie kwadratu. Jeśli zrobisz to dobrze, otrzymasz kształt ośmiokąta foremnego. Ta metoda nie jest tak precyzyjna jak poprzednia, ale jest łatwiejsza do wykonania bez żadnych narzędzi.

Korzystanie z Omni kalkulatora ośmiokąta nie jest zbyt skomplikowane, ale na wszelki wypadek, gdyby ktoś miał jakiekolwiek wątpliwości, przejdźmy do omówienia funkcji i zastosowań naszego narzędzia. Przede wszystkim powinniśmy przyjrzeć się różnym polom i ich znaczeniu.

• Długość boku — Długość każdego boku ośmiokąta foremnego;
• Obwód — Suma długości wszystkich boków ośmiokąta;
• Powierzchnia — Pole zamknięte przez ośmiokąt foremny;
• Długa przekątna — Długość odcinka łączącego 2 najdalsze wierzchołki;
• Średnia przekątna — Długość odcinka łączącego 2 wierzchołki oddzielone 2 innymi wierzchołkami;
• Krótka przekątna — Długość odcinka łączącego 2 wierzchołki oddzielone 1 wierzchołkiem;
• Promień okręgu opisanego — Promień okręgu opisanego (przechodzącego przez wszystkie 8 wierzchołków ośmiokąta foremnego); oraz
• Promień okręgu wpisanego — Promień najmniejszego okręgu, który jest styczny do wszystkich 8 boków ośmiokąta.

Teraz gdy już wiesz, co oznaczają poszczególne pola, nadszedł czas, aby zobaczyć, jak korzystać z Omni kalkulatora ośmiokąta, aby łatwo uzyskać szukane wartości. Najlepszą cechą tego kalkulatora jest to, że wymaga tylko jednej liczby, aby obliczyć wszystkie pozostałe wartości! Ta innowacja sprawia, że kalkulator ośmiokąta jest najszybszym sposobem na obliczenie dowolnych właściwości ośmiokąta.

Do tej pory rozmawialiśmy o definicji ośmiokąta i o tym, jak go narysować. Widzieliśmy zdjęcia ośmiokątów, a nawet odpowiedzieliśmy na (teraz oczywiste) pytanie, ile boków ma ośmiokąt. Nadszedł czas, aby zobaczyć, jak ośmiokąty są używane w codziennym życiu. Kształt ośmiokąta jest łatwiejszy do wyprodukowania i wykorzystania w projektach niż okrąg ze względu na proste boki ośmiokąta. Często możemy znaleźć ośmiokątne płytki na podłodze lub w łazience. Istnieją nawet domy w kształcie ośmiokąta, w szczególności słynny Octagon House w Waszyngtonie w USA.

Octagon House został zbudowany dla pułkownika Johna Tayloe III. Z tego powodu znany jest również jako Colonel John Tayloe III House. Jest to zgodne z amerykańską „tradycją” nazywania budynków zgodnie z ich kształtem, tak jak miało to miejsce w przypadku Pentagonu. Pentagon jest siedzibą Departamentu Obrony Stanów Zjednoczonych i został zbudowany w kształcie regularnego pięciokąta.

Octagon House ma wiele interesujących cech architektonicznych, takich jak trójkątne schody serwisowe, nieco większe owalne i, oczywiście, ośmiokątny kształt budynku. Oprócz tego, wokół tego domu krąży kilka opowieści o duchach, częściowo dlatego, że właściciel był ważną postacią we wczesnej historii Ameryki.

Jak każdy regularny wielokąt, kształt ośmiokąta okazuje się przydatny w wielu różnych zastosowaniach. Mówiliśmy już o tworzeniu domów w kształcie ośmiokąta. Pozostając przy tematach budowalnych, wspomnijmy, że ośmiokąty są szczególnie popularne, jeśli chodzi o podłogi, głównie w postaci ośmiokątnych płytek. Kształt regularnego ośmiokąta oznacza, że możemy łączyć płytki ośmiokątne i kwadratowe, aby całkowicie wypełnić podłogę w dowolnym pomieszczeniu, bez względu na jego powierzchnię.

Używając różnych wzorów i kolorów, możesz stworzyć piękną podłogę w kuchni lub łazience.

Innym ciekawym zastosowaniem ośmiokątów są aparaty fotograficzne. Przysłona, która chroni element światłoczuły przed ekspozycją na światło, gdy aparat nie jest używany, jest zawsze wykonana w kształcie regularnego wielokąta i często jest to właśnie ośmiokąt. Możesz dowiedzieć się więcej o przysłonie i o tym, jak z niej korzystać, aby uzyskać bardziej profesjonalnie wyglądające zdjęcia, korzystając z naszego kalkulatora powierzchni przysłony 🇺🇸.

Zanim przejdziesz do tego kalkulatora, nauczymy cię pewnej sztuczki. Być może zauważyłeś/aś, że zdjęcia jasnych źródeł światła wyglądają jak gwiazdy z pewną liczbą spiczastych ramion. Ta obserwacja jest kluczem do ustalenia, czy twój aparat ma ośmiokątną przysłonę, czy nie: liczba spiczastych ramion jest dokładnie równa liczbie boków wielokąta, który tworzy przysłonę. Musisz więc tylko poszukać „gwiazdy” z 8 spiczastymi ramionami, aby mieć pewność, że to zdjęcie zostało zrobione przy użyciu ośmiokątnej przysłony. Ta sztuczka działa za każdym razem — to fizyka, a dokładniej wzór dyfrakcyjny.