Potenz Modulo Rechner

Der Potenz-Modulo-Rechner von Omni hilft dir, Potenzen in der modularen Arithmetik zu berechnen. Er verwendet einen der schnellsten Algorithmen zur modularen Potenzierung. Solltest du die Potenzierung Modulo m jemals handschriftlich durchführen müssen, besprechen wir einige hilfreiche Methoden dazu, darunter den kleinen fermatschen Satz.

Hast du dir schon unsere anderen Rechner zur Potenzierung angesehen?

• Potenzen Multiplizieren Rechner 🇺🇸;
• Potenzen Dividieren Rechner 🇺🇸;
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• Rechner für exponentielles Wachstum.

Modulare Potenzierung bedeutet, dass wir eine Potenzierung über ein Modulo durchführen, d. h. für die gegebenen ganzen Zahlen a,b,m möchten wir c so finden, dass

$c = a^b \operatorname{mod}m$,

wobei $0 \leq c < m$.
Die Rechenleistung in der modularen Arithmetik ist mit modularen Kehrwerten verbunden, die du mithilfe unseres Modularer Kehrwert Rechner entdecken kannst.

Du kannst diese Berechnung auch schriftlich durchführen, das kann jedoch sehr zeitaufwändig sein. Alternativ kannst du das Problem mit einigen mathematischen Lehrsätzen vereinfachen – du findest diese weiter unten im Text. Es gibt natürlich auch schnelle Algorithmen, die dir das Ergebnis sofort liefern – einen dieser Algorithmen verwenden wir in diesem Potenz-Modulo-Rechner.

Dieser Rechner zum modularen Potenzieren ist sehr einfach aufgebaut, sodass du keine Probleme haben wirst, ihn zu benutzen. Tue einfach Folgendes:

1. Gib deine Daten ein, um die Potenz von xʸ in modularer Arithmetik zu berechnen:
   • Basis x;
   • Exponent y; und
   • Modulo m (Rest der Division).
2. Der Rechner erstellt eine Übersicht deiner eingegebenen Daten. Überprüfe, ob alles stimmt.
3. Das Ergebnis der modularen Potenzierung wird sofort angezeigt. Das war's!

Wenn du häufig mit Problemen bei der Berechnung von Potenzen in der modularen Arithmetik konfrontiert wirst, wird unser Potenz-Modulo-Rechner dein bester Freund sein. Lies weiter, wenn du wissen möchtest, wie man schriftlich modular potenziert.

Gehen wir einige Beispiele für die schriftliche Berechnung der modularen Potenzierung mit verschiedenen Methoden durch.

Beispiel 1. Direkte Methode

Lass uns 5⁴ mod 3 berechnen.

Wir wissen, dass 5⁴ = 625 ist, also ist unser Problem in Wirklichkeit 625 mod 3.

Es ist klar, dass 625 nicht durch 3 teilbar ist, 624 hingegen schon (6 + 2 + 4 = 12, was durch 3 teilbar ist).

Somit ist 625 - 1 durch 3 teilbar, was bedeutet, dass 5⁴ mod 3 = 625 mod 3 = 1.

Beispiel 2. Intelligente Methode

Lass uns 5⁴⁴ mod 2 berechnen.

Niemand wird die Motivation haben, 5⁴⁴ schriftlich zu berechnen, die Zahl ist nämlich sehr, sehr groß. Wir müssen also cleverer an die Sache herangehen. Erinnere dich daran, dass mod 2 bedeutet, dass wir fragen, ob die vorliegende Zahl gerade oder ungerade ist: Wenn sie gerade ist, ist sie gleich 0 mod 2. Wenn sie ungerade ist, ist sie 1 mod 2.

Wenn wir aufeinanderfolgende Potenzen von 5 berechnen, erhalten wir 5, 25, 625,.... Wie du siehst, ist die letzte Ziffer immer 5. Multipliziert man eine Zahl, deren letzte Ziffer 5 ist, mit 5, erhält man an der letzten Stelle des Ergebnisses zwangsläufig wieder eine 5.

Eine Zahl, die 5 als letzte Ziffer hat, ist ungerade. Also ist 5⁴⁴ mod 2 = 1.

Beispiel 3. Letzte Ziffer

Berechnen wir 5⁴⁴⁴ mod 10.

Zuerst musst du dir klarmachen, dass die Berechnung von mod 10 dasselbe ist wie die Berechnung der letzten Ziffer der Zahl. Wir haben bereits festgestellt, dass die Multiplikation einer Zahl, die auf 5 endet, zu einem Ergebnis führt, welches ebenfalls auf 5 endet (siehe oben). Daher endet 5⁴⁴⁴ auch auf 5, also 5⁴⁴⁴ mod 10 = 5.

Beispiel 4. Kleiner fermatscher Satz

Berechnen wir 162⁶⁰ mod 61.

Der kleine Satz von Fermat besagt: Wenn m eine Primzahl ist, dann gilt für jede ganze Zahl a:

$a^m \operatorname{mod} m = a$

Wenn a zudem nicht durch m teilbar ist, dann:

$a^{m-1} \operatorname{mod} m = 1$

Da wir in unserem Beispiel m = 61 haben, was eine Primzahl ist, und a = 162, was nicht durch 61 teilbar ist, erhalten wir somit:

162⁶⁰ mod 61 = 1.