Potenzen Rechner

Der Exponent-Rechner berechnet den Wert einer beliebigen Basis in einer beliebigen Potenz. Auf dieser Seite werden alle damit zusammenhängenden Themen behandelt, einschließlich der Gesetze für Exponenten und den negativen Exponenten. Beginnen wir mit den Grundlagen.

Ein Exponent zeigt an, wie oft eine Zahl, die Basis genannt wird, mit sich selbst multipliziert wird. Er wird als kleine Zahl in der oberen rechten Ecke der Basis dargestellt. Zum Beispiel: x² bedeutet, dass du x zwei Mal mit sich selbst multiplizierst, also x × x. Ebenso 4² = 4 × 4, usw. Wenn der Exponent 3 ist, im Beispiel 5³, dann ist das Ergebnis 5 × 5 × 5.

Wenn du die Potenzierung von Hand durchführen möchtest, gehe wie folgt vor:

1. Bestimme die Basis und die Potenz, auf die sie erhöht wird, zum Beispiel 3⁵.
2. Schreibe die Basis so oft wie den Exponenten. 3 3 3 3 3
3. Setze ein Multiplikationssymbol zwischen jede Basis. 3 × 3 × 3 × 3 × 3.
4. Multipliziere! 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243.

Bei kleinen Zahlen ist das Potenzieren einfach, aber es wird knifflig, wenn die Basis groß oder eine Dezimalzahl ist, oder wenn der Exponent groß, negativ oder eine Bruchzahl ist. Zögere nicht, in solchen Fällen unser Tool zu benutzen!

Was passiert, wenn wir zwei Potenzen mit der gleichen Basis miteinander multiplizieren möchten? Wir addieren einfach die Exponenten! Betrachte zum Beispiel das Produkt 5³ × 5². Das ist einfach

5³ × 5² = (5 × 5 × 5) × (5 × 5) = (5 × 5 × 5 × 5 × 5) = 5⁵

Da wir zuerst 3 Kopien von 5 und dann 2 Kopien von 5 multiplizieren, multiplizieren wir insgesamt 5 Kopien von 5. Diese Eigenschaft lässt sich noch weiter ausdehnen, sodass wir das erste Gesetz der Exponenten erhalten:

xⁿ × x^m = x^{n + m}

Bei der Division von Potenzen verhält es sich ähnlich: Diesmal ziehen wir die Exponenten subtrahieren. Nehmen wir zum Beispiel 5³/5². Das ist:

5³/5² = (5 × 5 × 5)/(5 × 5) = 5 = 5¹

denn zwei 5er-Kopien des Divisors heben sich mit zwei 5er-Kopien des Dividenden auf, so dass nur eine 5 übrig bleibt. Damit haben wir das zweite Gesetz der Exponenten:

xⁿ/x^m = x^{n - m}

Das ist alles relativ einfach, wenn der Exponent positiv ist. Aber was ist, wenn der Exponent null, 0 oder negativ ist? Es stellt sich heraus, dass wir solche Exponenten betrachten können, solange sie den beiden Gesetzen der Exponenten aus dem vorherigen Abschnitt entsprechen!

Betrachten wir zunächst den Exponenten Null: Wir definieren 5⁰ = 1, wobei 5 durch eine beliebige positive Zahl x ersetzt wird. Die Logik dahinter ist, dass wir möchten, dass der Exponent das erste Gesetz der Exponenten erfüllt, d.h. wir möchten, dass die Identität 5ⁿ^ × 5⁰ = 5^{n + 0} = 5ⁿ gilt. Das ist nur möglich, wenn 5⁰ = 1!

Was ist, wenn der Exponent negativ ist, z.B. 5^-4? Dann vertauschen wir die Basis 5 mit ihrem Kehrwert 1/5 und ändern den negativen Exponenten in einen positiven, so dass 5^-4 = (1/5)⁴. Von da an gehen wir wie gewohnt vor. Wenn du es mit der Hand ausrechnen möchtest, findest du hier ein vollständiges Rezept:

1. Bestimme die Basis und den Exponenten.
2. Schreibe den Kehrwert der Basis und ändere das Vorzeichen des Exponenten in positiv.
3. Schreibe den Kehrwert der Basis genauso oft auf wie den Exponenten.
4. Setze jeweils ein Multiplikationssymbol dazwischen.
5. Multipliziere und erhalte das Ergebnis.

In unserem Beispiel erhalten wir:

5^-4 = (1/5)⁴ = (1/5) × (1/5) × (1/5) × (1/5) = 1/625 = 0.0016

Warum sind Potenzen mit negativen Exponenten so definiert? Nach dem zweiten Gesetz der Exponenten möchten wir:

5⁴ × 5^-4 = 5^{4 - 4} = 5⁰ = 1

und das ist nur möglich, wenn 5^-4 = 1/5⁴ = (1/5)⁴.

Probiere negative Exponenten mit dem Exponenten-Rechner aus.

Möchtest du ein Beispiel dafür sehen, wie sich Exponenten im echten Leben zeigen? Willkommen in der Welt der Bakterien! Bakterien vermehren sich durch Zellverdopplung, d. h. eine Bakterienzelle teilt sich in zwei Unterzellen. Verschiedene Bakterienarten teilen sich in unterschiedlichen Zeitabständen: Unter optimalen Bedingungen verdoppeln sich die E. coli-Bakterien zum Beispiel alle 20 Minuten.

Das bedeutet, dass sich jedes E. coli-Bakterium innerhalb einer Stunde in 8 Unterzellen teilt: Nach der ersten Zellverdopplung nach 20 Minuten sind es 2, nach 40 Minuten 4 und nach einer Stunde 8 Zellen. Das lässt sich mit Exponenten berechnen:

• Eine Stunde kann in 3 Intervalle von 20 Minuten aufgeteilt werden;
• Nach jedem 20-Minuten-Intervall teilt sich jede Zelle in zwei; daher
• Die Anzahl der Zellen nach einer Stunde ist 2³ = 8.

Was passiert, wenn wir unsere einzelne E. coli-Bakterienzelle 10 Stunden lang stehen lassen und sie sich ungehindert teilen lassen? Der Zeitraum von 10 Stunden besteht aus 30 Intervallen von je 20 Minuten. Am Ende des 10-Stunden-Zeitraums wird sich unsere Zelle also in 2³⁰ = 1.073.741.824 (über eine Milliarde) Zellen geteilt haben!

Das Quadrieren einer Basis (eine Zahl in die Potenz von 2 setzen) und das Ziehen der Quadratwurzel sind ähnliche Konzepte; tatsächlich sind sie entgegengesetzte Operationen, was bedeutet, dass die eine das Gegenteil von der anderen ist. Wenn du die Zahl 6 quadrieren möchtest, nimmst du 6 × 6 = 36. Wenn du nun herausfinden möchtest, was zwei identische Zahlen multiplizieren, um 36 zu erhalten, nimmst du die Quadratwurzel von 36. Diese Quadratwurzel ergibt den Wert von 6. Man kann auch feststellen, dass beim Quadrieren einer Quadratwurzel das Radikal entfernt wird.

Wenn du eine Basis kubierst (eine Zahl hoch 3), erhältst du einen perfekten Würfel 🇺🇸. Falls du die Kubikwurzel berechnen musst, kannst du unseren Kubikwurzel-Rechner benutzen, der die Kubikwurzel aus jeder Zahl berechnet.

In der modularen Arithmetik gibt es spezielle Methoden der Potenzierung - erfahre mehr mit dem Potenz modulo Rechner.

Außerdem kannst du dir unseren Logarithmus-Rechner ansehen, der die Umkehrfunktion des Exponenten ist.

32. Um 2 mit dem Exponenten 5 zu potenzieren, schreibe es als 2⁵ (2 hoch 5) und multipliziere die 2 fünfmal mit sich selber. Die Berechnung sieht dann so aus: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32.

Wenn du die Exponenten multiplizieren möchtest, stelle sicher, dass sie die gleiche Basis haben. Dann addierst du einfach die ursprünglichen Exponenten, um den neuen Exponenten des Produkts zu ermitteln. Ein Beispiel: Multipliziere 2³ mit 2⁵:

1. Addiere 3 + 5 = 8.
2. Schreibe das Ergebnis als 2⁸.
3. Berechne es als 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256.

Potenzen mit der gleichen Basis können geteilt werden, indem die Exponenten subtrahiert werden. Um es anzuschauen, berechnen wir 3⁷ geteilt durch 3⁴. Subtrahiere die Exponenten, um: 3^7-4 = 3³ = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 zu erhalten.

Für einen Bruch als Exponent (z. B. 1/n) lautet die allgemeine Regel, dass aus der Basis die n-te Wurzel (Nenner des Bruchs) gezogen wird. Zum Beispiel ist 2^1/2 gleich √2, 2^1/3 ist gleich ³√2, 2^1/4 ist gleich ∜2, und so weiter. Du kannst auch Omni Calculators Potenzrechner verwenden, um ein genaues Ergebnis zu erhalten.