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Binomialverteilung Rechner

Created by Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Luise Schwenke and Julia Kopczyńska, PhD candidate
Last updated: Jan 18, 2024


Dieser Binomialverteilung-Rechner hilft dir bei dem Wahrscheinlichkeitsproblem Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Folge von Ereignissen? Lies weiter, um zu erfahren, was genau die Binomialwahrscheinlichkeit ist, wann und wie man sie anwendet, und lerne die Formel für die Binomialwahrscheinlichkeit kennen. Finde heraus, was die Binomialverteilung ist, und entdecke, wie binomische Experimente in verschiedenen Bereichen eingesetzt werden.

Was ist die Binomialwahrscheinlichkeit?

Stell dir vor, du spielst ein Spiel mit Würfeln. Um zu gewinnen, müssen genau drei von fünf Würfel auf eine Augenzahl gleich oder kleiner 4 fallen. Die restlichen zwei Würfel müssen eine höhere Zahl zeigen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?

Dies ist ein Beispielproblem, das du mit unserem Binomialwahrscheinlichkeit-Rechner lösen kannst. Du kennst die Anzahl der Ereignisse (sie ist der Gesamtzahl der Würfe gleichl, also fünf); du kennst die Anzahl der Erfolge, die du brauchst (genau 3); du kannst auch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein einziger Erfolg eintritt (4 aus 6, also 0,667). Das sind alle Daten, die du brauchst, um die binomische Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der du das Würfelspiel gewinnst.

Beachte, dass die Ereignisse, die du analysierst, unabhängig sein müssen, damit du den Binomialverteilung-Rechner effektiv nutzen kannst. Das bedeutet, dass sich alle Versuche in deinem Beispiel gegenseitig ausschließen müssen.

Der Erfolg des ersten Versuchs hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg oder Misserfolg der nachfolgenden Ereignisse, und sie bleiben genau gleich. Bei einem Würfelspiel sind diese Bedingungen erfüllt: Jeder Wurf ist ein unabhängiges Ereignis.

Manchmal interessiert dich vielleicht die Anzahl der Versuche, die du brauchst, um ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen. Du könntest dich zum Beispiel fragen, wie viele Würfe nötig sind, bevor du dreimal eine Sechs würfelst. Für solche Fragen gibt es ein verwandtes statistisches Instrument: die negative Binomialverteilung. Informiere dich darüber mit dem Negative Binomialverteilung Rechner 🇺🇸.

Du kannst auch unseren Normale Approximation Rechner 🇺🇸 und den dazugehörigen Stetigkeitskorrektur Rechner 🇺🇸 ausprobieren.

Formel für die Binomialwahrscheinlichkeit

Verwende die folgende Gleichung, um diese Binomialwahrscheinlichkeit zu ermitteln:

P(X=r) = nk × pr × (1-p)n-r

wobei:

  • n – die Gesamtzahl der Ereignisse ist;
  • r – die Anzahl der erforderlichen Erfolge ist;
  • k – die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist;
  • nk – die Anzahl der Kombinationen ist (n über k); und
  • P(X=r) – die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau eine Anzahl von Erfolgen eintritt.

Du solltest beachten, dass das Ergebnis die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl von Erfolgen ist. In unserem Würfelspiel brauchten wir zum Beispiel genau drei Erfolge – nicht weniger und nicht mehr. Was würde passieren, wenn wir die Regeln so ändern würden, dass du mindestens drei Erfolge brauchst? Nun, dann müsstest du die Wahrscheinlichkeit von genau drei, genau vier und genau fünf Erfolgen berechnen und alle diese Werte addieren.

Wie man den Binomialverteilung-Rechner benutzt: ein Beispiel

Lass uns das Problem des Würfelspiels gemeinsam lösen.

  1. Bestimme die Anzahl der Ereignisse. n ist gleich 5, da wir fünf Würfel werfen.

  2. Bestimme die erforderliche Anzahl von Erfolgen. r ist gleich 3, denn wir brauchen genau drei Erfolge, um das Spiel zu gewinnen.

  3. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem sechsseitigen Würfel eine 1, 2, 3 oder 4 zu würfeln, ist 4 von 6, also 0,667. Daher ist k gleich 0,667 oder 66,7 %.

  4. Berechne die Anzahl der Kombinationen (5 über 3). Dazu kannst du den Kombinationsrechner verwenden. In unserem Fall beträgt diese Zahl 10.

  5. Setze alle diese Werte in die obige binomische Wahrscheinlichkeitsformel ein:

    P(X = 3) = 10 × 0,6673 × (1-0,667)(5-3)
    = 10 × 0,6673 × (1-0,667)(5-3)
    = 10 × 0,296 × 0.3332
    = 2,96 × 0,111 = 0,329

  6. Du kannst dir auch etwas Zeit sparen und stattdessen den Rechner für die Binomialverteilung benutzen :)

Berechnung der kumulativen Wahrscheinlichkeit

Manchmal möchtest du nicht die genaue Anzahl der Erfolge wissen, sondern die Wahrscheinlichkeit, r oder mehr Erfolge oder r oder weniger Erfolge zu erzielen. So berechnest du die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Bereich von Erfolgen:

  1. Verwende die Formel für die Binomialwahrscheinlichkeit, um die Erfolgswahrscheinlichkeit (P) für alle möglichen Werte von r zu berechnen, an denen du interessiert bist.
  2. Addiere die p-Werte für alle r innerhalb des interessierenden Bereichs.

Die Wahrscheinlichkeit, beim viermaligen Werfen einer Münze (p = 0,5 und n = 4) zwei oder weniger Erfolge zu erzielen, wäre zum Beispiel:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X ≤ 2) = 37,5% + 25% + 6,25%

P(X ≤ 2) = 68,75%

Diese Berechnung wird durch die Optionen des Binomialverteilung-Rechners vereinfacht. Du kannst aus folgenden Optionen für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit auswählen:

  • Genau r Erfolge: P(X = r),
  • r oder mehr Erfolge: P(X ≥ r),
  • r oder weniger Erfolge: P(X ≤ r), oder
  • Zwischen r₀ und r₁ Erfolge P(r₀ ≤ X ≤ r₁).

Experimente zur Binomialwahrscheinlichkeit

Die Binomialverteilung erweist sich in Experimenten als sehr praktisch. Das Ergebnis eines solchen Zufallsexperiments muss jedoch binär sein: bestanden oder nicht bestanden, anwesend oder abwesend, zustimmend oder ablehnend. Es ist unmöglich, dieses Prinzip anzuwenden, wenn es drei oder mehr mögliche Ergebnisse gibt.

Abgesehen vom Würfeln oder Werfen einer Münze kann es aber auch in weniger eindeutigen Fällen eingesetzt werden. Hier sind ein paar Fragen, die du mit der Binomialwahrscheinlichkeit beantworten kannst:

  • Wird ein neues Medikament bei einem zufällig ausgewählten Patienten wirken?
  • Wird eine Glühbirne, die du gerade gekauft hast, richtig funktionieren, oder nicht?
  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine Testfrage, die du gerade gezogen hast, richtig beantwortest?
  • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Wähler bei einer Wahl für einen Kandidaten stimmt?
  • Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Gruppe von Schülern an einer angesehenen Universität angenommen wird?

Experimente mit genau zwei möglichen Ergebnissen, wie die oben genannten, sind typische Beispiele für die Binomialverteilung, die auch Bernoulli-Versuche genannt werden.

In der Praxis findest du Beispiele für die Binomialwahrscheinlichkeit oft in Bereichen wie der Qualitätskontrolle, wo diese Methode verwendet wird, um die Effizienz von Produktionsprozessen zu prüfen. Das auf der Binomialverteilung basierende Prüfverfahren ist darauf ausgelegt, eine ausreichende Anzahl von Kontrollen durchzuführen und die Wahrscheinlichkeit, ein fehlerhaftes Produkt herzustellen, zu minimieren.

Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines unabhängigen Ereignisses in deinem Experiment (p) nicht kennst, sammle historische Daten und teile die Anzahl der Erfolge (y) durch die Gesamtzahl der Ereignisse p = y/n.

Sobald du die Erfolgsquote (oder Misserfolgsquote) für ein einzelnes Ereignis ermittelt hast, musst du entscheiden, wie hoch die akzeptable Anzahl von Erfolgen (oder Misserfolgen) auf lange Sicht ist. Ein fehlerhaftes Produkt in einer Charge von fünfzig ist zum Beispiel keine Tragödie, aber du möchtest doch nicht, dass jedes zweite Produkt fehlerhaft ist, oder?

Bernoulli-Versuche sind auch perfekt zum Lösen von Netzwerksystemen. Interessanterweise können sie dazu verwendet werden, Wege zwischen zwei Knoten in einem Diagramm zu berechnen. Das ist der Fall bei Wheatstone-Brücken, einer Darstellung eines Stromkreises, der zur Messung des elektrischen Widerstands gebaut wurde.

Wie die Binomialverteilungstabelle liefert unser Rechner Ergebnisse, die dir helfen, deine Chancen abzuschätzen. Wenn du möchtest, kannst du aber auch einen Blick auf diese Binomialverteilungstabelle werfen. Sie sagt dir, wie hoch der Wert der Binomialverteilung für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit und Anzahl von Erfolgen ist.

Mittelwert und Varianz der Binomialverteilung

Eine der spannendsten Eigenschaften von Binomialverteilungen ist, dass sie die Summe einer Anzahl n von unabhängigen Ereignissen darstellen. Jedes von ihnen (Z) kann in einem bestimmten Zeitraum die Werte 0 oder 1 annehmen.

Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Z eintritt, ist p. Da die Ereignisse nicht korrelieren, können wir die Additionseigenschaften der zufälligen Variablen nutzen, um den Mittelwert (Erwartungswert) der Binomialverteilung μ = np zu berechnen.

Die Varianz einer Binomialverteilung ist als: σ² = np(1-p) gegeben. Je größer die Varianz, desto stärker weicht eine zufällige Variable von ihrem Mittelwert ab. Eine kleine Varianz bedeutet, dass die Ergebnisse über einen engeren Wertebereich verteilt sind.

Die Standardabweichung der Binomialverteilung, ein weiteres Maß für die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, ist einfach die Quadratwurzel aus der Varianz, σ. Denke daran, dass die Standardabweichung, die aus deiner Stichprobe (den tatsächlich gesammelten Beobachtungen) berechnet wird, von der Standardabweichung der Grundgesamtheit abweichen kann. Wenn du diese Unterscheidung verwirrend findest, gibt es hier eine tolle Erklärung dieser Unterscheidung.

Hinter diesen Formeln verbirgt sich eine klare Intuition. Nehmen wir an, du wirfst eine Münze 20 Mal:

  • p ist dann 0,5 (es sei denn, die Münze ist manipuliert);
  • Jedes Z hat eine gleichwertige Chance von 0 oder 1;
  • Die Anzahl der Versuche, n, ist 20.

Diese Abfolge von Ereignissen erfüllt die Voraussetzungen für eine Binomialverteilung.

Der Mittelwert dieses einfachen Experiments ist: np = 20 × 0,5 = 10. Wir können sagen, dass wir im Durchschnitt, wenn wir das Experiment viele Male wiederholen, erwarten, dass zehnmal Kopf geworfen wird.

Die Varianz dieser Binomialverteilung ist np(1-p) = 20 × 0,5 × (1-0,5) = 5. Ziehe die Quadratwurzel aus der Varianz und du erhältst die Standardabweichung der Binomialverteilung: 2,24. Dementsprechend weichen die typischen Ergebnisse eines solchen Versuchs um etwa 2 von seinem Mittelwert ab. Daher erwarten wir bei den meisten Versuchen zwischen 8 und 12 Erfolge.

Benutze unseren Binomialwahrscheinlichkeit-Rechner, um den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung der Binomialverteilung anhand der von dir angegebenen Anzahl von Ereignissen und der Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs zu ermitteln.

Weitere Überlegungen

Die Binomialverteilung wurde von dem Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli entwickelt und ist eine allgemeinere Formulierung der Poisson-Verteilung. Bei letzterer gehen wir einfach davon aus, dass die Anzahl der Ereignisse (Versuche) riesig, die Wahrscheinlichkeit eines einzigen Erfolgs aber klein ist.

Die Binomialverteilung ist eng mit dem Binomialsatz verbunden, der sich bei der Berechnung von Permutationen und Kombinationen als nützlich erweist. Sieh dir dafür auch unseren Permutationsrechner 🇺🇸 an!

Denke daran, dass die Formel der Binomialverteilung eine diskrete Verteilung beschreibt. Die möglichen Ergebnisse aller Versuche müssen unterschiedlich sein und dürfen sich nicht überschneiden. Außerdem müssen die beiden Ergebnisse eines Ereignisses komplementär sein: Für ein gegebenes p gilt immer q = 1-p.

Wenn es eine Chance gibt, ein Ergebnis zwischen den beiden Ausgängen zu erhalten, z. B. 0,5, sollte die Binomialverteilungsformel nicht verwendet werden. Das Gleiche gilt für Ergebnisse, die nicht binär sind; z. B. kann ein Effekt in deinem Experiment als gering, mittel oder hoch in drei oder mehr Ausgänge eingestuft werden.

Bei einer ausreichend großen Anzahl von Versuchen kann die Formel der Binomialverteilung durch die Spezifikation der Gaußschen (Normal-)Verteilung mit einem bestimmten Mittelwert und einer bestimmten Varianz angenähert werden. So können wir die sogenannte Stetigkeitskorrektur durchführen und nicht-ganzzahlige Argumente in der Wahrscheinlichkeitsfunktion berücksichtigen.

Vielleicht brauchst du noch etwas Übung mit den Beispielen für die binomische Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Versuche noch einmal, die Aufgabe des Würfelbeispiels zu lösen, aber dieses Mal brauchst du drei oder mehr Erfolge, um zu gewinnen. Wie steht die Chance, genau 4 zu bekommen?

FAQ

Ist die Binomialverteilung diskret oder kontinuierlich?

Die Binomialverteilung ist diskret – sie nimmt nur eine endliche Anzahl von Werten an.

Wie berechne ich den Mittelwert einer Binomialverteilung?

Um den Mittelwert (Erwartungswert) einer Binomialverteilung B(n,k) zu berechnen, musst du die Anzahl der Versuche n mit der Erfolgswahrscheinlichkeit k multiplizieren, das heißt: Mittelwert = n × k.

Wie berechne ich die Standardabweichung einer Binomialverteilung?

Finde die Standardabweichung einer Binomialverteilung B(n,k):

  1. Berechne die Varianz als n × k × (1-k), wobei n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist.
  2. Ziehe die Quadratwurzel aus der in Schritt 1 erhaltenen Zahl.
  3. Das war's! Herzlichen Glückwunsch :)

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit von 3 Erfolgen in 5 Versuchen, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit 0,5 ist?

Um diese Wahrscheinlichkeit zu finden, musst du:

  1. Dich an die Binomialverteilungsformel erinnern P(X = r) = nk × pʳ × (1-p)ⁿ-ʳ. Wir wenden sie mit den folgenden Daten an:

    • Anzahl der Versuche: n = 5;

    • Anzahl der Erfolge: r = 3; und

    • Erfolgswahrscheinlichkeit: p = 0,5.

  2. 5 über 3 berechnen: nk = 10.

  3. Diese Werte in die Formel einsetzen:

    P(X = 3) = 10 × 0,5² × 0,5³ = 0,3125.

  4. Die Wahrscheinlichkeit von 3 Erfolgen in 5 Versuchen ist 31,25%.

Jakub Janus, PhD and Jasmine J Mah
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