Münzwurf Wahrscheinlichkeit Rechner

Created by Maciej Kowalski, PhD candidate
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Luise Schwenke and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Jan 18, 2024


Willkommen beim Münzwurf-Wahrscheinlichkeit-Rechner. Hier erfährst du, wie du die Wahrscheinlichkeit berechnen kannst, dass bei einer bestimmten Anzahl von Würfen eine bestimmte Anzahl von Köpfen oder Zahlen fällt. Dies ist eines der grundlegenden klassischen Wahrscheinlichkeitsprobleme, welches sich später zu einem sehr interessanten mathematischen Thema entwickelt hat.

Vielleicht magst du Batman und kennst einen seiner vielen Schurken, Two-Face? Man könnte meinen, dass sein Name daher kommt, dass die Hälfte seines Gesichts verbrannt ist, aber nein! (Okay, vielleicht ein bisschen.) Er hat eine Glücksmünze, die er immer wirft, bevor er etwas tut. Da eine Münze zwei Seiten (Gesichter) hat, ist sein Name nun vielleicht noch einleuchtender?

🙋 Wenn du dich für die Wahrscheinlichkeit von Durchläufen bei Münzwürfen interessierst, besuche unseren speziellen Münzwurf Serie Rechner 🇺🇸.

Klassische Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist eine mathematische (numerische) Darstellung darüber, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ereignis eintritt. Eine Wahrscheinlichkeit von 1 bedeutet, dass ein Ereignis immer eintritt, während eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, dass es nie eintritt. Bei klassischen Wahrscheinlichkeitsaufgaben musst du häufig herausfinden, wie oft ein Ergebnis im Vergleich zu einem anderen eintritt und wie ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit zukünftiger Ereignisse beeinflusst. Wenn du dir alle Ereignisse ansiehst, die eintreten können, lautet die Formel (genau wie die Formel für die Münzwurfwahrscheinlichkeit):

Wahrscheinlichkeit = (Anzahl der erfolgreichen Ergebnisse) / (Anzahl aller möglichen Ergebnisse).

Nimm einen Würfelwurf als Beispiel. Wenn du einen normalen Würfel mit 6 Seiten wirfst, dann gibt es sechs mögliche Ergebnisse, nämlich die Zahlen von 1 bis 6. Wenn es sich um einen fairen Würfel handelt (alle Seiten haben die gleiche Gewichtung), ist die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser Ergebnisse gleich 1 zu 6 oder 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Würfelwurf z. B. eine 6 zu erhalten, ist also 1/6. Ich denke, du verstehst, was ich meine. Wenn du mir nicht glaubst, nimm einen Würfel und wirf ihn ein paar Mal und notiere die Ergebnisse. Denk daran: Je öfter du ein Experiment wiederholst, desto repräsentativer sind die Ergebnisse. Also los, wirf ihn, sagen wir, tausendmal. Wir warten hier, bis du zurückkommst, um uns zu sagen, dass wir die ganze Zeit recht hatten. Wenn du die tausend Würfe etwas abkürzen möchtest, schaue dir unseren Würfel Wahrscheinlichkeitsrechner an.

Was ist aber, wenn du ein Experiment hundertmal wiederholst und die Wahrscheinlichkeit ermitteln möchtest, dass du dabei mindestens 20 Mal ein bestimmtes Ergebnis erhältst?

Schauen wir uns ein Beispiel dazu an. Angenommen, du bist ein Teenager und beschließt, dass du dieses Jahr die Liebe deines Lebens kennenlernen möchtest. Genauer gesagt, möchtest du zehn Mädchen nach einem Date fragen, aber mit nur vier von ihnen tatsächlich auf ein Date gehen. Eine davon muss doch die Richtige sein, oder? Das Erste, was du in dieser Situation tun musst, ist, in den Spiegel zu schauen und einzuschätzen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Mädchen mit dir ausgeht. Wenn du Probleme damit hast, dein Aussehen richtig einzuschätzen, geh nach unten und lass dir von deiner Oma sagen, was für ein hübscher junger Mann du bist. Also eine solide 9/10.

Da du nur zu vier Verabredungen gehen möchtest, bedeutet das, dass du auch nur in vier deiner Date-Anfragen erfolgreich sein möchtest. Das bedeutet, dass die anderen 6 Mädchen deine Date-Anfrage ablehnen müssen. Da du mit deinem guten Aussehen eine 9/10 bist, liegt die Wahrscheinlichkeit einer Ablehnung bei 1/10 (die Summe aller Ereignisse ist immer gleich 1, also erhalten wir diese Zahl, indem wir 9/10 von 1 abziehen). Wenn du die Anzahl der erwarteten Eintretensfälle jedes Ereignisses mit seiner Einzelwahrscheinlichkeit multiplizierst, erhältst du die Gesamtwahrscheinlichkeit deines Szenarios. In diesem Fall sind deine Chancen gleich 210 ∙ (9 / 10)4 ∙ (1 / 10)6 = 0,000137781, wobei die 210 von der Anzahl aller möglichen Kombinationen der vier Mädchen aus den zehn kommt, die zustimmen könnten (Kombinatorik: 4 aus 10). Das Ergebnis, also dass nur 4 der 10 Mädchen zu einem Date zusagen, hat keine hohe Wahrscheinlichkeit, stimmts? Vielleicht solltest du versuchen, nicht so gutaussehend zu sein!

Wie wird die Wahrscheinlichkeit berechnet?

Auch wenn Mädchen und Münzen definitiv zwei verschiedene Dinge sind, sind diese beiden Probleme aus der Sicht der Mathematik im Grunde dasselbe. Ob du nun eine Münze wirfst oder ein Mädchen um ein Date bittest, es gibt nur zwei Möglichkeiten, die eintreten können. Mit anderen Worten: Wenn du den Erfolg deines Experiments, also ob du Zahl wirfst oder das Mädchen deinem Date zustimmt, der einen Seite der Münze zuordnest und die andere Möglichkeit der Rückseite der Münze, bestimmt die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfs die Antwort. Alles läuft darauf hinaus, dass du eine Münze wirfst, deren zwei Seiten entsprechend gewichtet werden. Mathematisch gesehen sprechen wir von der Binomialverteilungsrechner.

Schauen wir uns ein Beispiel an, um Schritt für Schritt zu verstehen, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Münzwurf-Wahrscheinlichkeit-Rechner berechnet wird:

  1. Bestimme die zwei möglichen Ausgänge deines Experiments. Ordne einer der beiden Möglichkeiten dem Ausgang Kopf und der anderen den Ausgang Zahl zu.

  2. Wie oft möchtest du das Experiment wiederholen? Gib diese Zahl als Anzahl der Würfe in den Rechner ein.

  3. Wofür möchtest du die Wahrscheinlichkeit erfahren? Eine genaue Anzahl erfolgreicher Versuche? Mindestens eine bestimmte Anzahl von erfolgreichen Versuchen? Oder nicht mehr als eine bestimmte Anzahl von erfolgreichen Versuchen? Wähle die richtige Option aus der Liste.

  4. Wie viele erfolgreiche (genaue, mindestens oder höchstens) Versuche möchtest du haben? Setze diese Zahl vor Köpfe.

  5. (Optional) Wenn Kopf und Zahl nicht gleich gewichtet sind, dann gehe in den erweiterten Modus und gib das richtige Verhältnis in das neue Feld ein. Denke daran, dass die Wahrscheinlichkeit nicht kleiner als 0 oder größer als 1 sein kann.

  6. Der Münzwurf-Wahrscheinlichkeit-Rechner berechnet automatisch die Wahrscheinlichkeit, dass dein Ereignis eintritt.

Komplexe Wahrscheinlichkeiten

Du weißt, dass es heißt, dass man mit Geld kein Glück kaufen kann? Nun, es ist wahr, dass eine Münze nicht immer ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen. Wenn dein Problem unter die klassische Wahrscheinlichkeit fällt – das heißt, du bestimmen kannst, wie viele erfolgreiche Ergebnisse es gibt und wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt – dann verwende die Formel für die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfs aus dem ersten Abschnitt.

Wenn es dir um deine Chancen geht, im Lotto zu gewinnen oder auf einer einsamen Insel zu überleben, wird es komplizierter als eine einfache Münzwurfwahrscheinlichkeit zu berechnen. Du kannst dafür aber Omni's Lotterie Rechner 🇺🇸 verwenden.

FAQ

Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfs

Wenn du eine faire Münze (Gewichtung = 1:1) n-mal wirfst, ist die Wahrscheinlichkeit, exakt k Köpfe zu erhalten gleich: P(X=k) = (n über k)/2n, wobei:

  • (n über k) = n! / (k! ∙ (n-k)!) und
  • ! die Fakultät ist, also die Multiplikation 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... (n-1) ∙ n.

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit von 8 Köpfen bei 10 Würfen?

Berechne die Wahrscheinlichkeit von 8 Köpfen bei 10 Würfen:

  1. Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit von exakt k Köpfen bei n Würfen: P(X=k) = (n über k)/2n.
  2. Die Wahrscheinlichkeit für genau 8 Köpfe bei 10 Würfen ist also P(X=8) = (10 über 8)/210 = 45/1024 ≈ 0,044.
  3. Für die Wahrscheinlichkeit von mindestens 8 Köpfe berechne: P(X=8) + P(X=9) + P(X=10).
  4. Wir erhalten P(X=9) = 10/1024 ≈ 0,0098 und P(X=10) = 1/1024 ≈ 0,001.
  5. Die Antwort lautet 0,044 + 0,0098 + 0,001 ≈ 0,0548.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit von 2 Köpfen bei 3 Würfen?

Wenn du eine Münze 3 Mal wirfst, beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Köpfe 50%, während die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Köpfe 37,5% beträgt. Hier ist der Stichprobenumfang für 3 Würfe: {KKK, ZKK, KZK, KKZ, KZZ, ZKZ, ZZK, ZZZ}. Es gibt 8 mögliche Ergebnisse. Drei davon enthalten genau zwei Köpfe, also beträgt P(genau zwei Köpfe) = 3/8=37,5%. Wenn das Ergebnis mindestens drei Köpfe enthalten soll, beträgt P(mindestens zwei Köpfe) = (3+1)/8 = 50%.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Kopf bei 4 Würfen?

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4 Würfen mindestens 1 Kopf fällt, beträgt 93,75%. Um zu sehen, warum das so ist, beachte, dass P(mindestens 1 Kopf) = 1 - P(kein Kopf) = 1 - P(alle Zahlen) und P(alle Zahlen) = (1/2)4 = 0,0625 gilt. Daher ist P(mindestens 1 Kopf) = 1 - 0,0625 = 0,9375 = 93,75%, wie behauptet.

Maciej Kowalski, PhD candidate
Experiment specifics
Number of flips
I want to have
exactly
heads
Probability of success
Probability
Chance of success
%
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