Standardisierungsrechner | z-Wert
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Wie man den z-Score berechnetBerechnung des z-Scores: ein BeispielWas ist eine Z-Score-Tabelle?Z-Score-Rechner und die Six-Sigma-MethodeFAQsDer z-Wert (z-Score), auch bekannt als Standardwert, ist die Anzahl der Standardabweichungen, um die ein Datenpunkt von dem Mittelwert entfernt ist. Du kannst unseren z-Score-Rechner dazu nutzen, um genau diesen Wert zu ermitteln. Lies weiter, um zu erfahren, wie du den z-Wert berechnest und wie du die z-Score-Tabelle verwendest.
🙋 Nebenbei kannst du auch unseren z-Test Rechner nutzen und ein weiteres Thema aus der Statistik meistern.
Wie man den z-Score berechnet
Der z-Score ist ein Wert, der zur Beschreibung der Normalverteilung verwendet wird. Er gibt den Abstand zwischen dem Mittelwert und einem experimentell gefundenen Datenpunkt an, welcher anhand der SD (Standardabweichung) gemessen wird. In der statistischen Datenanalyse wird er auch als Standardwert, z-Wert, standardisierter Wert und z-Statistik bezeichnet.
Um den z-Wert zu ermitteln, musst du zunächst den Mittelwert und die Standardabweichung des Datensatzes berechnen. Der Mittelwert, der durch das Symbol μ dargestellt wird, ist die Summe aller Werte des Datensatzes durch die Anzahl der Werte geteilt. Er wird als μ = ∑x / n ausgedrückt. Die Standardabweichung wird anhand dieser Formel ermittelt:
σ = √[∑(x - μ)² / n],
wobei x für ein einzelnes Experimentergebnis und n für die Anzahl der Datenpunkte steht. Um die Formel genauer zu erkunden, empfehlen wir dir, den Standardabweichung Rechner zu benutzen.
Um den z-Score zu ermitteln, musst du einfach die folgende Formel anwenden:
z = (x - μ) / σ
Berechnung des z-Scores: ein Beispiel
Nehmen wir uns nun diese Aufgabe vor: Bei einem Test haben vier Schüler 50, 53, 62 und 70 Punkte erreicht. Wie hoch ist der z-Score des Ergebnisses 62?
- Finde den Mittelwert der Ergebnisse.
μ = (50 + 53 + 62 + 70) / 4 = 58,75. Du kannst dafür auch unseren Mittelwert Rechner verwenden. - Berechne die einzelnen Werte von (x - μ)² für jedes Ergebnis:
- (50 - 58,75)² = 76,5625,
- (53 - 58,75)² = 33,0625,
- (62 - 58,75)² = 10,5625,
- (70 - 58,75)² = 126,5625.
- Berechne die Standardabweichung:
√[(76,5625 + 33,0625 + 10,5625 + 126,5625) / 4] =√(246,75 / 4) = 7,854. - Setze diese Ergebnisse in die z-Score-Gleichung für x = 62 ein:
z = (62 - 58,75) / 7,854 = 0,41. - Du hast soeben den z-Score von 62 gefunden! Du kannst den z-Score-Rechner auch dafür verwenden, um den Mittelwert oder die Standardabweichung zu ermitteln, wenn du den z-Score bereits kennst.
Was ist eine Z-Score-Tabelle?
In einer z-Score-Tabelle findest du die Fläche links vom angegebenen z-Score unter der Standardverteilungskurve. Die erste Spalte der Tabelle ist eine Liste der z-Werte (auf eine Dezimalstelle genau). In der ersten Zeile findest du die Ziffer, die auf der zweiten Dezimalstelle deines z-Scores steht.
In unserem Beispiel ist der z-Wert von 62 gleich 0,41. Zuerst musst du z = 0,4 in der ersten Spalte finden; dieser Wert zeigt dir, in welcher Zeile du suchen musst. Dann suchst du den Wert 0,01 in der ersten Zeile. Er bestimmt die Zeile, in der du suchen musst. Die Fläche unter der Standardverteilungskurve (links von unserem z-Score) ist gleich 0,6591. Vergiss nicht, dass die Gesamtfläche unter der Kurve gleich 1 ist. Wir können also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler im Test 62 oder weniger Punkte erreicht, gleich 0,6591 oder 65,91 % ist.
Wenn du diese Fläche kennst, kannst du auch den p-Wert ermitteln – die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl höher als 62 ist. Er beträgt einfach 1 - 0,6591 = 0,3409 oder 34,09 %. Mehr über diese Größe erfährst du in Omni's p-Wert Rechner.
Z-Score-Rechner und die Six-Sigma-Methode
99,7 % der Beobachtungen eines Prozesses, der der Normalverteilung folgt, liegen innerhalb drei Standardabweichungen links und rechts vom Mittelwert entfernt. Daher liegen nur 0,3 % der möglichen Ereignisse dieses Prozesses außerhalb des Drei-Sigma-Intervalls.
Wenn du versuchst, dieses Intervall um sechs Sigmas nach links und rechts zu erweitern, wirst du feststellen, dass 99,9999998027 % deiner Datenpunkte unter dieses Prinzip fallen. Wenn du dieses Prinzip erfolgreich anwendest, kannst du davon ausgehen, dass bei einer Million Vorkommnisse eines Prozesses 3,4 Fehler vorkommen.
Solche Ereignisse können als sehr unwahrscheinlich angesehen werden: Dazu gehören einerseits Unfälle und Pannen, anderseits betrifft dies genauso Glückssträhnen. Nehmen wir an, du führst eine sich wiederholende Aufgabe aus, die durch die Normalverteilung beschrieben werden kann (z. B. die Produktion eines standardisierten Gutes), und das auf lange Sicht. In diesem Fall kannst du davon ausgehen, dass schwere Fehler so selten auftreten, dass sie vernachlässigbar sind.
Das ist der Grund für das Qualitätskontrollsystem, das auf der Standardnormalverteilung basiert und Six-Sigma genannt wird. Dieses System wurde in den 1980er Jahren bei Motorola entwickelt und nutzt statistische Analysen, um Fehler zu messen und zu beseitigen.
Dieser Prozess besteht aus fünf Hauptelementen: a) Definieren, b) Messen, c) Analysieren, d) Verbessern und e) Kontrollieren. Der Grundgedanke ist, dass ein Prozess eine ernsthafte Korrektur benötigt, wenn er mehr als drei Sigma von seinem Mittelwert abweicht. Mit anderen Worten: Das Hauptziel deines Qualitätsmanagements und deiner Kontrollen sollte die maximale Annäherung des Ergebnisses des Produktionsprozesses an die Normalverteilung sein.
Dank der Six-Sigma-Methode wurde die Normalverteilung in den letzten drei Jahrzehnten dazu genutzt, Prozesse von der Fertigung bis hin zu Transaktionen zu verbessern, sowohl in Fabriken als auch in Büros.
Wie interpretiere ich den z-Score?
Der z-Score gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt über oder unter dem Mittelwert liegt. Ein positiver z-Score bedeutet, dass der Datenpunkt über dem Mittelwert liegt, während ein negativer z-Score bedeutet, dass er unter dem Mittelwert liegt. Ein z-Score von 1 bedeutet, dass der Datenpunkt genau 1 Standardabweichung über dem Mittelwert liegt.
Wie findest du den z-Score auf einem Taschenrechner?
Um den z-Score mit einem normalen Taschenrechner zu ermitteln, befolge diese Schritte:
- Berechne den Mittelwert als
(∑x) / n. - Berechne die Standardabweichung mit der einfachen Formel
(∑(x²) - (∑x)²/n) / n. Bei Stichprobendaten wird der Teiler aufn - 1geändert. - Berechne den z-Score mit der Formel
z = (x - Mittelwert) / Standardabweichung.
Kann der z-Score negativ sein?
Ja, ein negativer z-Score deutet darauf hin, dass dein Datenpunkt unter dem Mittelwert liegt!
Wie lese ich eine z-Score-Tabelle?
Eine z-Wert-Tabelle hilft dir, den p-Wert oder das Quantil zu finden, der deinem Datenpunkt entspricht, auf seinem z-Score basierend. Befolge diese Schritte:
- Bestimme, ob dein z-Wert negativ oder positiv ist.
- Wenn der z-Score negativ ist (d. h. der Wert ist kleiner als der Mittelwert), verwende eine negative z-Score-Tabelle. Wenn der z-Wert positiv ist (d. h. der Datenpunkt liegt über dem Mittelwert), verwende eine positive z-Wert-Tabelle.
- Schaue in der Spalte ganz links nach, um den z-Score zu finden, der bis zur ersten Dezimalstelle mit deinem übereinstimmt. Wenn du z. B. einen z-Score von 2,15 hast, findest du 2,1.
- Suche in der obersten Zeile nach dem z-Score, der ab der zweiten Dezimalstelle mit deinem übereinstimmt. Für einen z-Score von 2,15 findest du z. B. 0,05.
- Finde den p-Wert, bei dem sich die passende Zeile und Spalte schneiden. Bei einem z-Score von 2,15 ergibt die z-Score-Tabelle einen p-Wert von 0,98422.
- Um das Quantil zu ermitteln, multiplizierst du den p-Wert mit 100%. Ein z-Score von 2,15 liegt im 98%-Quantil.
Wie hoch ist der z-Score für das 90%-Quantil?
Ein z-Score von 1,645 bedeutet, dass dein Datenpunkt im 90%-Quantil liegt.
Wie findest du den z-Score, wenn du den Mittelwert und die Standardabweichung kennst?
Wenn du den Mittelwert und die Standardabweichung kennst, kannst du den z-Score mit der Formel z = (x - μ) / σ ermitteln, wobei x dein Datenpunkt, μ der Mittelwert und σ die Standardabweichung ist.
Wie ermittelst du den p-Wert aus dem z-Score?
Der einfachste Weg, den p-Wert aus dem z-Score zu ermitteln, ist die Verwendung einer z-Score-Tabelle. Bei der eigentlichen Berechnung wird das Flächenintegral unter der Kurve einer Normalverteilung berechnet.