Kalkulator logarytmu binarnego

Witamy w Omni kalkulatorze logarytmu binarnego, który stanie się twoim ulubionym narzędziem do obliczania wartości log₂(x) dla dowolnego (dodatniego) x. Operacja ta jest szczególnym przypadkiem logarytmu, rozważamy bowiem wyłącznie logarytmy o podstawie 2. Nazywamy ją też czasem logarytmem dwójkowym. Jeśli chcesz poznać bardziej ogólny przypadek, sprawdź nasz kalkulator logarytmów.

Czym więc jest, na przykład, logarytm binarny z 8? Albo log₂16? Albo log₂32? Dowiesz się tego z poniższego artykułu.

Gdy tylko ludzkość nauczyła się dodawać liczby, znalazła sposób na uproszczenie notacji dla dodawania tej samej liczby kilka razy: jest to mnożenie.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 · 5

Wtedy pojawiło się oczywiste pytanie: jak napisać mnożenie tej samej liczby kilka razy? I znowu pojawili się mądrzy matematycy, którzy wprowadzili potęgowanie.

5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5⁸

Jednak zawsze znajdzie się ta jedna ciekawska osoba, która zadaje przedziwne pytania. W tym przypadku ktoś zaczął się zastanawiać, czy istnieje sposób na odwrócenie tych wszystkich operacji. Na szczęście dla nas, dla matematyki i całego świata nauki, inni ciekawscy ludzie znaleźli odpowiedź.

W przypadku dodawania było to proste: operacją odwrotną jest odejmowanie. W przypadku mnożenia sprawa jest nadal dość prosta: to dzielenie. W przypadku potęgowania sprawa staje się jednak bardziej skomplikowana. Wiemy przecież, że 5 + 8 = 8 + 5 i 5 · 8 = 8 · 5, ale 5⁸ to nie to samo co 8⁵. Co więc powinna dać operacja odwrotna? Jeśli mamy 5⁸, to powinna ona zwrócić 5 czy 8?

Logarytm (o podstawie 5) byłby operacją, gdybyśmy wybrali opcję 8. Innymi słowy, jest to funkcja, która mówi, jaki wykładnik jest potrzebnym do uzyskania danej wartości. Symbolicznie możemy zapisać definicję w ten sposób:

Dla porównania operacja odwrotna, która biorąc 5⁸ zwróciłaby 5, to po prostu pierwiastek stopnia 8. Gdybyśmy chcieli wyrażać się nieco bardziej technicznie, to moglibyśmy powiedzieć, że w przypadku wyrażenia xʸ pierwiastek jest operacją odwrotną wyznaczającą podstawę potęgi x, podczas gdy logarytm wyznacza wykładnik y. Mówiąc jeszcze bardziej technicznie: pierwsza omówiona operacja odwraca funkcję wielomianową, a druga odwraca funkcję wykładniczą.

Zanim przejdziemy dalej, zróbmy ładną listę z kilkoma istotnymi informacjami o naszym nowym przyjacielu, czyli funkcji logarytmicznej:

• Istnieją dwa bardzo szczególne przypadki logarytmu, które mają swoją własną notację: logarytm naturalny 🇺🇸 i logarytm dziesiętny. Oznaczamy je ln(x) i log(x) (ten drugi po prostu bez małego 10), a ich podstawy to, odpowiednio, liczba Eulera e i (niespodzianka!) liczba 10.

  Liczba 10 nie powinna sprawiać problemów, ale z liczbą e może być inaczej. Jeśli nie jesteś pewien, czym ona jest, sprawdź nasz kalkulator liczby e.

• Funkcja logarytmu jest zdefiniowana tylko dla liczb dodatnich. Innymi słowy, kiedy piszemy logₐ(b), wymagamy, by b było dodatnie.

• Niezależnie od podstawy, logarytm z 1 jest równy 0. Dlaczego? Otóż jakąkolwiek liczbę podniesiemy do potęgi 0, to otrzymamy 1.

• Logarytmy są niezwykle ważne. Naprawdę NIEZWYKLE ważne. Poza matematyką są używane w statystyce (np. rozkład lognormalny), gospodarce (np. wskaźnik PKB), medycynie (np. wskaźnik QUICKI) i chemii (np. rozpad połowiczny). Również wiele jednostek fizycznych jest opartych na logarytmach, np. skala Richtera, skala pH, skala dB.

Dzisiaj skupimy się na bardzo szczególnym przypadku logarytmu, tj. o podstawie 2, który czasami nazywamy logarytmem binarnym. W zasadzie skupimy się na wyliczaniu potęg 2 i… Hm, może lepiej będzie poświęcić temu całą sekcję.

Jak wspomnieliśmy na końcu poprzedniego rozdziału, logarytm binarny jest szczególnym przypadkiem funkcji logarytmicznej: mianowicie, umawiamy się na używanie podstawy 2. Oznacza to, że będziemy badać wyrażenia postaci log₂(x), czyli zadamy sobie pytanie, do jakiej potęgi powinniśmy podnieść 2, aby otrzymać x. Na przykład, log₂4 = 2.

Z pozoru 2 to liczba jak każda inna. Ma ona jednak kilka ciekawych własności. Np. jest najmniejszą liczbą pierwszą i jedyną parzystą liczbą pierwszą. Ponadto jest ona bazą do wszelkich operacji komputerowych z uwagi na reprezentację binarną.

Skoro dwójka jest tak ważna, przypomnijmy sobie kilka podstawowych potęg 2. Pamiętajmy, że wykładnik może być również 0 lub nawet ujemny!

Teraz możemy łatwo stworzyć nieco więcej przykładów niż tylko log₂4 = 2. Na przykład możemy powiedzieć, że log o podstawie 2 z 8 to 3. Podobnie, log₂ 16 = 4 lub log₂32 = 5.

Ale czym jest, powiedzmy, log₂5? Na pewno 5 nie jest potęgą 2.

A dokładniej, nie jest całkowitą potęgą liczby 2. Musimy pamiętać, że istnieją również wykładniki ułamkowe i tutaj potrzebujemy jednego z nich. Niestety, nie są one tak proste do odgadnięcia. W niektórych przypadkach możemy spróbować sztuczek takich jak zmiana podstawy logarytmu, ale generalnie najlepiej skorzystać z jakiegoś narzędzia — na przykład takiego jak Omni kalkulator logarytmu binarnego lub konwerter podstawy logarytmu 🇺🇸.

W Omni kalkulatorze logarytmów binarnych znajdziesz dwa pola zmiennych: x i log₂(x). Mamy nadzieję, że ta notacja jest zrozumiała sama przez się. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć log₂16, musisz wpisać 16 w x, a kalkulator w drugim polu poda ci odpowiedź. Jeśli potrzebujesz log₂32, wpisujesz x = 32. Zauważ również, że Omni kalkulator logarytmów dwójkowych działa w obie strony: możesz albo wprowadzić wartość x i otrzymać log₂(x) lub odwrotnie.

Wystarczy nauki na dziś. Teraz idź, młody padawanie, i poeksperymentuj z naszym kalkulatorem logarytmów dwójkowych lub innym Omni narzędziem.