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Z-Test Rechner

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Was ist ein Z-Test?Wann verwende ich Z-Tests?Formel des Z-Testsp-Wert aus dem Z-TestEinseitiger und zweiseitiger Z-TestKritische Z-Werte und kritische Bereiche im Z-TestWie verwende ich den Rechner für den Z-Test bei einer Stichprobe?Beispiele für Z-TestsFAQs

Mit diesem Z-Test-Rechner kannst du einen Einstichproben-Z-Test für den Mittelwert der Grundgesamtheit durchführen. Es gibt zwei Formen dieses Tests – einen zweiseitigen Z-Test und einen einseitigen Z-Test –, die du je nach deinen Bedürfnissen verwenden kannst. Du kannst auch wählen, ob der Rechner den p-Wert aus dem Z-Test ermitteln soll oder ob du lieber den Ansatz des kritischen Werts verwenden möchtest!

Lies weiter, um mehr über den Z-Test in der Statistik zu erfahren, insbesondere darüber, wann man Z-Tests verwendet, wie die Z-Test-Formel lautet und wann man den Z-Test oder den t-Test verwenden sollte. Wir zeigen dir zudem Schritt für Schritt, wie du Z-Tests durchführst!

Du kannst auch unseren t-Statistik Rechner benutzen, um das Konzept dieser wichtigen Statistik kennenzulernen. Wenn du dich für F-Tests interessierst, schau dir unseren F-Test Rechner 🇺🇸 an.

Was ist ein Z-Test?

Der Z-Test mit einer Stichprobe ist einer der beliebtesten Zentralwert-Tests. Die Nullhypothese lautet, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit gleich einer bestimmten Zahl ist, μ0\mu_0:

H0:μ=μ0.\footnotesize \mathrm H_0 \!\!:\!\! \mu = \mu_0 \text{.}

Wir führen einen zweiseitigen Z-Test durch, wenn wir testen möchten, ob der Mittelwert der Grundgesamtheit nicht μ0\mu_0 ist:

H1:μμ0,\footnotesize \mathrm H_1 \!\!:\!\! \mu \ne \mu_0 \text{,}

und ein einseitiger Z-Test, wenn wir prüfen möchten, ob der Mittelwert der Grundgesamtheit kleiner/größer als μ0\mu_0 ist:

H1:μ<μ0 (linksseitiger Test); und\footnotesize \mathrm H_1 \!\!:\!\! \mu \lt \mu_0 \ (\text{linksseitiger Test); und}
H1:μ>μ0 (rechtsseitiger Test).\footnotesize \mathrm H_1 \!\!:\!\! \mu \gt \mu_0 \ (\text{rechtsseitiger Test).}

Lass uns nun die Annahmen eines Z-Tests mit einer Stichprobe besprechen.

Wann verwende ich Z-Tests?

Du kannst einen Z-Test verwenden, wenn deine Stichprobe aus unabhängigen Datenpunkten besteht und:

  • die Daten normalverteilt sind und du die Varianz der Grundgesamtheit kennst;

    oder

  • der Stichprobenumfang groß ist und die Daten einer Verteilung folgen, die einen endlichen Mittelwert und eine endliche Varianz hat. Du brauchst die Varianz der Grundgesamtheit nicht zu kennen.

Diese Voraussetzungen sind notwendig, um eine Test-Statistik zu erhalten, die der Normalverteilung N(0,1)\mathrm N(0, 1) folgt. Im ersten Fall handelt es sich um eine exakte Normalverteilung, während sie im zweiten Fall wegen des zentralen Grenzwertsatzes nur angenähert ist.

Es stellt sich nur noch die Frage: „Wann gilt meine Stichprobe als groß?” Nun, es gibt keinen fixen Wert. Im Allgemeinen gilt: Je mehr Datenpunkte du hast, desto besser funktioniert die Annäherung. In Statistik-Lehrbüchern wird empfohlen, nicht weniger als 50 Datenpunkte zu haben, während 30 als das absolute Minimum gelten.

Formel des Z-Tests

Sei x1,...,xnx_1, ..., x_n eine unabhängige Stichprobe, die der Normalverteilung N(μ,σ2)\mathrm N(\mu, \sigma^2) folgt, d. h. mit einem Mittelwert gleich μ\mu und einer Varianz gleich σ2\sigma ^2.

Wir stellen die Nullhypothese auf, H0 ⁣ ⁣: ⁣ ⁣μ=μ0\mathrm H_0 \!\!:\!\! \mu = \mu_0.

Wir definieren die Test-Statistik, Z, wie folgt:

Z=(xˉμ0)nσZ = (\bar x - \mu _0 ) \frac{\sqrt n}{\sigma}

wobei:

  • xˉ\bar x – der Stichprobenmittelwert ist, d. h. xˉ=(x1+...+xn)/n\bar x = (x_1 + ... + x_n) / n;

  • μ0\mu_0 – der in H0\mathrm H_0 postulierte Mittelwert ist;

  • nn – der Stichprobenumfang ist; und

  • σ\sigma – die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist.

Im Folgenden steht der Großbuchstabe ZZ für die Test-Statistik (die als Zufallsvariable behandelt wird), während der Kleinbuchstabe zz einen tatsächlichen Wert von ZZ bezeichnet, der für eine gegebene Stichprobe aus N(μ,σ²) berechnet wird.

Wenn H0\mathrm H_0 gilt, dann folgt die Summe Sn=x1+...+xnS_n = x_1 + ... + x_n der Normalverteilung mit dem Mittelwert nμ0n \mu_0 und der Varianz n2σn^2 \sigma. Da ZZ die Normierung (Z-Wert) von Sn/nS_n/n ist, können wir schlussfolgern, dass die Test-Statistik ZZ der Standardnormalverteilung N(0,1)\mathrm N(0, 1) folgt, vorausgesetzt, H0\mathrm H_0 ist wahr. Wir haben übrigens auch den Standardisierungsrechner | Z-Wert, wenn du dich nur auf diesen Wert konzentrieren möchtest.

Wenn unsere Daten nicht normalverteilt sind oder wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist (und wir daher in der Formel für ZZ die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ\sigma durch die Standardabweichung der Stichprobe ersetzen), dann ist die Test-Statistik ZZ nicht unbedingt normal. Wenn die Stichprobe jedoch genügend groß ist, garantiert das zentrale Grenzwerttheorem, dass ZZ ungefähr N(0,1)\mathrm N(0, 1) ist.

In den folgenden Abschnitten erklären wir dir, wie du den Wert der Test-Statistik, zz, verwenden kannst, um eine Entscheidung darüber zu treffen, ob du die Nullhypothese verwerfen solltest oder nicht. Für diese Entscheidung gibt es zwei Ansätze: den p-Wert-Ansatz und den Ansatz des kritischen Werts – wir schauen uns beide an! Welchen Ansatz solltest du verwenden? In der Vergangenheit war der Ansatz des kritischen Werts beliebter, weil es schwierig war, den p-Wert aus dem Z-Test zu berechnen. Mithilfe moderner Computer ist das heute jedoch relativ einfach und mit guter Genauigkeit möglich. Generell wird dir eher empfohlen, den p-Wert deiner Tests anzugeben!

p-Wert aus dem Z-Test

Formal ist der p-Wert das kleinste Signifikanzniveau, bei dem die Nullhypothese verworfen werden kann. Intuitiver ausgedrückt, beantwortet der p-Wert die Frage:
Unter der Voraussetzung, dass ich in einer Welt lebe, in der die Nullhypothese gilt, wie wahrscheinlich ist es, dass der Wert der Test-Statistik mindestens so extrem ist wie der zz-Wert, den ich für meine Stichprobe erhalten habe?
Ein kleiner p-Wert bedeutet also, dass dein Ergebnis unter Annahme der Nullhypothese sehr unwahrscheinlich ist und es somit einen starken Beweis gegen die Nullhypothese gibt – je kleiner der p-Wert, desto stärker der Beweis.

Um den p-Wert zu ermitteln, musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Test-Statistik ZZ mindestens so extrem ist wie der tatsächlich beobachtete Wert zz, vorausgesetzt, die Nullhypothese ist wahr. Die Wahrscheinlichkeit (WW) eines Ereignisses, die unter der Annahme berechnet wird, dass H0\mathrm H_0 wahr ist, wird als W(EreignisH0)\small \mathrm{W}(\text{Ereignis} | \mathrm{H_0}) bezeichnet. Die Alternativhypothese legt fest, was extremer bedeutet:

  1. Zweiseitiger Z-Test: Extremwerte sind diejenigen, deren absoluter Wert z|z| übersteigt, also kleiner als z-|z| oder größer als z|z| sind:
p-Wert= W(Z ⁣ ⁣z  H0)+ W(Z ⁣ ⁣z  H0)\begin{split} \quad \text{p-Wert} &= \ \mathrm{W} (Z \! \leq \! - |z| \ | \ \mathrm{H_0}) \\[0.5em] &+ \ \mathrm{W} (Z \! \geq \! |z| \ | \ \mathrm{H_0}) \end{split}

Die Symmetrie der Normalverteilung ergibt:

p-Wert=2 W(Z ⁣ ⁣z  H0)\quad \text{p-Wert} = 2 \ \mathrm{W} (Z \! \leq \! - |z| \ | \ \mathrm{H_0})
  1. Linksseitiger Z-Test: Die Extremwerte sind kleiner als zz, also
p-Wert=W(ZzH0)\quad \text{p-Wert} = \mathrm{W} (Z \leq z | \mathrm{H_0})
  1. Rechtsseitiger Z-Test: Die Extremwerte sind größer als zz, sind
p-Wert=W(ZzH0)\quad \text{p-Wert} = \mathrm{W} (Z \geq z | \mathrm{H_0})

Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, können wir die Funktion der Standardnormalverteilung, Φ(x), von N(0,1)\mathrm N(0, 1) verwenden, die für eine reelle Zahl, xx, wie folgt definiert ist

Φ(x)=W(ZxH0)=12πxet22dt\begin{split} \Phi (x) &= \mathrm{W}(Z \leq x | \mathrm{H_0}) = \\[1em] &\quad \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{split}

Die p-Werte lassen sich auch gut als Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von N(0,1)\mathrm N(0, 1) darstellen, denn:

W(ZxH0)=Φ(x)=linksseitige Fla¨che von x\mathrm{W}(Z \leq x | \mathrm{H_0}) = \Phi(x) \\[0.5em] = \text{linksseitige Fläche von } x
W(ZxH0)=1Φ(x)=rechtsseitige Fla¨che von x\mathrm{W}(Z \geq x | \mathrm{H_0}) = 1 - \Phi(x) \\[0.5em] = \text{rechtsseitige Fläche von } x

Einseitiger und zweiseitiger Z-Test

Mit all dem Wissen aus dem vorherigen Abschnitt bist du nun gut gerüstet, um dein Verständnis für Z-Tests weiter zu vertiefen.

  1. Zweiseitiger Z-Test:
p-Wert=Φ(z)+(1Φ(z))\small \text{p-Wert} = \Phi(-|z|) + (1 - \Phi(|z|))

Aus der Tatsache, dass Φ(z)=1Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z), leiten wir ab, dass

p-Wert=2Φ(z)=2(1Φ(z))\small \text{p-Wert} = 2 \Phi(-|z|) = 2(1 - \Phi(|z|))

Der p-Wert ist die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung, sowohl links von z-|z| als auch rechts von z|z|:

p-Wert mit zwei Schwellenwerten
  1. Linksseitiger Z-Test:
p-Wert=Φ(z)\small \quad \text{p-Wert} = \Phi(z)

Der p-Wert ist die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung links von zz:

linksseitiger p-Wert
  1. Rechtsseitiger Z-Test:
p-Wert=1Φ(z)\small \quad \text{p-Wert} = 1 - \Phi(z)

Der p-Wert ist die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung rechts von zz:

rechtsseitiger p-Wert

Die Entscheidung, ob du die Nullhypothese verwerfen solltest oder nicht, kannst du nun auf einem beliebigen Signifikanzniveau, α\alpha, treffen!

  • Wenn der p-Wert kleiner oder gleich α\alpha ist, wird die Nullhypothese auf diesem Signifikanzniveau verworfen.

  • Wenn der p-Wert größer ist als α\alpha, dann gibt es nicht genug Beweise, um die Nullhypothese auf diesem Signifikanzniveau zu verwerfen.

Kritische Z-Werte und kritische Bereiche im Z-Test

Bei der Methode der kritischen Werte wird der Wert der Test-Statistik, den wir für unsere Stichprobe zz erhalten haben, mit den sogenannten kritischen Werten verglichen. Diese Werte bilden die Grenzen der Regionen, in denen die Test-Statistik höchstwahrscheinlich liegt. Diese Regionen werden als kritischer Bereich oder Ablehnungsbereich bezeichnet. Die Entscheidung, ob du die Nullhypothese ablehnen solltest oder nicht, hängt also davon ab, ob unsere zz im Ablehnungsbereich liegt oder nicht.

Die kritischen Bereiche hängen von einem Signifikanzniveau, α\alpha, des Tests und von der Alternativhypothese ab. Die Wahl von α\alpha ist willkürlich; in der Praxis werden meist die Werte 0,1, 0,05 oder 0,01 als α\alpha verwendet.

Sobald wir uns auf den Wert von α\alpha geeinigt haben, können wir die kritischen Bereiche des Z-Tests leicht bestimmen:

  1. Zweiseitiger Z-Test:
 (,Φ1 ⁣ ⁣(α2) ⁣][Φ1 ⁣ ⁣(α2),)\small \ \left(-\infty, \Phi^{-1} \!\! \left( \frac{\alpha}{2} \right) \! \right] \cup \left[ \Phi^{-1} \!\! \left( \frac{\alpha}{2} \right), \infty \right)
  1. Linksseitiger Z-Test:
(,Φ1 ⁣(α)]\small \quad \left(-\infty, \Phi^{-1} \! \left(\alpha \right) \right]
  1. Rechtsseitiger Z-Test:
[Φ1 ⁣(1α),)\small \quad \left[ \Phi^{-1} \! \left( 1 - \alpha \right), \infty \right)

Um über H0\mathrm H_0 zu entscheiden, prüfst du, ob dein zz in den kritischen Bereich fällt oder nicht:

  • Wenn ja, dann lehne H0\mathrm H_0 ab und akzeptiere H1\mathrm H_1.

  • Wenn nicht, dann gibt es nicht genug Beweise, um H0\mathrm H_0 abzulehnen.

Wie du siehst, beinhalten die Formeln für die kritischen Werte von Z-Tests den Kehrwert, Φ1\Phi^{-1}, der Standardnormalverteilung.

Wie verwende ich den Rechner für den Z-Test bei einer Stichprobe?

Unser Rechner vereinfacht alle komplizierten Schritte:

  1. Wähle die Alternativhypothese: zweiseitig oder links-/rechtsseitig.

  2. In unserem Z-Test-Rechner kannst du entscheiden, ob du den p-Wert oder den Ansatz des kritischen Bereichs verwenden möchtest. In letzterem Fall legst du das Signifikanzniveau, α\alpha, fest.

  3. Gib den Wert der Test-Statistik ein, zz. Wenn du ihn nicht kennst, kannst du einige Daten eingeben, mit denen wir dein zz für dich berechnen können:

    • Stichprobenmittelwert xˉ\bar x (wenn du Rohdaten hast, gehe zum Arithmetisches Mittel Rechner, um den Mittelwert zu ermitteln);
    • angenommener Mittelwert der Nullhypothese μ0\mu_0;
    • Stichprobenumfang nn; und
    • Standardabweichung der Grundgesamtheit σ\sigma (oder Standardabweichung der Stichprobe, wenn deine Stichprobe groß ist).
  4. Die Ergebnisse werden direkt unterhalb des Rechners angezeigt.

Wenn du zz anhand des p-Wertes finden möchtest, bedenke bitte, dass es bei zweiseitigen Tests zwei mögliche Werte von zz gibt: einen positiven und einen negativen, und zwar die entgegengesetzten Zahlen. Dieser Z-Test-Rechner liefert in einem solchen Fall den positiven Wert. Um den anderen möglichen Wert von zz für einen bestimmten p-Wert zu ermitteln, nimm einfach die negative Zahl von diesem Wert.

Beispiele für Z-Tests

Gehen wir einige Beispiele durch, um sicherzugehen, dass du das Wesentliche des Z-Tests verstanden hast:

  1. Eine Flaschenabfüllmaschine folgt einer Normalverteilung. Ihre Standardabweichung beträgt nach Angaben des Herstellers 30 ml. Ein Saftverkäufer behauptet, dass das Volumen, das in jede Flasche gefüllt wird, im Durchschnitt einen Liter, also 1000 ml, beträgt, aber wir vermuten, dass das durchschnittliche Volumen in Wirklichkeit kleiner ist...

Die Hypothesen, die wir aufstellen, sind die folgenden:

  • H0 ⁣:μ=1000 ml\mathrm H_0 \! : \mu = 1000 \text{ ml}

  • H1 ⁣:μ<1000 ml\mathrm H_1 \! : \mu \lt 1000 \text{ ml}

Wir sind in ein Geschäft gegangen und haben 9 Flaschen (= Stichprobenumfang) gekauft. Nachdem wir die Saftmenge in jeder Flasche sorgfältig abgemessen hatten, erhielten wir die folgenden Werte (in Millilitern):

1020,970,1000,980,1010,930,950,980,980\small 1020, 970, 1000, 980, 1010, 930, 950, 980, 980.

  • Stichprobenumfang: n=9n = 9;

  • Mittelwert der Stichprobe: xˉ=980 ml\bar x = 980 \ \mathrm{ ml};

  • Standardabweichung der Stichprobe: σ=30 ml\sigma = 30 \ \mathrm{ ml};

  • also:

Z=(9801000)/309=2\quad Z = (980 - 1000) / \frac{30}{\sqrt 9} = -2
  • Und deshalb: p-Wert=Φ(2)0, ⁣0228\text{p-Wert} = \Phi(-2) \approx 0,\!0228.

    Da 0, ⁣0228<0, ⁣050,\!0228 \lt 0,\!05 kommen wir zu dem Schluss, dass unser Verdacht nicht unbegründet ist; beim häufigsten Signifikanzniveau von 0,05 würden wir die Behauptung des Herstellers, H0\mathrm H_0, ablehnen, und die Alternativhypothese, H1\mathrm H_1, akzeptieren.

  1. Wir haben 50 Mal eine Münze geworfen. Wir haben 20 Mal Zahl und 30 Mal Kopf erhalten. Gibt es genügend Beweise, um zu behaupten, dass die Münze manipuliert ist?

    Unsere Daten folgen eindeutig der Bernoulli-Verteilung, mit einer gewissen Erfolgswahrscheinlichkeit pp und einer Varianz σ2=p(1p)\sigma^2 = p (1-p). Die Stichprobe ist jedoch groß, sodass wir einen Z-Test durchführen können. Wir nehmen an, dass es ein Erfolg ist, wenn die Münze auf Zahl fällt.

    Stellen wir die Nullhypothese und die Alternativhypothese auf:

    • H0 ⁣:p=0, ⁣5\mathrm H_0 \! : p = 0,\!5 (die Münze ist fair – die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl fällt, ist 0, ⁣50,\!5); und

    • H1 ⁣:p0, ⁣5\mathrm H_1 \! : p \ne 0,\!5 (die Münze ist verzerrt – die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu werfen ist anders als 0, ⁣50,\!5).

In unserer Stichprobe haben wir 20 Erfolge (gekennzeichnet durch Einsen) und 30 Misserfolge (gekennzeichnet durch Nullen), also:

  • Stichprobenumfang n=50n = 50;

  • Mittelwert der Stichprobe xˉ=20/50=0, ⁣4\bar x = 20/50 = 0,\!4;

  • Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist durch σ=0, ⁣5×0, ⁣5\sigma = \sqrt{0,\!5 \times 0,\!5} gegeben (weil 0, ⁣50,\!5 der Anteil pp ist, der in H0\mathrm H_0 angenommen wurde). Daraus folgt: σ=0, ⁣5\sigma = 0,\!5;

  • also

Z=(0, ⁣40, ⁣5)/0, ⁣550=21, ⁣4142\begin{split} \quad Z &= (0,\!4 - 0,\!5)/ \frac{0,\!5}{\sqrt{50}} \\[0.5em] &= -\sqrt 2 \approx -1,\!4142 \end{split}
  • und, deshalb:
p-Wert2 Φ(1, ⁣4142)0, ⁣1573\begin{split} \quad \text{p-Wert} &\approx 2 \ \Phi(-1,\!4142) \\[0.5em] &\approx 0,\!1573 \end{split}

Da 0, ⁣1573>0, ⁣10,\!1573 \gt 0,\!1 haben wir nicht genug Beweise, um die Behauptung zu verwerfen, dass die Münze fair ist, selbst bei einem so hohen Signifikanzniveau wie 0, ⁣10,\!1. In diesem Fall kannst du sie getrost deinem Hexer zuwerfen oder den Münzwurf Wahrscheinlichkeit Rechner benutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass du z. B. 10 Mal hintereinander Kopf wirfst (die extrem gering ist!).

FAQs

Was ist der Unterschied zwischen Z-Test und t-Test?

Wir verwenden einen t-Test, um den Mittelwert eines normalverteilten Datensatzes zu testen, der eine unbekannte Standardabweichung hat. Wir erhalten dies, indem wir die Standardabweichung der Grundgesamtheit in der Formel für die Z-Test-Statistik durch die Standardabweichung der Stichprobe ersetzen. Das bedeutet, dass diese neue Test-Statistik der studentschen t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden anstelle von N(0,1) folgt (vorausgesetzt, H₀ gilt).

Wann sollte ich den t-Test statt des Z-Tests verwenden?

Bei großen Stichproben nähert sich die studentsche t-Verteilung mit n Freiheitsgraden der Normalverteilung N(0,1) an. Solange es eine ausreichende Anzahl von Datenpunkten gibt (mindestens 30), spielt es also keine Rolle, ob du den Z-Test oder den t-Test verwendest, da die Ergebnisse fast identisch sind. Bei kleinen Stichproben mit unbekannter Varianz solltest du aber den t-Test anstelle des Z-Tests verwenden.

Wie berechne ich die Test-Statistik des Z-Tests?

So berechnest du die Test-Statistik des Z-Tests:

  1. Berechne das arithmetische Mittel deiner Stichprobe.
  2. Ziehe von diesem Mittelwert den in der Nullhypothese postulierten Mittelwert ab.
  3. Multipliziere mit der Quadratwurzel des Stichprobenumfangs.
  4. Dividiere durch die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
  5. Das war's, du hast soeben die Test-Statistik für den Z-Test errechnet!

Hier führen wir einen Z-Test für den Mittelwert der Grundgesamtheit μ durch.

Nullhypothese H₀: μ = μ₀.

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