Logarithmusrechner

Mit diesem Logarithmus-Rechner (Log-Rechner) kannst du den Logarithmus einer (positiven, reellen) Zahl zu einer beliebigen Basis (positiv, nicht gleich 1) berechnen. Egal, ob du den natürlichen Logarithmus, den Logarithmus zur Basis 2 oder zur Basis 10 suchst, der Rechner gibt dir die Antwort.

Lies weiter, um ein tieferes Verständnis über das Prinzip und die Rechengesetze von Logarithmen zu bekommen. Der Text hält zudem einige spannende und eventuell überraschende Beispiele für die Anwendung und das Vorkommen von Logarithmen in unserem Alltag bereit.

Falls du zudem auf der Suche nach anderen nützlichen Mathematikrechnern bist, wirf einen Blick auf unseren Kubikwurzel Rechner, mit dem du die Kubikwurzel (dritte Wurzel) aber auch jede andere beliebige Wurzel ziehen kannst.

Manchmal sind Zusammenhänge einfacher durch Visualisierungen zu verstehen. Schaue dir unser Youtube Video über Logarithmen an, um in 90 Sekunden den vollen Überblick haben:

Eine logarithmische Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion, welche in unserem Potenzrechner ausführlich erklärt wird. Wenn a hoch y = x ergibt, dann ist der Logarithmus von x zur Basis a = y. Als Gleichungen ist aʸ = x äquivalent zu logₐ(x) = y.

Mit anderen Worten, der Logarithmus von x oder logₐ(x) gibt an, auf welche Potenz a erhöht werden muss (oder, wenn x größer als 1 ist, wie oft a mit sich selbst multipliziert werden muss), um den Wert x zu erhalten.
Man kann also den folgenden Zusammenhang feststellen:

$\mathrm{a^{{log}_a(x)}} =\mathrm x$

Wir hoffen, dass dir diese Erklärung hilft, das Prinzip hinter Logarithmen zu verstehen. Im folgenden Text schauen wir uns den natürlichen und dekadischen Logarithmus (Zehnerlogarithmus) genauer an.

So wie du verschiedenste Zahlen potenzieren kannst, kannst du diese Zahlen auch als Basis des Logarithmus verwenden. Die am häufigsten vorkommenden Basen sind 2 und 10. Der Logarithmus der Basis 10 ist der dekadischer Logarithmus. Den Logarithmus zur Basis 2 kennst du vielleicht auch unter dem Namen natürlicher Logarithmus.

Natürlicher Logarithmus

Die Basis des natürlichen Logarithmus entspricht der Zahl 2,718281 (gerundet). Dir ist diese Basis vielleicht als Eulersche Zahl oder Basis e (ln zur Basis e) bekannt, benannt nach Leonard Euler, welcher ihren Wert 1731 definierte.
Dementsprechend kann der Logarithmus als logₑx dargestellt werden, wird in der Regel aber mit dem Symbol ln(x) ausgedrückt. Du kannst den natürlichen Logarithmus auch als log(x) schreiben, was insbesondere in der Ökonomie eine gängige Form ist.
Es gilt also: y = logₑx = ln(x), was im Umkehrschluss bedeutet x = eʸ = exp(y).

Um den natürlichen Logarithmus besser zu verstehen, kannst du dir das Beispiel Zinseszins anschauen. Zinseszinsen sind Zinsen, welche sowohl auf das Kapital als auch auf die sich darauf akkumulierenden Zinsen erhoben werden.

Die Formel für den jährlichen Zinseszins lautet wie folgt:

A = P(1 + r/m)ᵐᵗ

wobei:

• A – Wert der Anlage nach t Jahren,
• P – Anfangswert,
• r – jährlicher Zinssatz (in Dezimalzahlen),
• m – Anzahl der Zinstage pro Jahr und
• t – Anzahl der Jahre.

Nehmen wir an, du legst ein Jahr lang Geld bei einer Bank an, welche sehr häufig Zinseszinsen aufaddiert, sodass m schnell zu einer großen Zahl wächst. Es ist leicht zu erkennen, wie schnell der Wert von m ansteigt, wenn du die jährliche (m=1), monatliche (m=12), tägliche (m=365) oder stündliche (m=8 760) Anzahl der Zinstage pro Jahr vergleichst. Stellen wir uns vor, dass deine Geldanlage jede Minute oder Sekunde neu berechnet wird: m wird schnell zu einer beträchtlich hohen Zahl.

Prüfen wir nun, wie sich die steigende Anzahl der Zinstage pro Jahr auf deine ursprüngliche Anlage auswirkt:

Auch bei sehr hoher Anzahl der Zinstage pro Jahr (m), steigt der Wert von (1 + r/m)ᵐ (= der Zinseszins auf deine Anlage) nur minimal an, bis er einen relativ konstanten Wert um 2,7 annimmt. Das ist genau der Wert der Basis des natürlichen Logarithmus, welchen wir oben als e ≈ 2,718281 definierten.

Da sich Wachstumsraten oft ähnlich verhalten wie im obigen Beispiel, ist der natürliche Logarithmus eine grundlegende Funktion in der Ökonomie. Die zwei sehr bekannte Maßstäbe: Bruttoinlandsprodukt (BIP Rechner 🇺🇸) und die Preiselastizität der Nachfrage basieren auf dem natürlichen Logarithmus.

Dekadischer Logarithmus

Der dekadische Logarithmus wird auch als Zehnerlogarithmus oder Briggsscher Logarithmus bezeichnet, benannt nach dem englischen Mathematiker Henry Briggs. Er hat die 10 als Basis, log₁₀x und wird üblicherweise als lg(x) ausgedrückt.

Er ist die am häufigsten verwendete Form des Logarithmus und wird beispielsweise in unserem Dezibel Rechner verwendet. Logarithmentafeln, welche mit Beginn des 16. Jahrhunderts zur Erleichterung von Berechnungen entwickelt wurden, enthielten in der Regel auch den dekadischen Logarithmus für viele Werte.

In der nachfolgenden Tabelle findest du einige häufig verwendete Werte von dem dekadischen sowie natürlichen Logarithmus.

Stell dir vor, du möchtest den Logarithmus zu einer beliebigen Basis für eine Zahl berechnen, hast aber nur einen Rechner für den natürlichen und dekadischen Logarithmus zur Verfügung. Wende in diesem Fall folgende Formeln an:

• logₐ(x) = ln(x) / ln(a)
• logₐ(x) = lg(x) / lg(a)

Nehmen wir an, du möchtest mit diesem Rechner einen Logarithmus zur Basis 2 für eine beliebige Zahl berechnen:

1. Bestimme die Zahl, deren Logarithmus du ermitteln möchtest. Nehmen wir an, es ist 100.
2. Bestimme die Basis – in unserem Fall 2.
3. Finde den Logarithmus von 100 zur Basis 10. lg(100) = 2.
4. Finde den Logarithmus von 2 zur Basis 10. lg(2) = 0,30103.
5. Teile diese zwei Werte: lg(100)/lg(2) = 2 / 0,30103 = 6,644.
6. Du kannst die Schritte 3-5 natürlich auch unserem Logarithmusrechner überlassen.

Es gibt Hinweise darauf, dass das Konzept des Logarithmus bereits im 8. Jahrhundert in Indien bekannt war. Die ausgearbeitete Version des Konzepts erschien jedoch erstmals in dem im Jahr 1614 veröffentlichten Buch „Mirifici logarithmorum canonis descriptio” (frei übersetzt: Beschreibung des wundervollen Gesetzes der Logarithmen). Es war das Ergebnis 20-jähriger Forschung des schottischen Mathematikers John Napier, die darauf abzielte, seine astronomischen und physikalischen Berechnungen zu vereinfachen.

Im ersten Teil des Buches wird die Theorie der Logarithmen, ihre Eigenschaften und Anwendungsgebiete erklärt. Im zweiten Teil des Buches werden auf neunzig Seiten tabellarisch Beispiele für logarithmische Berechnungen aufgeführt. Napier weist auch auf die Grenzen seiner Arbeit hin und liefert Analogien, Beispiele und Schlussfolgerungen. Dieses fantastische Buch gleicht einer „Gebrauchsanweisung” für die Verwendung von logarithmischen Funktionen.

Da die meisten komplexeren Rechenoperationen unseres heutigen Alltags oft durch Computeralgorithmen für uns ausgeführt und uns somit abgenommen werden, ist es vielleicht etwas schwer, die Erfindung des Logarithmus so sehr wertzuschätzen. Doch im 17. Jahrhundert war dies eine bahnbrechende Entdeckung, welche das Leben der Menschen revolutionierte. Die Lösung mathematischer Probleme vor der Entdeckung logarithmischer Funktionen konnte Stunden, Tage oder sogar Jahre dauern.

Einer der ersten bedeutenden Fortschritte, den Logarithmen mit sich brachten, war die Vereinfachung von langen und komplexen Multiplikations- und Divisionsaufgaben durch Umwandlung dieser in leichtere Additions- und Subtraktionsaufgaben (heute als Rechenregeln für Logarithmen bekannt). Der einzige zusätzliche Aufwand war das Nachschlagen von Logarithmen und Antilogarithmen in Tabellen.

Napiers neues Rechenverfahren war für die Forschung in Astronomie und Astrophysik von entscheidender Bedeutung. Die Theorien vieler Astronomen zur Bestimmung der Position der Planeten anhand von Kopernikus' Theorie des Sonnensystems wurden durch endlose Berechnungen aufgehalten. Johannes Kepler, der zu dieser Zeit an seinen berühmten Gesetzen über die Bewegungen der Planeten arbeitete, war einer dieser Astronomen.

Dank Napiers Bemühungen konnte er sein Arbeitspensum, das zuvor fast tausend Seiten an Berechnungen erforderte, erheblich reduzieren, sodass er mehr Zeit den philosophischen Fragen widmen konnte.

Der berühmte britische Mathematiker Henry Briggs erkannte schnell das Potenzial der neuen Erfindung: Er zog nach Schottland, um Napier zu treffen, wo sie gemeinsam an möglichen Verbesserungen forschten.

Nach Modifizierungen der ursprünglichen Idee formulierten sie 1617 die erste Logarithmentafel auf der Grundlage von 10er-Potenzen (dekadischer Logarithmus lg). 1624, nach dem Tod Napiers, veröffentlichte Briggs sein Buch Arithmetica logarithmic, das Logarithmentafeln für 30 Tausend natürliche Zahlen mit 14 Dezimalstellen enthielt. Diese Form der Logarithmen wird heute als dekadische Logarithmen bezeichnet. (Katrici, 2007)

Die wachsende Popularität dieses neuen mathematischen Instruments regte zu weiteren Forschungen an. Im Jahr 1620 stellte Edmund Gunter den Rechenschieber für den Logarithmus vor, ein physikalisches Gerät, das für Multiplikationen und Divisionen verwendet wurde.

Die frühe Version des Instruments, die zum Messen einen Zirkel erforderte, wurde um 1622 von William Oughtred weiterentwickelt. Er entwarf den herkömmlichen Rechenschieber, ein Gerät mit zwei nebeneinander gleitenden Linealen.

Auf diese Weise schuf er einen neuen Ansatz für die weitere Erleichterung der Berechnung von Logarithmen. Rechenschieber wurden Standardequipment in Berufen, welche Arithmetik erforderten. Architekten, Ingenieure, Wissenschaftler wie Albert Einstein und sogar Astronauten verließen sich in ihren Berechnungen bis zum Beginn der digitalen Revolution auf ihn. Sogar die Besatzungen der Apollo-Missionen nahmen Rechenschieber mit ins All.

Im Vergleich zu den ersten Versionen von Computern hatte der Rechenschieber viele Vorteile:

• er ist klein und handlich,
• er benötigt keine Stromquelle,
• er ist relativ preiswert,
• er ist mechanisch und dadurch sehr zuverlässig,
• er ist einfach zu bedienen und
• er kann die meisten numerischen Probleme im Bereich der reellen Zahlen lösen.

In der heutigen Zeit haben moderne Computer und wissenschaftliche Taschenrechner die oben erwähnten, altmodischen Verfahren ersetzt. Dennoch hilft dir das Verständnis der Logarithmen, dein allgemeines logisches und mathematisches Verständnis zu erhöhen. Logarithmen finden zahlreiche praktische Anwendungen in alltäglichen sowie wissenschaftlichen Bereichen.

Die Tatsache, dass Logarithmen arithmetische Folgen mit geometrischen Folgen in Beziehung setzen, legt nahe, dass bestimmte Phänomene in der realen Welt ein logarithmisches Muster bilden könnten. In der Tat lassen sich in der Natur zahlreiche Beispiele finden, welche auf Logarithmen zurückzuführen sind.

Die folgenden Naturphänomene zeigen Beispiele logarithmischer Spiralen:

• Schale eines Nautilusschneckenhauses

• Galaxien

• Zyklone

Daneben gibt es weitere Phänomene, die mithilfe logarithmischer Darstellung beschrieben werden:

• Mineralhärte – Mohssche Härteskala,
• Angabe des Schalldruckpegels – Dezibel (dB),
• Windstärke – Beaufortskala,
• Angabe der Stärke von Erdbeben – Richterskala und
• Säure-/ Alkaliegehalt in Lösungen – pH-Wert.

💡Wusstest du, dass die Berechnung der Rauschzahl, welche für die Analysen von Lärmminderungen und -kontrollen von Bedeutung ist, durch Logarithmen erfolgt? Du kannst Genaueres dazu in unserem Rauschzahl Rechner 🇺🇸 herausfinden.

Vor Ende der 1970er Jahre, als Taschenrechner für die breite Öffentlichkeit noch nicht zugänglich waren, erforderte die Durchführung von Berechnungen, insbesondere mit Brüchen, einen erheblichen manuellen und zeitlichen Aufwand. Um diese mühsame Arbeit zu erleichtern, erwies sich die Anwendung von Logarithmen als praktisch.

Um den technischen Vorteil des Logarithmus nutzen zu können, müssen wir mit seinen grundlegenden Eigenschaften vertraut sein. Vermutlich hast du die Rechengesetze für Logarithmen schon einmal in deiner Schulzeit gehört. Wir haben sie in der folgenden Tabelle noch einmal zusammengefasst:

Um zu verstehen, wie hilfreich Logarithmen sind, lass und versuchen, das Produkt aus 5,89 ∙ 4,73 ohne elektronisches Rechenhilfsmittel zu berechnen. Das auf Papier schriftlich auszurechnen, würd etwas Zeit in Anspruch nehmen.
Stattdessen kannst du das Logarithmengsetz für Multiplikation unter Zuhilfenahme von Logarithmentafeln verwenden und eine relativ gute Annäherung an das Ergebnis erhalten.

Mit der Logarithmentafel könntest du den Logarithmus dieser Zahlen schnell überprüfen (oder du schaust im Internet nach einer online Logarithmentafel).
Lass uns kurz ein bisschen schummeln und unseren Taschenrechner anstatt der Logarithmentafel verwenden:

$\text{lg}(5,89) ≈ 0,7701153$ und $\text{lg}(4,73) ≈ 0,674861$

Durch Anwendung der Multiplikationsregel können wir die Gleichung so umschreiben:

$\text{lg}(5,89 \cdot 4,73) =\text{lg}(5,89) + \text{lg}(4,73) ≈ 0,770115 + 0,6748611$

$\text{lg}(5,89 \cdot 4,73) ≈ 1,4449761$

Da wir das genaue Ergebnis noch nicht kennen, potenzieren wir beide Seiten der obigen Gleichung und führen kleine Umformulierungen auf der rechten Seite der Gleichung durch.

$5,89 \cdot 4,73 ≈ 10^{1,4449761} = 10^{0,4449761} \cdot 10^1$

Schlage 10^0,4449761 nun in einer Antilogarithmen-Tabelle oder alternativ in unserem Antilogarithmus Rechner nach. Der Antilogarithmus von 0,4449761 zur Basis 10 beträgt 2,785968.

Forme die Gleichung um:

$5,89 \cdot 4,73 ≈ 2,785968 \cdot 10^1 = 27,85968$

Das obige Verfahren ist in der Ausführung natürlich deutlich komplizierter als die Eingabe der Werte in einen geeigneten Taschenrechner oder unseren Rechner. Um zu verstehen, wie hilfreich Logarithmen auch in unserer modernen Zeit sind, lass uns die Fakultät 🇺🇸 von 100 betrachten, die dem Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis 100 entspricht.

$100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ⋯ \cdot 99 \cdot 100$

Du kannst die Gleichung mithilfe von Logarithmen so umschreiben (die Werte müssen dabei gerundet werden):

$\text{lg100!} = \text{lg1} + \text{lg2} + \text{lg3} + ⋯ + \text{lg100} = 0 + 0,30103 + 0,47712 + ⋯ + 2 ≈ 157,97$

$100! ≈ 10^{0.97} \cdot 10^{157} = 9.3325 \cdot 10^{157}$

Clever, oder?