Calculateur d'aire

Si vous vous demandez comment calculer l'aire d'une figure simple, vous êtes au bon endroit. Ce calculateur d'aire répondra à toutes vos questions. Utilisez notre outil intuitif pour calculer l'aire d'une des seize figures proposées en un clin d'œil. Que vous cherchiez une définition de l'aire ou, par exemple, la formule de l'aire d'un losange, nous avons tout ce qu'il vous faut. Continuez la lecture pour en savoir plus ou, tout simplement, explorez notre outil – vous ne serez pas déçu·e !

De manière générale, l'aire est la grandeur d'une figure géométrique. En d'autres termes, elle peut être définie comme l'espace occupé par une figure plane. Pour comprendre le concept, il est généralement utile de considérer l'aire comme la quantité de peinture nécessaire pour couvrir une surface. Regardez l'image ci-dessous : toutes les figures ont la même aire, 12 carrés unités.

Il existe de nombreuses formules utiles pour calculer l'aire des figures les plus connues. Dans les sections ci-dessous, vous trouverez les formules les plus utilisées non seulement pour les triangles, les rectangles et les cercles, mais aussi pour d'autres figures, telles que les parallélogrammes, les cerfs-volants ou les anneaux.

Nous espérons qu'après avoir lu notre explication, vous n'aurez plus aucun problème à définir ce qu'est une aire en mathématiques !

Bien évidemment, cela dépend de la figure ! Vous trouverez ci-dessous les formules pour les seize figures proposées par notre calculateur d'aire. Par souci de clarté, dans cette section, nous n'énumérons que les équations. Vous pourrez trouver les images, les explications et les manières de dériver les formules dans les différents paragraphes ci-dessous (ainsi que dans les champs dédiés à chaque figure).

Êtes-vous prêt·e ? Voici les formules de l'aire des seize figures géométriques les plus importantes et les plus utiles :

• Formule de l'aire d'un carré – a = a²
• Formule de l'aire d'un rectangle – a = a × b
• Formules de l'aire d'un triangle :
  • A = b × h / 2 ou
  • A = 0,5 × a × b × sin(γ)
  • A = 0,25 × √( (a + b + c) × (-a + b + c) × (a - b + c) × (a + b - c) ) ou
  • A = a² × sin(β) × sin(γ) / (2 × sin(β + γ))
• Formule de l'aire d'un cercle – A = πr²
• Formule de l'aire d'un secteur circulaire – A = r² × angle / 2
• Formule de l'aire d'une ellipse – A = a × b × π
• Formule de l'aire d'un trapèze – A = (a + b) × h / 2
• Formules de l'aire d'un parallélogramme :
  • A = a × h
  • A = a × b × sin(angle)
  • A = e × f × sin(angle)
• Formules de l'aire d'un losange :
  • A = a × h
  • A = (e × f) / 2
  • A = s² × sin(angle)
• Formules de l'aire d'un cerf-volant :
  • A = (e × f) / 2
  • A = a × b × sin(γ)
• Formule de l'aire d'un pentagone – A = a² × √(25 + 10√5) / 4
• Formule de l'aire d'un hexagone – A = 3/2 × √3 × a²
• Formule de l'aire d'un octogone – A = 2 × (1 + √2) × a²
• Formule de l'aire d'une couronne – A = π(R² - r²)
• Formule de l'aire d'un quadrilatère – A = 1/2 × e × f × sin(angle)
• Formule de l'aire d'un polygone régulier – A = n × a² × cot(π/n) / 4

Vous souhaitez changer l'unité de l'aire ? Cliquez simplement sur le nom de l'unité et une liste déroulante apparaîtra.

Avez-vous oublié la formule de l'aire d'un carrée ? Vous êtes au bon endroit. L'aire d'un carré est le produit des longueurs de ses côtés :

• aire du carré = a × a = a², où a est un côté du carré.

C'est la formule la plus élémentaire et la plus souvent utilisée, mais ils en existent d'autres. Par exemple, il existe des formules pour calculer l'aire d'un carré qui utilisent le rayon des cercles circonscrit ou inscrit, la diagonale et le périmètre.

La formule de l'aire d'un rectangle est également facile à utiliser – il suffit de multiplier les côtés du rectangle :

• aire du rectangle = a × b

Le calcul de l'aire d'un rectangle est extrêmement utile dans la vie quotidienne : de la construction d'un bâtiment (estimation de la surface d'un carrelage, d'une terrasse, du bardage ou d'un toit) à la décoration d'un appartement (la quantité de peinture ou de papier peint nécessaire). On l'utilise même pour estimer la taille d'un gâteau pour nourrir un certain nombre de personnes !

Le calcul de l'aire d'un triangle peut se faire de différentes manières, en fonction des données disponibles et des lois ou théorèmes utilisés. Ce calculateur d'aire propose quatre de ces formules :

1. Étant donné une base et une hauteur :

• aire du triangle = b × h / 2

2. Étant donné deux côtés et l'angle entre ces côtés (C-A-C) :

• aire du triangle = 0,5 × a × b × sin(γ)

3. Étant donné les trois côtés (C-C-C) :

• aire du triangle = 0,25 × √( (a + b + c) × (-a + b + c) × (a - b + c) × (a + b - c) )

Cette formule de calcul de l'aire d'un triangle est appelée formule de Héron.

Si vous voulez en savoir plus, consultez le calculateur de la formule de Héron 🇺🇸.

4. Étant donné deux angles et le côté entre ces angles (A-C-A) :

• aire du triangle = a² × sin(β) × sin(γ) / (2 × sin(β + γ))

Parmi les triangles, il existe un type particulier, le triangle rectangle, dont la base et la hauteur forment un angle droit. L'aire d'un triangle rectangle peut s'exprimer de la manière suivante :

aire du triangle rectangle = a × b / 2

La formule de l'aire du cercle est l'une des formules les plus connues :

• aire du cercle = πr², où r est le rayon du cercle.

Ce calculateur n'utilise que cette équation, mais notre calculateur de cercle 🇺🇸, vous permet de calculer l'aire d'un cercle à partir de deux autres formules :

1. Le diamètre :

• aire du cercle = πr² = π × (d / 2)²

2. La circonférence :

• aire du cercle = c² / 4π

La formule de l'aire du cercle est également utile dans la vie de tous les jours, par exemple lorsqu'on choisit la taille d'une pizza.

On peut trouver la formule de l'aire d'un secteur circulaire à partir des proportions d'un cercle. L'aire du secteur est proportionnelle à son angle. Étant donné la formule de l'aire d'un cercle, nous pouvons noter :

α / 360° = aire du secteur / aire du cercle

En convertissant l'angle, on obtient : 360° = 2π

α / 2π = aire du secteur / πr²

donc :

• aire du secteur = r² × α / 2

Pour trouver la formule de l'aire d'une ellipse, rappelez-vous d'abord la formule de l'aire d'un cercle : πr². Dans le cas d'une ellipse, il y a deux rayons différents, a et b, au lieu d'un seul rayon. La seule différence entre la formule de l'aire d'un cercle et celle de l'aire d'une ellipse est la substitution de r² par le produit du demi-grand-axe et du demi-petit-axe, a × b :

• aire de l'ellipse = π × a × b

L'aire d'un trapèze peut être calculée à l'aide de la formule suivante :

• aire du trapèze = (a + b) × h / 2, où a et b sont les longueurs des côtés parallèles et h est la hauteur.

La formule de l'aire d'un trapèze peut également être exprimée comme suit :

aire du trapèze = m × h, où m est la moyenne arithmétique des longueurs des deux côtés parallèles.

Que vous souhaitiez calculer l'aire d'un parallélogramme à partir de sa base et de sa hauteur, de ses côtés et de son angle, ou de ses diagonales et de l'angle qui les sépare, vous êtes au bon endroit. Grâce à notre outil, vous découvrirez trois formules pour calculer l'aire d'un parallélogramme :

1. La base et la hauteur :

• aire du parallélogramme = b × h

2. Les côtés et l'angle qui les sépare :

• aire du parallélogramme = a × b × sin(α)

3. Les diagonales et l'angle qui les sépare :

• aire du parallélogramme = e × f × sin(θ)

Ce calculateur utilise trois formules pour calculer l'aire d'un losange. Vous pouvez trouver l'aire si vous connaissez :

1. Le côté et la hauteur :

• aire du losange = a × h

2. Les diagonales :

• aire du losange = (e × f) / 2

3. Le côté et n'importe quel angle, par exemple α :

• aire du losange = a² × sin(α)

Pour calculer l'aire d'un cerf-volant, on peut utiliser deux équations, en fonction des valeurs données :

1. Les diagonales :

• aire du cerf-volant = (e × f) / 2

2. Deux cotés non congruents et l'angle qui les sépare :

• aire du cerf-volant = a × b × sin(α)

L'aire d'un pentagone peut être calculée à partir de la formule suivante :

• aire du pentagone = a² × √(25 + 10√5) / 4, où a est le côté d'un pentagone régulier.

Consultez notre calculateur de pentagone 🇺🇸, qui fournit des informations par rapport à d'autres propriétés essentielles d'un pentagone régulier : les côtés, les diagonales, la hauteur et le périmètre, ainsi que le rayon des cercles circonscrit et inscrit.

La formule de base pour calculer l'aire d'un hexagone est la suivante :

• aire de l'hexagone = 3/2 × √3 × a², où a est le côté d'un hexagone régulier.

D'où vient cette formule ? Vous pouvez considérer un hexagone régulier comme un ensemble de six triangles équilatéraux congruents. Pour trouver l'aire de l'hexagone, il suffit de trouver l'aire d'un triangle et de la multiplier par six. La formule pour calculer l'aire d'un triangle équilatéral est égale au carré du côté multiplié par la racine carrée de 3 et divisé par 4 :

aire du triangle équilatéral = (a² × √3) / 4

aire de l'hexagone = 6 × aire du triangle équilatéral = 6 × (a² × √3) / 4 = 3/2 × √3 × a²

Pour trouver l'aire d'un octogone, il vous suffit de connaître la longueur du côté et d'utiliser la formule ci-dessous :

• aire de l'octogone = 2 × (1 + √2) × a²

L'aire d'un octogone peut également être calculée comme suit :

aire de l'octogone = périmètre × apothème / 2

Dans le cas d'un octogone, le périmètre est simplement 8 × a. Qu'est-ce qu'un apothème ? Un apothème est la distance entre le centre du polygone et le milieu d'un côté. En même temps, c'est la hauteur d'un triangle obtenu en traçant une ligne entre les sommets de l'octogone et son centre. Ce triangle (l'un des huit triangles congruents) est un triangle isocèle dont la hauteur peut être calculée, par exemple, à l'aide du théorème de Pythagore, à partir de la formule :

h = (1 + √2) × a / 4

Enfin, nous obtenons la première équation :

aire de l'octogone = périmètre × apothème / 2 = (8 × a × (1 + √2) × a / 4) / 2 = 2 × (1 + √2) × a²

Une couronne est un objet en forme d'anneau, c'est-à-dire une région du plan comprise entre deux cercles concentriques de rayons différents. Il est facile de trouver l'aire d'une couronne à l'aide de la formule de l'aire d'un cercle. En effet, si l'on regarde bien, on peut constater que l'aire d'une couronne est égale à la différence entre l'aire du plus grand cercle de rayon R, et celle du plus petit cercle de rayo r :

• aire de la couronne = πR² - πr² = π(R² - r²)

Ce calculateur utilise une formule qui permet de calculer l'aire d'un quadrilatère à partir de la longueur des deux diagonales et de l'angle entre elles.

• aire du quadrilatère = 1/2 × e × f × sin(α), où e et f sont les diagonales.

Nous pouvons utiliser l'un ou l'autre des angles pour calculer leur sinus. Sachant que deux angles adjacents sont complémentaires, nous pouvons constater que sin(angle) = sin(180° - angle).

Si vous cherchez d'autres formules pour calculer l'aire d'un quadrilatère, consultez notre calculateur de quadrilatères 🇺🇸, où vous trouverez la formule de Bretschneider (vu que les quatre côtés et deux angles opposés sont donnés) et une formule qui utilise les bimédiens et l'angle qui les sépare.

La formule de l'aire d'un polygone régulier est la suivante :

• aire du polygone régulier = n × a² × cot(π/n) / 4, où n est le nombre de côtés et a est la longueur du côté.

Il existe d'autres équations qui utilisent, par exemple, le rayon ou le périmètre. Vous trouverez ces formules dans un paragraphe dédié de notre calculateur d'aire d'un polygone régulier.

Si vous avez affaire à un polygone irrégulier, n'oubliez pas que vous pouvez toujours diviser la figure en figures plus simples, par exemple en triangles. Il vous suffit de calculer l'aire de chacune de ces figures et, enfin, d'en calculer la somme. La décomposition d'un polygone en un ensemble de triangles est appelée triangulation d'un polygone.

Pour un périmètre donné, le carré sera toujours le quadrilatère qui a la plus grande aire.

Pour un périmètre donné, le cercle est la figure fermée qui a la plus grande aire.

Pour calculer l'aire d'une figure irrégulière :

1. Divisez la forme en plusieurs figures dont vous pouvez facilement calculer l'aire : en triangles, en rectangles, en trapèzes, en (demi-) cercles, etc.
2. Calculez l'aire de chacune de ces figures.
3. Additionnez les aires des figures pour obtenir le résultat final.

Pour trouver l'aire sous la courbe dans un intervalle, vous devez calculer l'intégrale définie de la fonction décrivant cette courbe entre les deux points qui correspondent aux extrémités de l'intervalle en question.