Wurzel Rechner

Willkommen beim Wurzel-Rechner. Hier schauen wir uns die Theorie und Praxis der Berechnung der n-ten Wurzel aus einer Zahl, auch das n-te Radikal genannt, an.

Wir beginnen mit einer kurzen Erklärung, was eine Wurzel in der Mathematik ist, und geben ein paar einfache Beispiele, für die Berechnung der Quadratwurzel aus 2, die Quadratwurzel aus 3 oder die Kubikwurzel aus 4. Aber was ist, wenn du zum Beispiel die vierte Wurzel aus 81 berechnen möchtest? Keine Sorge, auch das zeigen wir dir!

Lehne dich zurück und genieße die Fahrt durch die Welt der Radikale!

Wir alle kennen Multiplikationen wie $12 \cdot 4 = 48$. Wenn wir dieselbe Zahl mehrmals multiplizieren möchten, dann können wir diese Rechenoperation in einer vereinfachten Form darstellen:

Die kleine $5$ wird Exponent genannt und bedeutet, wie oft wir die große Zahl (in diesem Fall $12$) mit sich selber multiplizieren. Wir nennen diese Operation Potenzieren ($5$-te Potenz von $12$).

Das Wurzelziehen ist die entgegengesetzte Operation. Um es zu veranschaulichen: Wenn wir einen ausgewachsenen Baum betrachten, sehen wir seine Blätter und seinen Stamm, aber alles beruht auf seinen Wurzeln. Ähnlich verhält es sich mit Zahlen: Wenn wir die Zahl $125$ sehen, zeigt uns ihre Wurzel den kleinen Samen, aus dem sie gewachsen ist. In diesem Beispiel zeigt uns das Wurzelziehen, dass das Samenkorn $5$ ist, denn $5^3 = 125$.

Formal gesehen ist die $n^{\mathrm{te}}$ Wurzel aus einer Zahl $a$ die Zahl $b$, sodass gilt:

Schauen wir uns zum Beispiel genauer an, was die Quadratwurzel aus einer Zahl ist. Angenommen, du baust in deinem Garten einen Swimmingpool. Er soll so lang wie breit sein und insgesamt einen Flächeninhalt von $24$ Quadratmetern haben. Wie kannst du herausfinden, wie lang die Seiten sein sollen? Richtig – indem du die Wurzel ziehst! In diesem Fall ist es die Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt, also die Quadratwurzel aus $24$.

Und was ist die Quadratwurzel aus dieser Zahl? Nun, lass uns herausfinden, wie wir sie finden können und wie Quadratwurzeln im Allgemeinen berechnet werden.

Manchmal ähnelt das Berechnen der Wurzel in der Mathematik einem kalkulierten Ratespiel. Wenn wir wissen, dass $3^4 = 81$ ist, können wir mit Sicherheit sagen, dass die $4.$ Wurzel von 81 gleich $3$ ist. Aber das müssen wir erst einmal herausfinden.

Was können wir also tun, wenn wir unsere praktische Tabelle mit den ersten hundert Zahlen und ihren ersten Potenzen zu Hause vergessen haben? Ist das ein hoffnungsloser Fall? Glücklicherweise nicht, aber darauf kommen wir gleich zurück.

Als Beispiel zeigen wir, wie man die Quadratwurzel aus $72$ berechnet. Unser wichtigstes Hilfsmittel ist dabei die Primfaktorzerlegung, d. h. die Zerlegung von $72$ in seine kleinstmöglichen Teile.

Bei der Primfaktorzerlegung nehmen wir eine Zahl (in unserem Fall $72$) und finden die kleinste Primzahl, durch die sie geteilt wird. Erinnere dich daran, dass eine Primzahl eine ganze Zahl ist, die nur zwei Teiler hat: $1$ und sich selbst. Es ist ziemlich einfach zu erkennen, dass dies in unserem Fall $2$ ist, denn:

Der nächste Schritt ist, die kleinste Primzahl des Ergebnisses der Division zu finden, d. h. von der Zahl $36$. Wenn wir so weitermachen, bis wir $1$ erreichen, erhalten wir die folgenden Primzahlen: $2$, $2$, $2$, $3$, $3$. Das ist die Primfaktorzerlegung von $72$ und bedeutet, dass:

Ist dir etwas an der Primfaktorzerlegung unklar? Es ist ein ziemlich interessantes mathematisches Problem, das manchmal sogar für Computer schwer zu lösen ist! Du kannst mehr darüber in Omni's Primfaktorzerlegung Rechner 🇺🇸 erfahren.

Wenn wir nun Paare aus den gleichen Zahlen bilden, sehen wir, dass wir je ein Paar $2$-en, ein Paar $3$-en und eine einzelne $2$ übrig haben. Damit können wir den quadratischen Rest von $72$ wie folgt schreiben:

Ein scharfes Auge wird feststellen, dass die einzige Zahl, die unter der Wurzel bleibt, genau der Einzelgänger ist, welcher kein Paar gefunden hat.

Aber was ist mit der $2$? Was ist die Quadratwurzel aus $2$? Die Quadratwurzel aus $2$, die Quadratwurzel aus $3$ oder jede andere Primzahl bringt uns zurück zu einem Ratespiel. Zum Glück können wir unseren Wurzel-Rechner verwenden, um herauszufinden, dass $\sqrt{2} \approx 1,\!4142$ ist, was ergibt:

Wenn wir gefragt werden: „Was ist die Quadratwurzel aus ...?”, sollten wir zunächst die Primfaktorzerlegung durchführen, um das Problem zu lösen. Wenn (wie oben) am Ende eine kleine Zahl übrig bleibt, können wir sie mit einem Tool wie dem Wurzel-Rechner ermitteln.

Aber was ist mit höheren Radikalen? Was ist, wenn ich z. B. die vierte Wurzel aus einer Zahl ziehen möchte?” Wie praktisch, dass du fragst! Das ist genau das Problem, mit dem wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.

Erinnere dich daran, wie wir im ersten Abschnitt einen Swimmingpool bauen wollten. Nehmen wir jetzt an, du möchtest, dass der Pool ein riesiger Würfel ist, der $1728$ Kubikmeter Wasser fasst.

Wie findest du die Seitenlänge eines solchen Pools? Ja, indem du die Kubikwurzel aus der Zahl berechnest (daher kommt der Name Kubikwurzel). Sie sagt uns, dass die Länge dies betragen sollte:

Aber wie sind wir dahin gekommen? Glücklicherweise ist die wichtigste Methode hier dieselbe: die Primfaktorzerlegung. Wenn wir das Verfahren auf $1728$ anwenden, erhalten wir:

Jetzt kommt der Unterschied – Anstatt Paare, bilden wir Dreiergruppen. Darauf deutet das kleine $3$ im Wurzelsymbol hin – wir brauchen Dreierpotenzen. Beachte, dass die Quadratwurzeln eigentlich Radikale der Ordnung $2$ sind, die $2$ wird aus Konventionsgründen aber in der Regel nicht geschrieben.

Um auf unser Problem zurückzukommen: Die Gruppierung erlaubt es uns, zu schreiben:

Wenn wir mit der Ordnung des Radikals höher gehen, gilt die gleiche Regel. Wenn wir die vierte Wurzel berechnen, gruppieren wir die Primzahlen zu Vierergruppen. Wenn du z. B. die vierte Wurzel aus $81$ berechnest, stellst du zuerst fest, dass:

Wir haben also vier $3$en. Das bedeutet, dass die $4.$ Wurzel von $81$ gleich $3$ ist. Und wenn wir die n-te Wurzel berechnen, nehmen wir Gruppen von $n$ Elementen. Wenn nach der Faktorisierung noch Zahlen übrig bleiben, berechnen wir sie einfach mit einem externen Tool wie unserem Wurzel-Rechner.

Nach all der Zeit, in der wir uns mit der Theorie beschäftigt haben, ist es höchste Zeit, dass wir uns ein Praxisbeispiel ansehen!

Glückwunsch, es ist ein Junge! Jetzt, wo du ein Elternteil geworden bist, beschließt du, früh damit anzufangen, etwas Geld für sein College zu sparen. Du nimmst einen guten Teil deines Ersparten und legst ihn für die nächsten achtzehn Jahre auf ein Sparkonto, damit der Betrag zusammen mit deinem Kind wächst.

Angenommen, du hast es geschafft, $8000€$ (nenne diese Menge $\mathrm{Anfangsbetrag}$) zurückzulegen. Leider hast du irgendwie den Zinssatz für die Investition vergessen, der Endbetrag wird für dich also genauso überraschend sein wie für deinen Sohn.

Die Jahre vergehen, und schließlich ist es an der Zeit, deinem Kind das gesparte Geld zu schenken. Du rufst bei der Bank an, und es stellt sich heraus, dass auf dem Konto $12\hspace{0.5mm}477,\!27€$ liegen (wir nennen diesen Betrag$\mathrm{Endbetrag}$). Nicht schlecht, oder? Es sieht so aus, als könntest du die Träume deines Sohnes wahr werden lassen.

Aber nur für dich, nur aus reiner Neugier: Können wir den Zinssatz anhand der Zahlen, die wir gegeben haben, berechnen?

Sicher können wir das, und der Wurzel-Rechner wird uns dabei helfen!

Nehmen wir an, dass die Zinsen am Ende eines jeden Jahres dem Konto gutgeschrieben werden und dass das Geld nicht versteuert wird (ja, wir wissen, dass das ein bisschen weit hergeholt ist). Dann wird der Betrag, den wir am Ende erhalten, durch die Formel beschrieben:

Wobei die $18$ gleich den achtzehn Jahre entspricht, die das Geld auf der Bank lag. Das ist auch die Formel, die du im Zinsrechner findest. In unserem Fall bedeutet das Folgendes:

Wenn wir beide Seiten durch $8000€$ teilen, erhalten wir:

Oder gerundet:

Wenn wir also die $18\mathrm{te}$ Potenz auf der rechten Seite haben, müssen wir das $18\mathrm{te}$ Radikal der Zahl auf der linken Seite finden. Das ist etwas komplizierter als die Quadratwurzel von $3$, oder?

Wir wenden uns an unseren Wurzel-Rechner. Dort haben wir zwei Zahlenfelder: $a$ und $n$. Das symbolische Bild des Rechners zeigt, dass $n$ die Ordnung der Wurzel ist, also geben wir $n = 18$ ein. Im Gegenzug ist $a$ die Zahl unter dem Radikal, also setzten wir $a = 1,\!5597$ ein. Dadurch erhalten wir die Antwort:

Wenn wir das Ergebnis in Prozentwerte umrechnen, erhalten wir:

Das scheint ziemlich wenig zu sein, aber oh, wie das Geld in achtzehn Jahren gewachsen ist!

Na gut, Neugierde befriedigt, Zeit, zum Geburtstagskuchen zurückzukehren. Hoffen wir, dass dein Sohn das Geld gut verwendet und sich an sein Studium hält.

Eine Methode zum Schätzen von Quadratwurzeln ist die babylonische Methode. Beginne mit einer Schätzung der Quadratwurzel und teile die ursprüngliche Zahl durch deine Schätzung. Dann ermittelst du den Durchschnitt aus deiner Schätzung und dem Ergebnis der Division. Fahre fort, bis du die erforderliche Genauigkeit erreicht hast.

Um zum Beispiel die Quadratwurzel aus 2 zu finden:

1. Beginne mit einer Schätzung von 1,5.
2. Dividiere 2 durch 1,5, was 1,3333 ergibt.
3. Finde den Durchschnitt von 1,5 und 1,3333, der 1,4167 beträgt.
4. Wiederhole die Schritte 2 und 3, bis sich das Ergebnis auf die gewünschte Genauigkeit annähert.

Um die Kubikwurzel einer Zahl auf einem normalen Taschenrechner zu ermitteln, gib die Zahl ein und drücke dann die ∛x-Taste. Auf einem wissenschaftlichen Grafikrechner drückst du die ∛-Taste und gibst dann die Zahl ein.

Um höhere Wurzeln mit einem normalen Taschenrechner zu bestimmen, gibst du die Ordnung der Wurzel ein, drückst die Taste ^y√x und gibst schließlich die Zahl ein. Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner sind die Schritte die gleichen, auch wenn die Taste vielleicht mit ^x√ beschriftet ist.

Um die Quadratwurzel einer Zahl in Excel oder Google Sheets zu berechnen, verwendest du die Funktion SQRT() oder WURZEL(), je nachdem, ob dein Excel auf Deutsch oder Englisch eingestellt ist. Um zum Beispiel die Quadratwurzel einer Zahl in Zelle A1 zu berechnen, gibst du die Formel =WURZEL(A1) ein.

Acht. Wenn wir 8 mit sich selbst multiplizieren, erhalten wir 64. Die Quadratwurzel aus einer Zahl zu ziehen bedeutet, die Zahl zu finden, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, die ursprüngliche Zahl ergibt.

Da die Quadratwurzel der Zahl 64 eine ganze Zahl ist, nennt man 64 eine perfekte Quadratzahl. Dies resultiert daraus, dass sie durch die Anordnung von 64 Elementen in einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 8 Elementen dargestellt werden kann.