Calculadora de división de polinomios

Bienvenido a la calculadora de división de polinomios, donde aprenderemos a hacer la división de polinomio entre monomio y de poliniomios entre sí. También tenemos la división larga de polinomios, y un algoritmo fácil para ayudarte con los ejercicios de división entre polinomios. Pero no te preocupes, antes de ver cómo hacer la división larga con polinomios, repasaremos poco a poco los conceptos básicos y empezaremos dividiendo polinomios por monomios y resolviendo ejercicios de división de polinomios juntos. Agradable y fácil, ése es nuestro lema.

Antes de aprender cómo usar la calculadora de división de polinomios e intentar entender cómo hacer una división de un polinomio entre un monomio, debemos asegurarnos que entendemos lo que significan estos términos.

Un polinomio es una suma de monomios. Alternativamente, un monomio es un polinomio con un solo sumando. Para completar la definición, y salir de este bucle infinito diremos que un monomio es el producto de números y variables con potencias enteras no negativas, mientras que el polinomio es la suma de varios monomios (poli- significa varios, tiene sentido, ¿no?)

Vamos a repasarlo en detalle con ejemplos.

Por ejemplo:

• $2x$;
• $(-3) \cdot z^3 \cdot 0.5$;
• $\pi r^2$;
• $a^{2020}$;
• $\frac{1}{2} \cdot 0.7654321 \cdot 1$;
• $k \cdot l \cdot (-7x) \cdot k$.

son todos monomios. Observa que no tienen por qué contener variables.

Lo importante aquí es que no puede ser la suma o la diferencia de dos expresiones. (Fíjate que arriba, los menos ocasionales proceden de números negativos, como $-3$, y no de la operación de resta) Tampoco puede tener raíces cuadradas ni funciones como seno o logaritmo. Por último, observa que no hemos escrito todo lo anterior en su forma más simple que existe. Por ejemplo, seguro que podemos escribir $\frac{1}{2} \cdot 0.7654321 \cdot 1$ como un solo número en lugar de esa monstruosidad.

Así que, volviendo a la definición anterior, un polinomio es una suma de monomios. Esto significa que, en concreto, todo monomio es, técnicamente, un polinomio. A continuación enumeramos algunos ejemplos más:

• $x + 2y$;
• $a^2 + 2ab + b$;
• $n^3 - 0.7n + \frac{3}{8}$;
• $1 + 3 + x^5 - x^7 +19x^5$.

Por último, un binomio es un polinomio con dos sumandos. Por ejemplo, la primera expresión anterior es un binomio, mientras que las otras no lo son.

En general, un polinomio puede tener cualquier número de variables. Hoy, sin embargo, vamos a centrarnos en los que sólo tienen una variable, es decir, de la forma:

donde $a_n$, $a_{n-1}$,..., $a_1$, $a_0$ son números, a los que llamamos coeficientes.

Por convención, la variable se suele denotar por $x$, pero realmente podría ser cualquiera. Sólo recuerda que **esta calculadora de división de polinomios utiliza la notación $x$, y así lo haremos también en los apartados siguientes.

Ahora que nos hemos familiarizado con los objetos que tratamos, estamos un paso más cerca de dividir polinomios entre monomios y dividir polinomios entre sí con la división larga. Sin embargo, comencemos por lo pequeño y veamos primero el caso más fácil: los monomios.

Aclaremos primero una cosa: igual que no puedes dividir un número por cero, no puedes dividir un polinomio por el polinomio cero, es decir, el polinomio con todos los coeficientes iguales a cero.

Una vez confirmado que no vamos a dividir por el polinomio cero, pasemos a ver el ejemplo de división de polinomios más sencilla: la división de polinomios entre monomios. En otras palabras, queremos encontrar $P(x) / Q(x)$ cuando $Q(x) = b_kx^k$ por algún entero no negativo $k$.

Por regla general, $P(x)$ puede ser cualquier cosa, así que vamos a denotarlo como lo hicimos en la sección anterior:

El truco está en que ahora podemos dividir los polinomios tomando cada sumando de $P(x)$ por separado. Dicho de otro modo:

Ahora bien, según las propiedades del exponente, sabemos que:

¡Pero no queremos potencias negativas en las variables! Al fin y al cabo, nos gustan los polinomios. Por tanto, agruparemos todos los términos de $P(x)$ con exponentes menores en $x$ y los escribiremos como el resto (no divisible) o residuo de la división del polinomio entre el monomio.

En total, obtenemos

Ahora ya sabes dividir polinomios entre monomios, incluso sin tener la calculadora de división de polinomios a mano. Pero este es el caso más sencillo, subamos el nivel de dificultad y pasemos de la división de polinomios entre monomios a la división de polinomios entre polinomios.

La idea básica del algoritmo de división polinómica es:

1. Toma el polinomio $P(x)$ que quieras dividir por $Q(x)$. A menos que el grado de $P(x)$ sea menor que el de $Q(x)$, procede. En caso contrario, $P(x)$ es el resto de la división polinómica.
2. Mira el sumando máximo (en términos del exponente de $x$) en $P(x)$ y divídelo por el sumando máximo en $Q(x)$. El resultado es un sumando (monomio) de tu cociente.
3. Multiplica ese monomio por $Q(x)$ y resta el resultado de $P(x)$.
4. La diferencia que obtienes es de grado menor que $P(x)$. Deja que sea tu nuevo dividendo (tu nuevo $P(x)$), y mantén $Q(x)$ como estaba.
5. Repetir.

En esencia, todo se reduce a que sólo tienes en cuenta el mayor (en términos del exponente de $x$) sumando del dividendo $P(x)$ y haces desaparecer ese sumando utilizando $Q(x)$. Entonces obtienes algo más pequeño, y repites el proceso hasta que este más pequeño es demasiado pequeño para manejarlo.

Para dibujar un polinomio, te recomendamos que pruebes nuestra calculadora gráfica de polinomios 🇺🇸.

Estudiaremos en detalle cómo hacer la división larga con polinomios en la siguiente sección, pero de momento, veamos un esbozo del algoritmo en funcionamiento.

Digamos que tienes un polinomio $P(x)=a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$ que quieres dividir por $Q(x)=b_kx^k+b_{k-1}x^{k-1}+\ldots+b_1x+b_0$, y supongamos que $n > k$ de modo que en realidad hay que hacer alguna división polinómica. Entonces, miramos los primeros sumandos, $a_nx^n$ y $b_kx^k$ (por supuesto, suponemos que $a_n$ y $b_k$ son distintos de cero), y dividimos uno por el otro:

Este resultado va al cociente. A continuación, hacemos la resta:

Esto nos dará un nuevo polinomio con coeficientes totalmente nuevos. Lo importante es que su grado es estrictamente menor que el grado de $P(x)$ porque $\frac{a_n}{b_k}x^{n-k}$ se ha elegido precisamente para que cancele al $a_nx^n$ en $P(x)$. A continuación, tomamos este nuevo polinomio y repetimos todo el proceso.

En este punto ya sabes cómo dividir polinomios entre monomios y sabes cómo dividir polinomios de forma teórica, sin usar la calculadora de división de polinomios, ¡bravo!.

Ahora ha llegado el momento de introducir la división larga de polinomios, un truco hacer la división de polinomios más fácil y rápida

Volvamos a la notación que hemos utilizado en la sección anterior: queremos dividir $P(x)\!=\!a_nx^n\!+\!a_{n-1}x^{n-1}\!+\!\ldots\!+\!a_1x\!+\!a_0$ entre $Q(x)\!=\!b_kx^k\!+\!b_{k-1}x^{k-1}\!+\!\ldots\!+\!b_1x\!+\!b_0$. Escribamos el esquema básico de esta operación de forma similar a como lo hacemos con la división larga de números:

De la sección anterior, sabemos que el primer paso de la división larga de polinomios nos da el sumando $\frac{a_n}{b_k}x^{n-k}$ en el cociente. Lo escribimos encima de la línea:

y escribimos en $a_nx^n\!+\!a_{n-1}x^{n-1}\!+\!\ldots\!+\!a_1x\!+\!a_0$ lo que le restaremos:

Ahora, hacemos la resta. Si te resulta difícil, no dudes en utilizar la calculadora de suma y resta de polinomios 🇺🇸 de Omni:

para $c_i$-s y $l < n$ apropiados. A continuación, mientras $l$ no sea menor que $k$, repetimos este proceso para el nuevo polinomio:

para $d_i$'s y $m < l$ adecuados.

Continuamos este proceso mientras sigamos obteniendo polinomios con un grado de al menos $k$. Una vez por debajo, terminamos la división larga de polinomios. En total, deberíamos obtener algo de la forma

para unos polinomios $A(x)$ y $R(x)$ siendo $R(x)$ de grado menor que $Q(x)$. Esto se traduce en:

Las explicaciones teóricas son siempre densas, ¿verdad? Pero ahora ya puedes decir que sabes hacer la división entre un polinomio y un monomio y puedes dividir polinomios entre polinomios con varios métodos... y sin usar la calculadora de división de polinomios

Si aún no tienes confianza, lo mejor es afianzar estos nuevos conocimientos con un ejemplo.

La fórmula del éxito es:

Al menos, eso es lo que te dijo la galleta de la fortuna en el restaurante que estás visitando. Al parecer, cada raíz (es decir, un valor de $x$para el que la expresión es igual a cero) de $P(x)$ te indica cuántos años faltan para que tengas el mejor año de tu vida. Por ejemplo, si $7$ fuera una raíz de este tipo, dentro de siete años deberías tener un año bastante increíble.

¿Cómo resolver este porblema de poliniomios? Con la ayuda del sitio web de la Calculadora Omni, ¡por supuesto!

Por desgracia, nuestra fórmula es de grado $4$ (la mayor potencia de $x$ que aparece en el polinomio). A diferencia de, por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas, ésta no tiene una forma agradable de encontrar sus raíces. Afortunadamente para nosotros, ¡hay otra forma!

Dado un polinomio, un número $a$ es su raíz si y sólo si el polinomio es divisible por $(x - a)$ (esto, de hecho, es una afirmación muy poco trivial llamada teorema de Bezout). Por tanto, podemos utilizar la calculadora de división de polinomios para resolver este problema.

Sin embargo, como ya hemos dicho, no conocemos las raíces. Así que, ¿por qué no probamos un enfoque diferente? *¡vamos a ver si el año que viene va a ser un éxito! En otras palabras, comprobaremos si $1$ es una raíz, o, lo que es lo mismo, si $P(x)$ es divisible por $(x - 1)$.

Por desgracia no estamos ante un monomio con lo que no podemos usar el método de división de polinomios entre monomios. Podemos usar la división larga para resolver este problema, pero si tenemos prisa y queremos ser eficientes la mejor forma es usar la calculadora de división de polinomios

Queremos dividir $P(x)\!=\!x^4\!-\!27x^3\!+\!239x^2\!-\!753x\!+\!540$ entre $Q(x) = x - 1$. Lo único que la calculadora necesita de nosotros es introducir estos datos. Empezamos diciéndole los grados de ambos polinomios: en nuestro caso, es $4$ para $P(x)$ y $1$ para $Q(x)$. Elegimos las opciones correctas de las listas que hay para cada uno en "Grado" en las secciones correspondientes de la calculadora.

Una vez hecho esto, la calculadora de división de polinomios nos mostrará la notación para $P(x)$ y $Q(x)$, es decir, que:

y

Esto significa que los coeficientes consecutivos (del mayor exponente hacia abajo) de $P(x)$ son $a_4$, $a_3$, $a_2$, $a_1$ y $a_0$. Volviendo a la fórmula del éxito, introducimos

$a_4 = 1$, $a_3 = -27$, $a_2 = 239$, $a_1 = -753$, $a_0 = 540$.

Del mismo modo, para $Q(x)$, introducimos

$b_1 = 1$ $b_0 = -1$.

En el momento en que escribamos el último número, la calculadora de división polinómica devolverá la respuesta. Pero, si lo que queremos es aprender a hacer la división de polinomios, ¿por qué no hacer la división larga polinómica nosotros mismos?

Si recordamos de las secciones anteriores, sabremos que hay que empezar con un esquema:

Ahora, tomamos el primer sumando de $P(x)$, que es $x^4$, y lo dividimos por el primer sumando de $Q(x)$, es decir, por $x$:

$x^4 / x = x^3$.

Esto nos da el primer elemento del cociente, que escribimos encima de la línea.

A continuación, multiplicamos el $x^3$ por el divisor $Q(x)$, y lo restamos del dividendo $P(x)$:

Sólo por esta vez, estudiemos en detalle cómo se llegó a la línea final:

A continuación, tomamos el primer sumando del polinomio que acabamos de obtener, que es $-26x^3$, y lo dividimos por el primer sumando de $Q(x)$, es decir, por $x$:

$-26x^3 / x = -26x^2$.

Este monomio pasa a la parte superior, donde escribimos nuestro cociente, y repetimos también los demás pasos:

Ahora, tenemos

$213x^2 / x = 213x$,

lo que da

Por último,

$-540x / x = -540$,

y

¡Genial, tenemos $0$! Esto significa que:

Nada más, no hay residuo. Esto significa que $P(x)$ es realmente divisible por $x - 1$, lo que significa que $1$ es una raíz de $P(x)$. Así que el año que viene va a ser realmente exitoso, ¡qué maravilla! Y, con lo que está pasando últimamente, se agradecen las buenas noticias, ¿verdad?