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Calcolatore per Vettori

Created by Anna Szczepanek, PhD
Reviewed by Dominik Czernia, PhD and Jack Bowater
Translated by Sara Naouar and Agata Flak
Last updated: May 28, 2024


Eccoti nel nostro calcolatore per vettori! Ti aiuterà a eseguire e comprendere un gran numero di operazioni sui vettori. Hai le coordinate cartesiane di due vettori o conosci solo la loro direzione e modulo? Forse devi trovare il vettore tra due punti? Questo calcolatore per vettori è in grado di affrontare tutte queste situazioni; esegue:

  • La somma di vettori;
  • La sottrazione di vettori;
  • La moltiplicazione di vettori(sia prodotto vettoriale che prodotto scalare!); e
  • La proiezione vettoriale.

Come bonus, ti insegneremo anche cos'è la norma di un vettore e come normalizzare un vettore.

Coordinate cartesiane

In un sistema di coordinate cartesiano, xy, descriviamo il vettore a in un piano 2D con le sue coordinate cartesiane:

a = [ax, ay].

Queste coordinate corrispondono al fatto che possiamo scomporre uno spostamento lungo il vettore a in uno spostamento orizzontale ax lungo l'asse x e uno spostamento verticale ay lungo l'asse y.

Allo stesso modo, descriviamo i vettori nello spazio 3D utilizzando il sistema cartesiano xyz con tre numeri:

a = [ax, ay, az],

che corrispondono agli spostamenti lungo gli assi x, y e z, rispettivamente.

Direzione e modulo del vettore

Possiamo anche descrivere un vettore piano in termini di direzione e modulo del vettore. Il modulo di un vettore è la sua lunghezza e la direzione di un vettore è l'angolo tra l'asse orizzontale e il vettore.

Siano [ax, ay] le coordinate cartesiane di un modulo di un vettore con modulo m e direzione θ. Per convertire un insieme di coordinate nell'altro, usa le seguenti formule:

ax = m × cos(θ)

ay= = m × sin(θ)

Come si determina un vettore tra due punti?

Se devi determinare un vettore tra due punti, cioè dal punto iniziale a quello finale, basta sottrarre le coordinate del punto finale dal punto iniziale:

  • Punto iniziale (origine): a = [ax, ay, az];

  • Punto finale (punta/testa): b = [bx, by, bz]; e

  • Vettore tra questi due punti:

    [bx - ax, by - ay, bz - az].

Vediamo un esempio:

  • Punto iniziale: [1, 2, 3];

  • Punto finale: [1, 1, -1]; e

  • Vettore tra questi due punti:

    [1 - 1, 1 - 2, 3 - (-1)] = [0, -1, 4].

Come si calcola la norma un vettore?

La normalizzazione vettoriale consiste nello schiacciare/stringere un vettore in modo che abbia un modulo unitario. Ricorda che la direzione di un vettore deve essere mantenuta!

Per normalizzare un vettore, trova la sua norma utilizzando il teorema di Pitagora. La norma di un vettore è il suo modulo: la radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate del vettore. Dividi quindi ogni coordinata del vettore iniziale per questa norma. Per trovare la norma puoi anche utilizzare il calcolatore del modulo di un vettore 🇺🇸, che è la versione più semplice di questo calcolatore per vettori.

Esempio:

Supponendo che a = [2, 3, 4]. Troviamo la norma di a:

|a| = √(4 + 9 + 16) = √29

La normalizzazione di a ci dà il vettore a/|a| = [2/√29, 3√29, 4/√29]. Sai che esiste un calcolatore dedicato per la normalizzazione dei vettori?

Come si usa questo calcolatore per vettori?

Per utilizzare il calcolatore per vettori, segui questi passaggi:

  1. Dicci se stai lavorando con vettori bidimensionali o vettori tridimensionali;
  2. Decidi l'operazione vettoriale che vuoi eseguire. Puoi scegliere l'addizione o la sottrazione di vettori, la moltiplicazione di vettori (prodotto scalare o incrociato), la normalizzazione, la proiezione vettoriale o la ricerca del vettore tra due punti;
  3. Inserisci i tuoi dati. Puoi scegliere tra coordinate cartesiane o direzione e modulo del vettore nel caso di vettori piani; e
  4. Il nostro calcolatore per vettori restituisce immediatamente i risultati. Buon divertimento! 😊

Somma di vettori

  • In coordinate cartesiane, possiamo eseguire la somma dei vettori semplicemente sommando le componenti corrispondenti dei vettori:

    per a = [ax, ay, az],

    e b = [bx, by, bz],

    abbiamo a + b = [ax + bx, ay + by, az + bz].

    Esempio:

    La somma di a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3] è:

    a + b = [2 + 1, 3 + (-2), 4 + 3] = [3, 1, 7]

  • Metodo grafico: Per due vettori a e b, se vogliamo ottenere la somma del vettore a + b, posizioniamo l'origine di b sulla punta di a. Il vettore risultante va dall'origine di a alla punta di b. Questa regola viene chiamata regola del parallelogramma:

Visualizzazione della somma vettoriale

Sottrazione di vettori

La sottrazione del vettore b dal vettore a è semplicemente la somma di -b e a. Per trovare il vettore -b, prendi le coordinate di b con segni opposti; cambia i più in meno e i meno in più:

se b = [1, -2, 4],

allora -b = [-1, 2, -4]

  • Di conseguenza, in coordinate cartesiane, eseguiamo la sottrazione del vettore a - b sottraendo le coordinate di b da quelle di a:

    if a = [ax, ay, az]

    e b = [bx, by, bz],

    allora a - b = [ax - bx, ay - by, az - bz].

    Esempio:

    La differenza di a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3] è data da

    a - b = [2 - 1, 3 - (-2), 4 - 3] = [1, 5, 1].

  • Metodo grafico: Otteniamo la differenza vettoriale a - b ponendo la punta di b sulla punta di a e disegnando un vettore dall'origine di a all'origine di b:

Visualizzazione della sottrazione vettoriale

Moltiplicazione di vettori

Fai attenzione quando ti viene chiesto di moltiplicare i vettori: esistono diversi tipi di moltiplicazione vettoriale! Le più diffuse sono il prodotto vettoriale e il prodotto scalare, che descriviamo di seguito:

Moltiplicazione vettoriale — Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è un'operazione indicata con l'operatore × e prende due vettori e restituisce un altro vettore.
La formula è la seguente:

a × b = |a| × |b| × sin(θ) × n,

dove:

  • θ — Angolo tra a e b;
  • |a| e |b| — Modulo di a e b; e
  • n — Vettore unitario perpendicolare ad a e b, determinato dalla regola della mano destra.

Regola della mano destra:

Posiziona la mano destra in modo che l'indice punti sul vettore a e il medio sul vettore b: il pollice indica la direzione del prodotto vettoriale a × b.

  • Interpretazione grafica: Il vettore risultante a × b è ad angolo retto (perpendicolare) rispetto ai moduli di un vettore iniziale e il suo modulo è pari all'area di un parallelogramma delimitato dai vettori iniziali:
Prodotto vettoriale
  • In termini di coordinate cartesiane:

    per a = [ax, ay, az],

    e b = [bx, by, bz], si ha

    a × b = [ay×bz - az×by, az×bx - ax×bz, ax×by - ay×bx].

    Esempio:

    Il prodotto vettoriale di a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3] è uguale a

    a × b = [3 × 3 - 4 × (-2), 4 × 1 - 2 × 3, 2 × (-2) - 3 × 1] = [17, -2, -7].

  • Sì, la formula sembra un po' intimidatoria. È più facile ricordarla una volta capito che le coordinate del prodotto sono i determinanti delle matrici 2 x 2 appropriate:

  1. La prima coordinata è:
La prima coordinata del vettore croce come determinante
La seconda coordinata del vettore croce come determinante
  1. La terza coordinata è:
Terza coordinata del vettore croce come determinante
  • Fai attenzione all'ordine dei vettori perché, a differenza del prodotto scalare, per il prodotto vettoriale l'ordine conta! Più precisamente, si ha b × a = - a × b, quindi se hai sbagliato l'ordine, basta cambiare il segno e tutto sarà a posto. 🙃

  • Il prodotto vettoriale ha molte applicazioni in fisica e ingegneria. Ad esempio, puoi usarlo per determinare la forza di Lorentz 🇺🇸. Dai un'occhiata al nostro calcolatore per il prodotto vettoriale 🇺🇸 per saperne di più!

Moltiplicazione vettoriale — Prodotto scalare

Il prodotto scalare è un'operazione indicata dall'operatore · che prende due vettori e restituisce un numero. Dati due vettori a e b, il loro prodotto scalare è il prodotto dei loro moduli (norme) |a| e |b| e il coseno dell'angolo θ tra loro:

a · b = |a| × |b| × cos(θ).

  • In coordinate cartesiane, il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle coordinate corrispondenti dei due vettori:

    a · b = ax × bx + ay × by + az × bz.

    Esempio:

    Il prodotto scalare di a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3] è

    a · b = 2 × 1 + 3 × (-2) + 4 × 3 = 2 - 6 + 12 = 8.

  • Come avrai già capito dalla formula, l'ordine non ha importanza in questo caso: a · b = b · a.

  • Astuzia: Se calcoli il prodotto scalare di due vettori uguali, otterrai il modulo del vettore al quadrato: a · a = |a|²!

  • Per maggiori dettagli, consulta il nostro calcolatore per il prodotto scalare 🇺🇸.

Proiezione vettoriale

La proiezione di b su a è il vettore che rappresenta la migliore approssimazione di b tra i vettori ottenuti allungando e comprimendo il vettore a. Quindi, per trovare la proiezione, è sufficiente conoscere il fattore di compressione.

  • Formula:

    La proiezione di b su a è il vettore a scalato di:

    a · b / |a|².

    Esempio:

    Sia a = [2, 3, 4] e b = [1, -2, 3]. Calcoliamo la proiezione di b su a. Per prima cosa, troviamo il fattore di scala. Abbiamo calcolato sopra che a · b = 8 e |a| = √29. Di conseguenza, la proiezione di b su a è:

    8/29 × [2, 3, 4] = [16/29, 24/29, 32/29]

  • Per trovare la proiezione di b su a graficamente, devi scomporre b in un vettore lungo l'asse di a e un altro perpendicolare ad a. La componente che si trova lungo a è la proiezione di b su a. Puoi anche pensare a questa componente come l'ombra che il vettore b proietterebbe sul vettore a se ci fosse una fonte di luce appesa sopra questi vettori:

Visualizzazione della proiezione del vettore

Per saperne di più sulla proiezione di vettori su altri vettori, vai al nostro calcolatore della proiezione vettoriale 🇺🇸.

FAQ

Che cos'è un vettore?

Un vettore è un oggetto matematico definito da:

  • Un modulo; e
  • Una direzione.

Sono sostanzialmente diversi dalle quantità scalari: queste ultime non cambiano con la direzione.

I vettori hanno applicazioni molto diffuse in fisica, dove si adattano a quantità come lo spostamento e la velocità.

Come si trova la proiezione di un vettore su un altro?

Se consideri i vettori a e b, puoi trovare la proiezione di a su b seguendo questi passaggi:

  1. Calcola il prodotto scalare di a e b: a · b;
  2. Calcola il prodotto scalare di b per se stesso: b · b;
  3. Calcola il rapporto tra i due risultati: (a · b)/(b · b); e
  4. Moltiplica il risultato per il vettore b: [(a · b)/(b · b)] × b.

Qual è il prodotto scalare di due vettori?

Il prodotto scalare di due vettori è un'operazione che consiste nel sommare il prodotto delle componenti di due vettori.

Se hai due vettori, a = (a₁, a₂, a₃, ..., an) e b = (b₁, b₂, b₃, ..., bn), segui questi due passaggi per calcolare il prodotto scalare:

  1. Calcola il prodotto di ogni coppia di componenti: a₁ × b₁, a₂ × b₂, ecc; e
  2. Somma i risultati: (a₁ × b₁) + (a₂ × b₂).

Nota che puoi calcolare solo il prodotto scalare di vettori con lo stesso numero di componenti.

Qual è il modulo di un vettore con componenti (3,1,4,1,5)?

Per calcolare il modulo di un vettore con componenti (3,1,4,1,5), applica il teorema di Pitagora generalizzato a tutte le componenti. Se il vettore è a = (a₁, a₂, a₃, ..., an), troviamo il modulo con la seguente formula:

||a|| = √(a₁² + a₂² + a₃² + ... + an²).

Nel caso del vettore 3,1,4,1,5, il modulo è:

√(3² + 1² + 4² + 1² + 5²) = √(9+1+16+1+25) = √(52) ≈ 7,21.

Anna Szczepanek, PhD
Vectors in
2D
Operation
Addition
Perform vector addition a + b.
Your data
Vector a:
Cartesian coordinates
2D vector in a component form
x
y
Vector b:
Cartesian coordinates
x
y
Result
Vector a + b:
Cartesian coordinates
x
y
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