Kalkulator funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

Witaj w naszym Omni kalkulatorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej (znany również jako kalkulator wierzchołka paraboli). Jeśli chcesz wiedzieć, jak znaleźć wierzchołek paraboli, to jesteś we właściwym miejscu, aby zacząć. Co więcej, nasze narzędzie nauczy cię, czym jest postać kanoniczna funkcji kwadratowej i jak wyprowadzić równanie paraboli zawierające współrzędne jej wierzchołka.

A to jeszcze nie koniec! Nasz kalkulator pomaga również w przekształceniu równania kwadratowego z postaci ogólnej do postaci kanonicznej, jak również w drugą stronę. I to wszystko w mgnieniu oka!

Wierzchołek paraboli to punkt, który określa ekstremalną wartość funkcji kwadratowej. Część kwadratowa oznacza, że najbardziej znaczącą potęgą naszej zmiennej (x) jest dwa. Wierzchołek może znajdować się w minimum (gdy ramiona paraboli są skierowane w górę) lub maksimum (gdy jej ramiona są skierowane w dół).

Alternatywnie możemy powiedzieć, że wierzchołek jest punktem przecięcia paraboli z jej osią symetrii.

Wierzchołek oznaczamy zazwyczaj jako punkt P(h,k), gdzie h oznacza współrzędną x, a k współrzędną y.

To by było na tyle, jeśli chodzi o definicje. Ale jak wyznaczyć wierzchołek funkcji kwadratowej? Może to być dla ciebie zaskoczeniem, ale nie musimy w tym celu obliczać żadnego pierwiastka kwadratowego!

Ilekroć mamy do czynienia z ogólną postacią paraboli y = a·x² + b·x + c, to możemy użyć poniższych wzorów na współrzędne wierzchołka:

h = -b/(2a)

k = c - b²/(4a)

Wiedząc, jak znaleźć te parametry, możemy pójść o krok dalej i zapytać: Jak wygląda postać kanoniczna funkcji kwadratowej?

Okazuje się, że postać kanoniczna paraboli to taka, która zawiera w sobie szczegóły współrzędnych jej wierzchołka. Równanie kanoniczne możemy zapisać jako:

y = a·(x-h)² + k

Jak widać, musimy znać trzy parametry, aby zapisać wzór na funkcję kwadratową w postaci kanonicznej. Jednym z nich jest a, ten sam co w postaci ogólnej. Parametr ten mówi nam, czy parabola jest skierowana w górę (a > 0) czy w dół (a < 0). Parametr a nigdy nie może być równy zero dla postaci kanonicznej równania kwadratowego (co jest prawdą również dla jakiejkolwiek innej postaci tego równania).

Pozostałe parametry, h i k, są współrzędnymi wierzchołka.

Dodatkowo warto wspomnieć, że możliwe jest narysowanie wykresu funkcji kwadratowej, znając tylko parametr a i współrzędne wierzchołka.

Jeśli chcesz przekształcić równanie kwadratowe z postaci ogólnej do postaci kanonicznej, możesz użyć metody uzupełniania do kwadratu (więcej informacji na ten temat można znaleźć w naszym kalkulatorze uzupełniania do pełnego kwadratu 🇺🇸). W kolejnym rozdziale omówimy, jak działa ta metoda.

Aby przekształcić równanie kwadratowe z postaci ogólnej y = ax² + bx + c do postaci kanonicznej:

1. Wyciągnij przed nawias a z dwóch pierwszych wyrazów: y = a[x² + (b/a)x] + c.

2. Dodaj i odejmij (b/(2a))² wewnątrz nawiasu: y = a[x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²] + c.

3. Zastosuj wzór skróconego mnożenia: y = a[(x + b/(2a))² - (b/(2a))²] + c.

4. Pomnóż a przez wyrazy w nawiasie: y = a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c.

5. Otrzymasz postać kanoniczną ze współrzędnymi wierzchołka: h = -b/(2a) i k = c - b²/(4a).

Jest to jeden ze sposobów przekształcenia do postaci kanonicznej z postaci ogólnej. Drugim (i szybszym) sposobem jest użycie Omni kalkulatora funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej — rozwiązanie, które zdecydowanie polecamy! Wymaga ono jedynie wpisania parametrów a, b i c. Następnie wynik pojawia się natychmiast w dolnym obszarze kalkulatora.

Nasz kalkulator znajdowania wierzchołka paraboli może również działać w drugą stronę, znajdując ogólną postać równania kwadratowego. Jeśli chcesz wiedzieć, jak zrobić to samodzielnie, zaczynając od równania w postaci kanonicznej, podamy przepis w następnym rozdziale.

Aby przekształcić równanie paraboli z postaci kanonicznej do postaci ogólnej:

1. Zapisz równanie paraboli w postaci kanonicznej:

   y = a(x-h)² + k

2. Rozwiń wyrażenie w nawiasie:

   y = a(x² - 2hx + h²) + k

3. Pomnóż wyrazy w nawiasie przez a:

   y = ax² - 2ahx + ah² + k

4. Porównaj wynik z równaniem paraboli w postaci ogólnej:

   y = ax² + bx + c

5. Teraz otrzymałeś swój wynik! Szukane parametry to b = -2·a·h oraz c = a·h² + k.

Istnieją dwa sposoby korzystania z Omni kalkulatora paraboli w postaci kanonicznej:

• Pierwszą możliwością jest użycie postaci kanonicznej równania kwadratowego.

• Druga opcja polega na znalezieniu rozwiązania poprzez przejście z postaci ogólnej do postaci kanonicznej.

Tę ostatnią opcję opisaliśmy już w jednej z poprzednich sekcji. Zobaczmy, jak postępować w pierwszym przypadku:

• Wpisz wartości parametru a i współrzędnych wierzchołka, h i k. Niech będą to a = 0,25, h = -17, k = -54.

• To wszystko! Jako rozwiązanie możesz zobaczyć wykres swojej funkcji kwadratowej wraz z punktami wskazującymi wierzchołek, punkt przecięcia osi y i miejsca zerowe funkcji.

Poniżej wykresu znajdują się szczegółowe opisy:

• Zarówno kanoniczna, jak i ogólna postać paraboli, odpowiednio: y = 0,25·(x + 17)² - 54 oraz y = 0,25x² + 8,5x + 18,25;

• Współrzędne wierzchołka: P = (-17, -54);

• Punkt przecięcia z osią y: Y = (0, 18,25);

• Miejsca zerowe funkcji: X₁ = (-31,6969, 0), X₂ = (-2,3031, 0). W tym przypadku zaokrąglamy wynik do czterech miejsc po przecinku.

Jeśli znasz parametry a, b i c z ogólnej postaci paraboli, możesz znaleźć współrzędne wierzchołka h i k używając wzorów:

• h = -b/(2a)
• k = c - b²/(4a)

Alternatywnie, możesz też oszacować wartość funkcji w punkcie h, tj. k = ah² + bh + c.

Szukane równanie w postaci kanonicznej to y = a(x - 2)² + 5, gdzie a jest tym samym niezerowym parametrem, co w postaci ogólnej. Dla różnych wartości a otrzymujemy inne parabole, więc należy określić a, aby otrzymać konkretny wynik.