Kalkulator objętości ostrosłupa

Aby wyznaczyć objętość dowolnej bryły przypominającej piramidę, skorzystaj z Omni kalkulatora objętości ostrosłupa. Wybierz jedną z dwóch opcji: oblicz objętość ostrosłupa o regularnej podstawie — musisz wtedy podać kształt i długość boku podstawy oraz wysokość ostrosłupa — lub bezpośrednio wprowadź pole podstawy i wysokość bryły. Kalkulator nie ma żadnych kłopotów z wyznaczaniem objętości czworościanu foremnego lub ostrosłupa czworokątnego. Nadal nie masz pewności, jak korzystać z naszego narzędzia lub jak obliczać objętość ostrosłupa ręczenie? Zapoznaj się z dalszą częścią tego artykułu!

Ostrosłup jest wielościanem utworzonym przez połączenie wielokątnej podstawy z wierzchołkiem. Podstawowy wzór na objętość ostrosłupa jest taki sam jak dla stożka:

objętość = (1/3) × pole podstawy × wysokość

gdzie wysokość to wysokość bryły, mierzona od podstawy do wierzchołka.

Wzór ten działa dla dowolnego wielokąta w podstawie oraz dla ostrosłupów prawidłowych jak i ukośnych. Wystarczy, że znasz dwie wartości — pole podstawy i wysokość bryły.

Istnieją też wzory, które można wykorzystać, gdy nie znasz pola podstawy. Dla każdego ostrosłupa o regularnej podstawie możesz użyć równania:

objętość = (n/12) × wysokość × długość boku² × ctg(π/n)

gdzie n to liczba boków wielokąta foremnego w podstawie bryły.

Znamy wzór, ale co dalej? Jak korzystać z Omni kalkulatora objętości ostrosłupa? Najlepszym sposobem na zademonstrowanie jego działania jest zbadanie najbardziej znanego ostrosłupa na świecie: piramidy Cheopsa.

1. Wybierz kształt podstawy. Piramida Cheopsa, zwana również piramidą Chufu, ma kwadratową podstawę. Oczywiście nie jest to idealny kwadrat, ale niewiele brakuje — różnice między długościami krawędzi wynoszą mniej niż 1‰!

2. Wprowadź wysokość bryły. Wysokość piramidy Cheopsa wynosiła pierwotnie 146,6 m, ale obecnie, z powodu erozji, to 138,5 m. (Możesz zmienić jednostki na metry za pomocą prostego kliknięcia na nazwę jednostki. Skoro o jednostkach mowa — czy znasz Omni przelicznik objętości 🇺🇸?).

3. Określ długość krawędzi podstawy. Długość krawędzi piramidy Cheopsa wynosi średnio 230,3 m.

4. Mamy odpowiedź! Objętość piramidy wynosi około 2 448 592 m³.

Ostrosłup o n-kątnej podstawie ma:

• n+1 ścian (n trójkątów oraz jeden n-kąt);
• 2n krawędzi; oraz
• n+1 wierzchołków.

Nazwa ostrosłupa pochodzi od kształtu jego podstawy:

Jako przykład weźmy torebkę herbaty w kształcie piramidki:

1. Wybierz kształt podstawy. W naszym przypadku jest to trójkąt równoboczny.
2. Wpisz wysokość piramidki. Przyjmijmy, że wysokość piramidki herbaty wynosi 3 cm.
3. Wpisz długość boku. Na przykład 3,8 cm.
4. Objętość czworościanu pojawi się poniżej. Dla naszej herbacianej piramidki wynosi ona 6,25 cm³.

Jeśli chcesz obliczyć objętość czworościanu foremnego — takiego, w którym wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi (a nie tylko podstawa) — możesz użyć wzoru:

objętość = a³ / 6√2

gdzie a to krawędź bryły.

Wysokość możesz w tym przypadku obliczyć jako:

wysokość = a√3 / 6 ~ 0,2887 × a

Zatem jeśli chcesz obliczyć np. objętość czworościanu foremnego o krawędzi 3, wpisz wartość 3 × 0,2887 = 0,8661 w pole „Wysokość” naszego kalkulatora objętości ostrosłupa.

Skoro już wiesz, jak obliczać objętość ostrosłupów, wypróbuj inne narzędzia Omni! Szczególnie polecamy kalkulator objętości stożka oraz kalkulator objętości walca.

Aby oszacować objętość dowolnego ostrosłupa:

1. Oblicz lub oszacuj pole podstawy ostrosłupa;
2. Pomnóż pole podstawy przez wysokość bryły;
3. Podziel wynik przez 3; oraz
4. Ten algorytm działa dla wszystkich typów ostrosłupów, także ukośnych!

Aby otrzymać objętość regularnego ostrosłupa sześciokątnego o długości boku a i wysokości h:

1. Podnieś do kwadratu długość boku, aby wyznaczyć a².
2. Pomnóż a² przez wysokość bryły, h.
3. Pomnóż następnie przez pierwiastek kwadratowy z trzech, √3.
4. Podziel wszystko przez 2`.
5. Wynikiem jest szukana objętość! Możemy zapisać te obliczenia w postaci pojedynczego wzoru: V = √3 / 2 × a² × h.

Objętość Wielkiej Piramidy w Gizie wynosi w przybliżeniu 2,4 miliony metrów sześciennych. Można wyliczyć tę wartość zakładając, że Piramida Cheopsa jest ostrosłupem czworokątnym o boku długości 230,3 m i wysokości 138,5 m.

Aby uzyskać objętość ostrosłupa pięciokątnego o długości boku a i wysokości h:

1. Podnieś do kwadratu długość boku, aby otrzymać a²;

2. Pomnóż a² przez wysokość, h;

3. Pomnóż ten iloczyn przez √(25 + 10√5);

4. Podziel wszystko przez 12; oraz

5. Pamiętaj, żę możesz zapisać ten wzór jako:

   V = √(25 + 10√5) / 12 × a² × h.

Aby uzyskać objętość ostrosłupa ośmiokątnego o długości boku a i wysokości h:

1. Podnieś do kwadratu długość boku, aby otrzymać a²;

2. Pomnóż a² przez wysokość, h;

3. Pomnóż wynik przez 2 × (1 + √2)`;

4. Podziel wszystko przez 3;

5. To wszystko! Ogólny wzór na objętość ostrosłupa ośmiokątnego jest następujący:

   V = 2 × (1 + √2) / 3 × a² × h.