Würfel Wahrscheinlichkeitsrechner

Dieser Rechner für die Würfelwahrscheinlichkeit wird dir behilflich sein, wenn du die Würfelwahrscheinlichkeit bestimmter Augenzahlen für verschiedene Arten von Würfeln abschätzen möchtest. Da der Rechner eine Auswahl an verschiedenen polyedrischen Würfeln bietet, kannst du sowohl die Wahrscheinlichkeiten für einen 20-seitigen Würfel als auch die eines normalen kubischen Würfels berechnen.

Also, schätze deine Chancen ab und spiele ein Spiel! Im folgenden Text findest du kurze Beschreibungen zu allen Optionen des Rechners.

Jeder weiß, was ein normaler 6-seitiger Würfel ist, und höchstwahrscheinlich hast du ihn in schon Tausenden von Spielen benutzt. Aber wusstest du, dass es verschiedene Arten von Würfeln gibt? Von den unzähligen Möglichkeiten sind die beliebtesten Würfel im Dungeons & Dragons Würfelset enthalten, das sieben verschiedene mehrflächige Würfel enthält:

• 4-seitige Würfel, auch bekannt als Tetraeder — jede Seite ist ein gleichseitiges Dreieck;
• 6-seitige Würfel, ein klassischer Würfel — jede Seite ist ein Quadrat;
• 8-seitiger Würfel, auch bekannt als Oktaeder — jede Seite ist ein gleichseitiges Dreieck;
• 10-seitiger Würfel, auch bekannt als Fünfeck-Trapezoeder — jede Seite hat eine Drachenform;
• 10-seitiger Würfel mit Augenzahlen von 00 bis 90 in Zehnerschritten — wird, in Kombination mit weiteren 10-seitigen Würfeln, für Perzentil-Würf verwendet;
• 12-seitiger Würfel, auch bekannt als Dodekaeder — jede Seite ist ein regelmäßiges Fünfeck und
• 20-seitiger Würfel, auch bekannt als Ikosaeder — jede Seite ist ein gleichseitiges Dreieck.

Keine Sorge, wir berücksichtigen jeden dieser Würfel in unserem Rechner. Du kannst unterschiedlichste Optionen wählen, und z. B. so tun, als würdest du fünf 20-seitige Würfel auf einmal werfen!

Nun, die Frage wirkt auf den ersten Blick etwas komplex, aber du wirst gleich sehen, dass die Lösung gar nicht so schwierig ist! Du brauchst nur Grundlagen von Mathematik und Statistik.

Zunächst einmal müssen wir bestimmen, welche Art von Wahrscheinlichkeit wir finden wollen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, welche du mit diesem Rechner untersuchen kannst.

Bevor wir Berechnungen durchführen, sollten wir einige Variablen definieren, die wir in den Formeln verwenden werden:

• n – die Anzahl der Würfel,
• s – die Anzahl der Würfelseiten,
• p – die Wahrscheinlichkeit, eine Augenzahl eines Würfels zu würfeln und
• P – die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Problem.

Man kann einen einfachen Zusammenhang feststellen – p = 1/s. Die Wahrscheinlichkeit, eine 7 auf einem 10-seitigen Würfel zu erhalten, ist also doppelt so hoch wie bei einem 20-seitigen Würfel.

Arten von Wahrscheinlichkeiten:

1. Die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf auf jedem Würfel die gleiche Augenzahl zu würfeln – Dazu müssen wir nur die Wahrscheinlichkeit p (die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl bei einem einzelnen Würfel zu erhalten) so oft mit sich selbst multiplizieren, wie die Anzahl der Würfel beträgt. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit P ist gleich p hoch n, oder P = pⁿ = (1/s)ⁿ. Wenn wir drei 20-seitige Würfel betrachten, ist die Wahrscheinlichkeit, 15 zu würfeln, bei jedem von ihnen gleich: P = (1/20)³ = 0,000125 ( P = 1,25 · 10^-4). Wenn du für jeden Würfel die gleiche (aber egal, welche) Augenzahl bekommen willst — nicht nur drei 15er, sondern drei beliebige identische Zahlen, dann multipliziere das Ergebnis einfach mit der Gesamtzahl der Würfelflächen: P = 0,000125 · 20 = 0,0025.

2. Die Wahrscheinlichkeit, eine Augenzahl zu würfeln, die gleich oder größer als ein bestimmter Wert y ist – Das Problem ist dem vorigen ähnlich, dieses Mal ist p aber 1/s multipliziert mit allen Möglichkeiten, welche die Anfangsbedingung erfüllen. Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben einen normalen Würfel und y = 3. Wir möchten, dass der gewürfelte Wert entweder 6, 5, 4 oder 3 entspricht. Die Variable p ist dann 4 · 1/6 = 2/3, und die Wahrscheinlichkeit eine dieser vier Zahlen zu würfeln ist P = (2/3)ⁿ.

3. Die Wahrscheinlichkeit, eine Augenzahl zu würfeln, die gleich oder kleiner als ein bestimmter Wert y ist – In diesem Fall sind wir nur an Zahlen interessiert, die gleich oder kleiner als unser festgelegter Wert y sind. Unter gleichen Annahmen (s=6, y=3) erfüllen die Werte 1, 2 und 3 unsere Bedingung (y ≤ 3) und die Wahrscheinlichkeit beträgt somit: P = (3 · 1/6)ⁿ = (1/2)ⁿ.

4. Die Wahrscheinlichkeit, genau X gleiche Werte (gleich y) zu würfeln — Stell dir vor, du hast eine Menge von sieben 12-seitigen Würfeln (s = 7), und möchtest die Wahrscheinlichkeit berechnen, genau zweimal die Augenzahl 9 zu erhalten. Dieser Fall ist etwas anders als die vorherigen, da nur ein Teil des gesamten Wurfes die Bedingungen erfüllen muss. Hier kommt die Binomialverteilung ins Spiel. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Binomialverteilung lautet:

   P(X=k) = nCr · p^k · (1-p)^n-k,

   wobei k die Anzahl der Erfolge und nCr der Binomialkoeffizient ist, welcher die Anzahl der Kombinationen bestimmt (aus dem Englischen „n choose r“, auf Deutsch als „n über k“ oder „k aus n“ bekannt).

   In unserem Beispiel haben wir n = 7, p = 1/12, k = 2, nCr = 21, sodass die Gleichung folgendermaßen lautet: P(X=2) = 21 · (1/12)² · (11/12)⁵ = 0,09439, oder P(X=2) = 9,439 % in Prozent.

5. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens X gleiche Werte (gleich y) zu würfeln — das Problem ähnelt dem vorherigen, nur dass das Ergebnis dieses Mal die Summe der Wahrscheinlichkeiten für X=2, 3, 4, 5, 6, 7 ist. Wir haben also: P = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 0,11006 = 11,006%. Wie zu erwarten war, ist das Ergebnis etwas höher. Manchmal erhöht eine genauere Formulierung der Aufgabenstellung deine Erfolgschancen.

6. Die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahlen-Summe r beim Wurf von n s-seitigen Würfeln zu erhalten — die allgemeine Formel ist ziemlich komplex:

Wir können versuchen, dieses Problem handschriftlich zu lösen. Ein Ansatz besteht darin, die Gesamtzahl der möglichen Summen zu ermitteln. Mit zwei regulären Würfeln können wir 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 erhalten, aber die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sind nicht gleich hoch!

Es gibt nur eine Möglichkeit, 2 als die Summe zu erhalten: 1+1, aber für die Summe 4 gibt es drei verschiedene Möglichkeiten: 1+3, 2+2, 3+1, und für die Summe 12 gibt es wiederum nur eine Variante: 6+6. Es stellt sich heraus, dass 7 die wahrscheinlichste Summe ist, die sich aus sechs verschiedenen Kombinationen ergeben kann: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, und 6+1. Die Anzahl der Variationen (mit Wiederholungen) für die Menge ist 36. Unser permutation Rechner 🇺🇸 kann dir helfen, mögliche Variationen für andere Würfeltypen zu finden (Vorsicht! Das Wort permutations wird auf Englisch oft verwendet, um Variationen zu beschreiben). Wir können die Wahrscheinlichkeiten als das Verhältnis der gewünschten Ergebnisse zu allen möglichen Ergebnissen beschreiben: P(2) = 1/36, P(4) = 3/36 = 1/12, P(12) = 1/36, P(7) = 6/36 = 1/6.

Je höher die Anzahl der Würfel ist, desto mehr nähert sich die Verteilungsfunktion der Summen der Normalverteilung an. Wie du dir vorstellen kannst, mit zunehmender Anzahl von Würfeln und Würfelseiten wird für die Auswertung der Ergebnisse auf einem Blatt Papier mehr Zeit benötigt. Zum Glück findet unser Rechner blitzschnell die Antwort!

7. Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe aus dem Set zu würfeln, die gleich oder größer ist als X — wie in der vorherigen Aufgabe müssen wir alle Ergebnisse finden, die dieser Voraussetzung entsprechen, und sie durch die Anzahl aller Möglichkeiten teilen. Nun möchten wir bei einem Satz von drei 10-seitigen Würfeln eine Summe erhalten, die ≥ 27 ist. Wir müssen dafür die Zahlen der Permutationen für die Summen 27, 28, 29 und 30 aufaddieren, die jeweils 10, 6, 3 und 1 sind. Insgesamt gibt es 20 Ergebnisse, die unsere Bedingung erfüllen, aus insgesamt 1000 Möglichkeiten, sodass sich die endgültige Wahrscheinlichkeit folgendermaßen berechnen lässt: P(X ≥ 27) = 20 / 1,000 = 0,02.

8. Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe zu würfeln, die kleiner oder gleich X ist — das Vorgehen ist genau dasselbe wie in der vorherigen Aufgabe, nur dass wir hier die Werte für Summen aufaddieren, die kleiner oder gleich dem Zielwert X sind. Wie groß ist die Chance, mit dem gleichen Würfelset wie oben, eine Summe von höchstens 26 zu würfeln? Wenn wir Schritt für Schritt vorgehen, würde es ewig dauern, bis wir zum Ergebnis kommen (die Werte für 26 Summen aufaddieren). Aber wenn du kurz darüber nachdenkst, haben wir gerade das komplementäre Ereignis im vorherigen Problem berechnet. Die Gesamtwahrscheinlichkeit komplementärer Ereignisse ist genau 1, also ist die Wahrscheinlichkeit eine Summe von höchstens 26 zu würfeln: P(X ≤ 26) = 1 - 0,02 = 0,98.

Bei vielen Brettspielen würfelt man abwechselnd mit einem oder mehreren Würfeln und die Ergebnisse können in verschiedenen Zusammenhängen nützlich sein. Nehmen wir an, du spielst Dungeons & Dragons und greifst an. Die Rüstungsklasse deines Gegners ist 17. Du wirfst einen 20-seitigen Würfel und hoffst auf ein Ergebnis von mindestens 15 — mit deinem Modifikator von +2. Das sollte ausreichen. Unter diesen Bedingungen ist die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Angriffs 0,30. Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Angriffs kennst, kannst du entscheiden, ob du dieses Ziel angreifen willst oder ein anderes, bei welchem du besseren Chancen hast.

Oder du spielst Die Siedler von Catan und hoffst, mit zwei 6-seitigen Würfeln die Summe von genau 8 zu würfeln, denn dieses Ergebnis bringt dir wertvolle Ressourcen. Benutze einfach unseren Rechner und du wirst sehen, dass die Chance bei 0,14 liegt - Du müsstest in dieser Runde Glück haben!

Es gibt verschiedene Arten von Spielen, wie z. B. Lotterien, welche auf der Idee basieren, einen Einsatz in Abhängigkeit von den Gewinnchancen zu machen. Das Würfeln ist eines davon. Obwohl es unvermeidlich ist, ein gewisses Risiko einzugehen, kannst du die günstigste Option wählen und deine Gewinnchancen dadurch maximieren. Schaue dir dieses Beispiel an:

Stelle dir vor, du spielst ein Spiel, bei welchem du eine von drei Möglichkeiten zur Auswahl hast, nämlich

• Die Summe von fünf 10-seitigen Würfeln ist mindestens 30.
• Die Summe von fünf 12-seitigen Würfeln ist höchstens 28.
• Die Summe von fünf 20-seitigen Würfeln ist mindestens 59.

Du gewinnst nur, wenn die von dir gewählte Option zutrifft. Du kannst auch passen, wenn du der Meinung bist, dass keine der Optionen eintreten wird. Intuitiv ist es schwierig, den wahrscheinlichsten Erfolg abzuschätzen, aber mit unserem Rechner hast du alle Wahrscheinlichkeiten in einem Wimpernschlag überblickt.

Die resultierenden Werte sind:

• P₁ = 0,38125 für 10-seitige Würfel,
• P₂ = 0,3072 für 12-seitige Würfel und
• P₃ = 0,3256 für 20-seitige Würfel.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Durchgang erfolgreich ist, berechnet sich aus dem Produkt der komplementären Ereignisse der verbleibenden Optionen:

• P₄ = (1-P₁) · (1-P₂) · (1-P₃) = 0,61875 · 0,6928 · 0,6744 = 0,2891.

Wir sehen, dass die günstigste Option die erste ist, während passen das unwahrscheinlichste Ereignis ist. Wir können nicht garantieren, dass du immer gewinnst, aber wir empfehlen dir dringend, das 10-seitige Würfelset zu wählen.

Die Wahrscheinlichkeit bestimmt, wie wahrscheinlich das Eintreten bestimmter Ereignisse ist. Die einfache Formel für die Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der gewünschten Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Bei Brettspielen oder Glücksspielen wird die Wahrscheinlichkeit für Würfel verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine bestimmte Zahl zu würfeln, z. B.: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine bestimmte Augenzahl zu erhalten?

Es gibt 36 Kombinationen, wenn man zwei Würfel wirft. Ein einzelner Würfel hat sechs Seiten, und bei jedem Wurf gibt es sechs mögliche Ergebnisse. Bei zwei Würfeln werden die Zahlen aller möglichen Ergebnisse miteinander multiplizieren — so erhält man 6 ∙ 6 = 36 zu erhalten. Bei weiteren Würfeln multipliziert man einfach wieder das Ergebnis mit 6. Wenn du Würfel mit einer anderen Form verwendest, gib die Anzahl ihrer Seiten anstelle von 6 ein.

Die Wahrscheinlichkeit ist 1/6 oder 0,1666667. Nehmen wir an, dass eine Summe von 7 mindestens einmal vorkommt. Bei 2 Würfeln gibt es 6 Möglichkeiten, 7 als die Summe der Augenzahlen zu erhalten — (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Die Gesamtzahl der Kombinationen für ein Würfelpaar beträgt 36. Die Wahrscheinlichkeit, 7 zu würfeln ist also 6/36 = 1/6 = 0,1666667.

20 Mal. Nehmen wir an, dass ein Würfelpaar 180 Mal gewürfelt wird. Es gibt 4 Möglichkeiten, 5 als die Summe der Augenzahlen zu erhalten — (1,4), (2,3), (3,2), und (4,1). Die Wahrscheinlichkeit, 5 zu würfeln, ist 4/36 = 1/9. Die erwartete Anzahl bei 180 Würfen ist 180 ∙ (1/9) = 20. Du wirst (wahrscheinlich) mindestens 20 Mal 5 als die Summe der Augenzahlen erhalten.

Nein, es ist immer eine Frage des Glücks, aber du kannst deine Chancen mit einigen Tricks erhöhen:

1. Lege deinen Zeigefinger und Daumen auf zwei Zahlen, die sich auf gegenüberliegenden Seiten befinden, und lass dabei die 1 und die 6 aufgedeckt.
2. Wirf den Würfel langsam und hoffe, dass der Würfel gerade rollt.

Der Trick besteht darin, dass du den Würfel über die verbleibenden Zahlen rollen lässt, wodurch sich seine Wahrscheinlichkeit, auf der Zahl 6 zu landen, erhöht.