Quadratwurzel Rechner

Unser Quadratwurzel-Rechner schätzt die Quadratwurzel aus jeder beliebigen positiven Zahl. Gib einfach die gewünschte Zahl ein und lies die Ergebnisse ab. Alles wird schnell und automatisch berechnet! Mit diesem Tool kannst du auch das Quadrat der gewünschten Zahl berechnen (gib den Wert einfach in das zweite Feld ein), was eine große Hilfe beim Finden perfekter Quadrate aus der Quadratwurzel-Formel sein kann.

Du möchtest die Quadratwurzel berechnen, tust du dich aber mit den Grundrechenarten – Quadratwurzeln addieren, subtrahieren, multiplizieren oder quadrieren – schwer? Damit ist jetzt Schluss! Im folgenden Text findest du eine ausführliche Erklärung über verschiedene Eigenschaften der Quadratwurzel, z. B. wie man Quadratwurzeln vereinfacht, mit vielen verschiedenen Beispielen. Mit diesem Artikel lernst du, wie du Wurzeln quadrieren kannst!

Hast du dich schon einmal gefragt, woher das Symbol für die Quadratwurzel √ stammt? Wir können dir versichern, dass diese Geschichte nicht so banal ist, wie du vielleicht annehmen magst. Der Ursprung des Wurzelsymbols geht bis in die Antike zurück, so wie der Ursprung des Prozents.

Wenn du nach dem Graphen der Quadratwurzel oder den Eigenschaften der Quadratwurzelfunktion suchst, gehe direkt zu dem entsprechenden Abschnitt im Text unseres Quadratwurzel-Rechners. Dort erklären wir dir, was die Ableitung einer Quadratwurzel ist, mithilfe einer grundlegenden Quadratwurzeldefinition; außerdem gehen wir detaillierter auf die Berechnung der Quadratwurzel ein, und zwar wie man die Quadratwurzeln von Exponenten oder die Quadratwurzeln von Brüchen berechnet. Wenn du interessiert genug bist, wirst du schließlich herausfinden, dass die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl tatsächlich möglich ist. Auf diese Weise führen wir die komplexen Zahlen ein, die in der Physik und Mathematik breite Anwendung finden.

Die Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl war bereits in der Antike bekannt. Die früheste Tontafel mit dem korrekten Wert von bis zu 5 Dezimalstellen von √2 = 1,41421 stammt aus Babylon (1800 v. Chr. - 1600 v. Chr.). Viele andere Dokumente zeigen, dass Quadratwurzeln auch von den alten Ägyptern, Indern, Griechen und Chinesen verwendet wurden. Der Ursprung des Wurzelsymbols √ ist jedoch noch weitgehend spekulativ.

• Viele Gelehrte glauben, dass die Quadratwurzel vom Buchstaben r abstammt — dem ersten Buchstaben des lateinischen Wortes radix, was so viel wie Wurzel bedeutet.
• Eine andere Theorie besagt, dass das Symbol der Quadratwurzel dem arabischen Buchstaben ج entstammt, der in seiner ursprünglichen Form ﺟ in dem Wort جذر — Wurzel — vorkommt (die arabische Sprache wird von rechts nach links geschrieben).

Bei der ersten Verwendung des Quadratwurzel-Symbols √ fehlte der waagerechte „Balken“ über den Zahlen innerhalb des Quadratwurzel- (oder Radikal-)Symbols, √‾. Der „Balken“ wird im Lateinischen Vinculum genannt und bedeutet Bindung. Obwohl das Radikalsymbol mit Vinculum heute im alltäglichen Gebrauch ist, lassen wir diese Überstreichung in vielen Texten, z. B. in Internetartikeln, normalerweise weg. Die Notation der höheren Grade einer Wurzel wurde von Albert Girard vorgeschlagen, der den Gradindex innerhalb der Öffnung des Radikalzeichens platzierte, z. B. ³√ oder ⁴√.

Die letzte Frage lautet: Warum wird die Quadratwurzeloperation unabhängig von ihrer wahren Herkunft als „Wurzel“ bezeichnet? Die Erklärung wird klarer, wenn wir die Gleichung x = ⁿ√a in einer anderen Form schreiben: xⁿ = a. Das x wird Wurzel oder Radikal genannt, da es die verborgene Basis von a ist. Das Wort Radikal bedeutet also nicht extrem, sondern grundlegend, auf die Ursache eingehend.

Die Grundberechnungen der Mathematik sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Dennoch fügen wir dieser Liste manchmal einige fortgeschrittenere Operationen und Manipulationen hinzu: Quadratwurzeln, Exponenten, Logarithmen und sogar trigonometrische Funktionen (z. B. Sinus und Kosinus). In diesem Artikel konzentrieren wir uns nur auf die Definition der Quadratwurzel.

Die Quadratwurzel einer bestimmten Zahl x ist jede Zahl y, deren Quadrat y² = y ∙ y die ursprüngliche Zahl x ergibt. Die Formel für die Quadratwurzel kann also wie folgt ausgedrückt werden:

√x = y ⟺ x = y²,

wobei ⟺ ein mathematisches Symbol ist, das wenn, und nur wenn bedeutet. Jede positive reelle Zahl hat immer zwei Quadratwurzeln — eine positive und eine negative. Für viele praktische Zwecke verwenden wir jedoch meist die positive Wurzel. Die einzige Zahl, die nur eine Quadratwurzel hat, ist die Null. Das liegt daran, dass √0 = 0 ist, und Null weder positiv noch negativ ist.

Es gibt auch eine andere gebräuchliche Schreibweise für Quadratwurzeln, die bei einer komplexeren Berechnung der Quadratwurzel praktischer sein könnte. Diese alternative Quadratwurzel-Formel besagt, dass die Quadratwurzel einer Zahl ein Wert ist, der auf den Exponenten 0,5 des Bruchs erhöht wird:

√x = x^(1/2) = x^0,5

In der geometrischen Interpretation ergibt die Quadratwurzel aus einem gegebenen Flächeninhalt eines Quadrats die Länge seiner Seite. Deshalb hat √ das Wort Quadrat in seinem Namen. Ähnlich verhält es sich mit der Kubikwurzel, ∛. Wenn du die Kubikwurzel des Volumens eines Würfels nimmst, erhältst du die Länge der Kanten des Würfels. Während Quadratwurzeln bei der Betrachtung von Flächeninhalten verwendet werden, sind Kubikwurzeln nützlich, um Mengen zu bestimmen, die sich auf das Volumen beziehen, z. B. die Dichte.

Vielleicht sind wir nicht sehr bescheiden, aber wir denken, dass die beste Antwort auf die Frage, wie man Wurzeln quadrieren kann, ganz einfach ist: Benutze den Quadratwurzel-Rechner! Du kannst ihn sowohl auf deinem Computer als auch auf deinem Smartphone benutzen, um schnell die Quadratwurzel berechnen zu können. Leider gibt es manchmal Situationen, in denen du dich nur auf dich selbst verlassen kannst. Was dann? Um dich darauf vorzubereiten, solltest du dir einige grundlegende perfekte Quadratwurzeln merken:

• Quadratwurzel aus 1: √1 = 1, denn 1 ∙ 1 = 1;

• Quadratwurzel aus 4: √4 = 2, denn 2 ∙ 2 = 4;

• Quadratwurzel aus 9: √9 = 3, da 3 ∙ 3 = 9;

• Quadratwurzel von 16: √16 = 4, da 4 ∙ 4 = 16;

• Quadratwurzel von 25: √25 = 5, da 5 ∙ 5 = 25;

• Quadratwurzel von 36: √36 = 6, da 6 ∙ 6 = 36;

• Quadratwurzel von 49: √49 = 7, da 7 ∙ 7 = 49;

• Quadratwurzel aus 64: √64 = 8, da 8 ∙ 8 = 64;

• Quadratwurzel aus 81: √81 = 9, da 9 ∙ 9 = 81;

• Quadratwurzel aus 100: √100 = 10, da 10 ∙ 10 = 100;

• Quadratwurzel von 121: √121 = 11, da 11 ∙ 11 = 121; und

• Quadratwurzel aus 144: √144 = 12, da 12 ∙ 12 = 144.

Die oben genannten Zahlen sind die einfachsten Quadratwurzeln, denn jedes Mal erhältst du eine ganze Zahl. Versuche, sie dir zu merken! Aber was kannst du tun, wenn es eine Zahl gibt, die nicht so eine schöne Quadratwurzel hat? Es gibt mehrere Lösungen. Erstens kannst du versuchen, das Ergebnis durch Testen vorherzusagen. Nehmen wir an, du möchtest die Quadratwurzel von 52 bestimmen:

1. Du weißt, dass √49 = 7 und √64 = 8 ist, also sollte √52 zwischen 7 und 8 liegen.

2. Die Zahl 52 liegt näher an der 49 (tatsächlich näher an der 7), also kannst du schätzen, dass √52 7,3 ist.

3. Dann quadrierst du 7,3 und erhältst 7,3² = 53,29 (wie die Quadratwurzel-Formel sagt), was größer ist als 52. Du musst es also mit einer kleineren Zahl versuchen, z. B. 7,2.

4. Das Quadrat von 7,2 ist 51,84. Jetzt hast du eine kleinere Zahl, die aber viel näher an 52 liegt. Wenn du mit dieser Genauigkeit zufrieden bist, kannst du die Schätzung hier beenden. Andernfalls kannst du den Vorgang mit einer Zahl zwischen 7,2 und 7,3 wiederholen, z. B. 7,22, und so weiter und so fort.

Ein anderer Ansatz ist, zuerst die Quadratwurzel zu vereinfachen und dann die Näherungswerte der Quadratzahlen zu verwenden (in der Regel auf zwei Dezimalstellen gerundet):

• Quadratwurzel aus 2: √2 ≈ 1,41,
• Quadratwurzel aus 3: √3 ≈ 1,73,
• Quadratwurzel aus 5: √5 ≈ 2,24,
• Quadratwurzel von 7: √7 ≈ 2,65,
• Quadratwurzel von 11: √11 ≈ 3,32,
• Quadratwurzel von 13: √13 ≈ 3,61,
• Quadratwurzel von 17: √17 ≈ 4,12,
• Quadratwurzel aus 19: √19 ≈ 4,34, usw.

Versuchen wir noch einmal, die Quadratwurzel von 52 zu finden. Du kannst sie zu √52 = 2√13 vereinfachen (wie man die Quadratwurzel vereinfacht, lernst du im nächsten Abschnitt) und dann √13 ≈ 3,61 einsetzen. Führe schließlich diese Multiplikation √52 ≈ 2 ∙ 3,61 = 7,22 durch. Das Ergebnis ist das gleiche wie vorher!

In manchen Situationen brauchst du das genaue Ergebnis der Quadratwurzel nicht zu kennen. In diesem Fall ist unser Quadratwurzel-Rechner die beste Option, um den Wert von jeder gewünschten Quadratwurzel zu schätzen. Nehmen wir zum Beispiel an, du möchtest wissen, ob 4√5 größer ist als 9. Vom Rechner weißt du, dass √5 ≈ 2,23607, also 4√5 ≈ 4 ∙ 2,23607 = 8,94428. Das ist sehr nah an der 9, aber nicht größer als sie! Der Quadratwurzel-Rechner liefert den Endwert mit relativ hoher Genauigkeit (auf fünf Stellen im obigen Beispiel).

Vergiss nicht, dass unser Rechner die, in eines der Felder eingegebenen, Zahlen automatisch neu berechnet. Du kannst die Quadratwurzel einer bestimmten Zahl ermitteln, indem du das erste Fenster ausfüllst, oder das Quadrat einer Zahl, die du im zweiten Fenster eingegeben hast, ermitteln. Die zweite Option ist praktisch, um perfekte Quadrate zu finden, die in vielen Bereichen der Mathematik und Wissenschaft wichtig sind. Wenn du zum Beispiel 17 in das zweite Feld eingibst, erfährst du, dass 289 ein perfektes Quadrat ist.

Bei einigen Anwendungen der Quadratwurzel, insbesondere in den Naturwissenschaften wie Chemie und Physik, werden die Ergebnisse bevorzugt in wissenschaftlicher Notation angegeben, bei der ein Dezimalpunkt zwischen die ersten beiden Zahlen geschrieben wird, die nicht Null sind. Sie wird als eine mit 10 multiplizierte Dezimalzahl, die um einen Exponenten erhöht wird, dargestellt. Zum Beispiel wird die Zahl 0,00345 als 3,45∙10-³ in wissenschaftlicher Notation geschrieben, während 145,67 als 1,4567∙10² in wissenschaftlicher Notation geschrieben wird. Verwende den Wissenschaftliche Notation Rechner, um die mit dem Quadratwurzel-Rechner erzielten Ergebnisse umzuwandeln.

Stellen wir uns zunächst die Frage, welche Quadratwurzeln vereinfacht werden können. Um diese Frage zu beantworten, musst du die Zahl, die hinter dem Symbol für die Quadratwurzel steht, nehmen und ihre Faktoren finden. Wenn einer ihrer Faktoren eine Quadratzahl ist (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 usw.), dann kannst du die Quadratwurzel vereinfachen. Warum sind diese Zahlen quadratisch? Sie können jeweils als 2², 3², 4², 5², 6², 7² und so weiter ausgedrückt werden. Nach der Definition der Quadratwurzel kannst du sie perfekte Quadrate nennen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

• Kannst du √27 vereinfachen? Mit der oben erwähnten Methode erhältst du die Faktoren von 27: 1, 3, 9, 27. Hier gibt es eine 9! Das bedeutet, dass du √27 vereinfachen kannst.

• Kannst du √15 vereinfachen? Die Faktoren von 15 sind 1, 3, 5 und 15. Es gibt keine perfekten Quadrate in diesen Zahlen, also kann diese Quadratwurzel nicht vereinfacht werden.

Wie kann man also Quadratwurzeln vereinfachen? Um das zu erklären, nutzen wir eine praktische Eigenschaft der Quadratwurzel, über die wir bereits gesprochen haben, nämlich ihre alternative Formel:

√x = x^(1/2)

Wir können diese beiden Formen der Quadratwurzeln verwenden und zwischen ihnen wechseln, wann immer wir es möchten. Wir erinnern uns vor allem daran, dass die Potenz der Multiplikation von zwei bestimmten Zahlen der Multiplikation dieser bestimmten Zahlen mit denselben Potenzen entspricht. Daher können wir schreiben:

(x ∙ y)^(1/2) = x^(1/2) ∙ y^(1/2) ⟺ √(x ∙ y) = √x ∙ √y,

Wie kannst du dieses Wissen nutzen? Das Argument einer Quadratwurzel ist normalerweise kein perfektes Quadrat, das du leicht berechnen kannst, aber es kann ein perfektes Quadrat unter seinen Faktoren enthalten. Mit anderen Worten, du kannst sie als Multiplikation zweier Zahlen schreiben, wobei eine der Zahlen das perfekte Quadrat ist, z. B. 45 = 9 ∙ 5 (9 ist ein perfektes Quadrat). Die Bedingung, dass mindestens ein Faktor ein perfektes Quadrat ist, ist notwendig, um die Quadratzahl zu vereinfachen. An dieser Stelle solltest du wissen, was der nächste Schritt sein wird. Du musst diese Multiplikation unter die Quadratwurzel setzen. In unserem Beispiel:

√45 = 45^(1/2) = (9 ∙ 5)^(1/2) = 9^(1/2) ∙ 5^(1/2) = √9 ∙ √5 = 3√5.

Du hast deine erste Quadratwurzel erfolgreich vereinfacht! Natürlich musst du diese Berechnungen nicht alle aufschreiben. Solange du dich daran erinnerst, dass Quadratwurzeln dem Exponent 0,5 gleich sind, kannst du sie kürzen. Üben wir das Vereinfachen von Quadratwurzeln mit einigen anderen Beispielen:

• Wie kann man die Quadratwurzel aus 27 vereinfachen?

  √27 = √(9 ∙ 3) = √9 ∙ √3 = 3√3.

• Wie kann man die Quadratwurzel aus 8 vereinfachen?

  √8 = √(4 ∙ 2) = √4 ∙ √2 = 2√2.

• Wie kann man die Quadratwurzel aus 144 vereinfachen?

  √144 = √(4 ∙ 36) = √4 ∙ √36 = 2 ∙ 6 = 12.

Im letzten Beispiel musstest du die Quadratwurzel gar nicht vereinfachen, da 144 ein perfektes Quadrat ist. Du konntest dir einfach merken, dass 12 ∙ 12 = 144 ist. Wir möchten dir aber zeigen, dass du mit dem Verfahren der Vereinfachung auch perfekt quadratische Zahlen leicht in ihrer Quadratwurzel berechnen kannst. Das ist nützlich, wenn du mit großen Zahlen zu tun hast.

Schließlich fragst du dich vielleicht, wie man Wurzeln höherer Ordnung vereinfacht, z. B. Kubikwurzeln. Eigentlich ist das Verfahren analog zu den Kubikwurzeln, aber im Fall der Kubikwurzeln musst du mindestens einen Faktor finden, der ein perfekter Würfel ist, kein perfektes Quadrat, also 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³ und so weiter. Dann teilst du deine Zahl in zwei Teile und schreibst sie unter die Kubikwurzel. Nehmen wir das folgende Beispiel zur Vereinfachung von ³√192:

∛192 = ∛(64 ∙ 3) = ∛64 ∙ ∛3 = 4∛3.

Das mag auf den ersten Blick etwas kompliziert erscheinen, aber nach einiger Übung wirst du die Wurzeln sogar im Kopf vereinfachen können. Vertrau uns!

Quadratwurzeln addieren und subtrahieren

Leider ist das Addieren oder Subtrahieren von Quadratwurzeln nicht so einfach wie das Addieren/Subtrahieren von normalen Zahlen. Wenn zum Beispiel 2 + 3 = 5 ist, bedeutet das nicht, dass √2 + √3 gleich √5 ist. Das ist falsch! Um zu verstehen, warum das so ist, stell dir vor, dass du zwei verschiedene Arten von Formen hast: Dreiecke 🔺 und Kreise 🔵. Was passiert, wenn du ein Dreieck zu einem Kreis 🔺 + 🔵 addierst? Nichts! Du hast immer noch ein Dreieck und einen Kreis 🔺 + 🔵. Was passiert aber, wenn du versuchst, drei Dreiecke zu fünf Dreiecken zu addieren? 3🔺 + 5🔺? Am Ende erhältst du acht Dreiecke 8🔺.

Das Addieren von Quadratwurzeln ist dem sehr ähnlich. Das Ergebnis der Addition von √2 + √3 ist immer noch √2 + √3. Du kannst es nicht weiter vereinfachen. Anders sieht es aus, wenn beide Quadratwurzeln die gleiche Zahl unter dem Wurzelzeichen haben. Dann können wir sie einfach wie normale Zahlen (oder Dreiecke) addieren. Zum Beispiel: 3√2 + 5√2 ist gleich 8√2. Das Gleiche gilt für das Subtrahieren von Quadratwurzeln. Schauen wir uns weitere Beispiele an, die diese Eigenschaft veranschaulichen:

• Was ist 6√17 + 5√17? Antwort: 6√17 + 5√17 = 11√17;

• Wie viel ist 4√7 - 7√7? Antwort: 4√7 - 7√7 = -3√7;

• Was ist 2√2 + 3√8? Antwort: 2√2 + 3√8 = 2√2 + 6√2 = 8√2, denn wir haben √8 = √(4 ∙ 2) = √4 ∙ √2 = 2√2 vereinfacht;

• Wie viel ist √45 - √20? Antwort: √45 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5, denn wir haben √45 = √(9 ∙ 5) = √9 ∙ √5 = 3√5 und √20 = √(4 ∙ 5) = √4 ∙ √5 = 2√5 vereinfacht;

• Was ist 7√13 + 2√22? Antwort: 7√13 + 2√22, wir können das nicht weiter vereinfachen;

• Wie viel ist √3 - √18? Antwort: √3 - √18 = √3 - 3√2, wir können dies nicht weiter vereinfachen, aber wir haben zumindest √18 = √(9 ∙ 2) = √9 ∙ √2 = 3√2 vereinfacht.

Multiplizieren und Dividieren von Quadratwurzeln

Wenn das Addieren von Quadratwurzeln für dich ein Kinderspiel ist, lass uns einen Schritt weiter gehen. Was ist mit dem Multiplizieren und Dividieren von Quadratwurzeln? Hab keine Angst! Das hast du ja schon in der Lektion über das Vereinfachen von Quadratwurzeln gemacht. Das Multiplizieren von Quadratwurzeln basiert auf der Eigenschaft der Quadratwurzel, die wir schon ein paar Mal benutzt haben, nämlich:

√x = x^(1/2)

Weißt du noch, wie man Zahlen multipliziert, die mit der gleichen Potenz erhöht werden? Zur Erinnerung:

xⁿ ∙ yⁿ = (x ∙ y)ⁿ,

und daher:

x^(1/2) ∙ y^(1/2) = (x ∙ y)^(1/2) ⟺ √x ∙ √y = √(x ∙ y).

Im Gegensatz zur Addition kannst du jeden zwei Quadratwurzeln multiplizieren. Denke daran, dass die Multiplikation kommutative Eigenschaften hat, was bedeutet, dass die Reihenfolge, in der zwei Zahlen multipliziert werden, keine Rolle spielt. Schaue dir diese Beispiele zur Verdeutlichung an:

• Was ist √3 ∙ √2? Antwort: √3 ∙ √2 = √6;

• Wie viel ist 2√5 ∙ 5√3? Antwort: 2√5 ∙ 5√3 = 2 ∙ 5 ∙ √5 ∙ √3 = 10√15, denn die Multiplikation ist kommutativ;

• Was ist 2√6 ∙ 3√3? Antwort: 2√6 ∙ 3√3 = 2 ∙ 3 ∙ √6 ∙ √3 = 6√18 = 18√2, wir vereinfachen √18 = √(9 ∙ 2) = √9 ∙ √2 = 3√2.

Eine Quadratwurzel zu dividieren ist fast dasselbe, denn:

x^(1/2) / y^(1/2) = (x / y)^(1/2) ⟺ √x / √y = √(x / y).

Alles, was du tun musst, ist, das Multiplikationszeichen durch eine Division zu ersetzen. Die Division ist jedoch kein kommutativer Operator! Du musst die Zahlen, die vor den Quadratwurzeln stehen, und die Zahlen unter den Quadratwurzeln separat berechnen. Schaue dir dafür diese Beispiele an:

• Was ist √15 / √3? Antwort: √15 / √3 = √5;

• Wie viel ist 10√6 / 5√2? Antwort: 10√6 / 5√2 = (10 / 5) ∙ (√6 / √2) = 2√3;

• Was ist 6√2 / 3√5? Antwort: 6√2 / 3√5 = (6 / 3) ∙ (√2 / √5) = 2√(2/5) = 2√(0,4), wir haben dort von einem einfachen Bruch 2/5 zum Dezimalbruch 2/5 = 4/10 = 0,4 gewechselt.

Die Berechnung der Quadratwurzel eines Exponenten oder Bruches ist dir vielleicht nicht klar. Aber mit dem Wissen, das du im vorherigen Abschnitt erworben hast, sollte es dir leichter fallen als erwartet! Beginnen wir mit den Quadratwurzeln der Exponenten. In diesem Fall wird es dir leichter fallen, die alternative Form der Quadratwurzel √x = x^^(1/2) zu verwenden. Erinnerst du dich an die Potenzregel? Wenn nicht, hier ist eine kurze Erinnerung:

(xⁿ)^m = x^{(n ∙ m)},

wobei n und m beliebige reelle Zahlen sind. Wenn du nun 1/2 anstelle von m einsetzt, erhältst du nichts anderes als eine Quadratwurzel:

√(xⁿ) = (xⁿ)^(1/2) = x^(n/2),

und so berechnet man die Quadratwurzel aus einem Exponenten. Apropos Exponenten: Die obige Gleichung sieht der Dichtefunktion der Normalverteilung sehr ähnlich, die in der Statistik häufig verwendet wird.

Wenn du dir immer noch nicht sicher bist, wie du die Quadratwurzeln aus Exponenten ziehen kannst, findest du hier ein paar Beispiele:

• Quadratwurzel aus 2⁴:

  √(2⁴) = (2⁴)^(1/2) = 2^(4/2) = 2² = 4;

• Quadratwurzel aus 5³:

√(5³) = (5³)^(1/2) = 5^(3/2); und

• Quadratwurzel aus 4⁵:

  √(4⁵) = (4⁵)^(1/2) = 4^(5/2) = (2²)^(5/2) = 2⁵ = 32.

Wie du siehst, ist es manchmal unmöglich, ein so schönes Ergebnis wie im ersten Beispiel zu erhalten. Im dritten Beispiel haben wir dir jedoch einen kleinen Trick gezeigt, indem wir 4 als 2² ausgedrückt haben. Dieser Ansatz kann kompliziertere Gleichungen oft vereinfachen.

Was ist mit Quadratwurzeln aus Brüchen? Sieh dir den vorherigen Abschnitt an, in dem wir über das Dividieren von Quadratwurzeln geschrieben haben. Dort findest du die folgende Beziehung, die alles erklären sollte:

(x / y)^(1/2) ⟺ √x / √y = √(x / y),

wobei x / y ein Bruch ist. Nachfolgend findest du einige Beispiele für Quadratwurzeln eines Bruchs:

• Quadratwurzel aus 4/9:

  √(4/9) = √4 / √9 = 2/3;

• Quadratwurzel aus 1/100:

  √(1/100) = √1 / √100 = 1/10; und

• Quadratwurzel aus 1/5:

  √(1/5) = √1 / √5 = 1/√5 = √5/5.

Die Wurzeln im Nenner zu lassen, ist keine gute Angewohnheit. Deshalb sind wir sie im letzten Beispiel losgeworden. Wir haben einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert (das können wir immer tun, da die Zahl, mit der wir multiplizieren, gleich 1 ist), in diesem Fall mit √5.

Funktionen spielen nicht nur in der Mathematik eine wichtige Rolle, sondern auch in vielen anderen Themengebieten wie Physik, Statistik oder Finanzen. Eine Funktion f(x) ist nichts anderes als eine Formel, die besagt, wie sich der Wert von f(x) mit dem Argument x verändert. Du wirst dort einige Funktionen finden, die du im echten Leben anwenden kannst. Sie sind eine große Hilfe, wenn du wissen möchtest, wie man Zinseszinsen berechnet oder den zukünftigen Wert einer Rente schätzt.

Unten findest du das Diagramm der Quadratwurzel, das aus der Hälfte einer Parabel besteht. Sieh sie dir an und überprüfe zum Beispiel, ob die Funktion der Quadratwurzel von x = 9 gleich 3 und von x = 16 gleich 4 ist (wie es sein sollte).

Kehren wir zur Quadratwurzel-Funktion f(x) = √x zurück und untersuchen wir ihre grundlegenden Eigenschaften. Wir betrachten dabei nur den positiven Teil von f(x) (wie du im Diagramm der Quadratwurzel oben sehen kannst). Also, die Quadratwurzel-Funktion:

• Sie ist stetig und wächst für alle nicht-negativen x.

• Sie ist differenzierbar für alle positiven x (weitere Informationen findest du im Abschnitt Ableitung der Quadratwurzel).

• Sie nähert sich dem Grenzwert von Unendlich an, wenn x sich dem Unendlichen nähert (lim √x → ∞ wenn x → ∞).

• Sie ist eine reelle Zahl für alle nicht-negativen x und eine komplexe Zahl für alle negativen x.

Die Ableitung einer Funktion sagt uns, wie schnell sich diese Funktion mit ihrem Argument ändert. Eines der einfachsten Beispiele in der Physik ist die Position eines Objekts und seine Geschwindigkeit (die Änderungsrate der Position). Nehmen wir an, dass die Funktion x(t) beschreibt, wie sich die Entfernung des fahrenden Autos von einem bestimmten Punkt mit der Zeit t ändert. Weißt du, was bestimmt, wie schnell sich die zurückgelegte Entfernung ändert? Die Antwort ist die Geschwindigkeit des Autos! Die Ableitung der Position x(t) ist also die Geschwindigkeit v(t) (die Geschwindigkeit kann auch von der Zeit abhängen). Um die Ableitung zu bezeichnen, verwenden wir normalerweise das Hochkomma v(t) = x'(t) oder das Ableitungssymbol v(t) = dx(t)/dt.

Die Ableitung der allgemeinen Funktion f(x) ist nicht immer einfach zu berechnen. Unter bestimmten Umständen, wenn die Funktion eine bestimmte Form hat, gibt es jedoch einige Formeln. Zum Beispiel, wenn

f(x) = xⁿ,

wobei n eine beliebige reelle Zahl ist, lautet die Ableitung wie folgt:

f'(x) = n ∙ x^(n-1).

Es sieht vielleicht nicht so aus, aber das beantwortet die Frage „Was ist die Ableitung einer Quadratwurzel?“. Erinnerst du dich an die alternative (exponentielle) Form einer Quadratwurzel? Also:

√x = x^(1/2).

Du siehst, dass in diesem Fall n = 1/2, also die Ableitung einer Quadratwurzel ist:

(√x)' = (x^(1/2))' = 1/2 ∙ x^(-1/2) = 1/(2√x).

Da eine Zahl mit einer negativen Potenz eine Zahl über dieser Zahl ist, wird die Ableitung Brüche beinhalten. Wir haben ein Werkzeug, das beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern unverzichtbar ist: Der kgV Rechner – Kleinstes Gemeinsames Vielfaches 🇺🇸 sagt dir, wie du das kleinste gemeinsame Vielfache findest.

Die Ableitung einer Quadratwurzel wird benötigt, um die Koeffizienten in der sogenannten Taylor-Erweiterung zu erhalten. Wir möchten nicht zu tief in die Details eintauchen, deshalb kurz: Die Taylor-Reihe ermöglicht es dir, verschiedene Funktionen** mit den Polynomen, die viel einfacher zu berechnen sind, anzunähern. Zum Beispiel ist die Taylor-Erweiterung von √(1 + x) um den Punkt x = 0 gegeben durch:

√(1 + x) = 1 + 1/2 ∙ x - 1/8 ∙ x² + 1/16 ∙ x³ - 5/128 ∙ x⁴ + ...,

was für -1 ≤ x ≤ 1 gültig ist. Obwohl der obige Ausdruck unendlich viele Terme hat, kannst du, um den ungefähren Wert zu erhalten, nur ein paar erste Terme verwenden. Probieren wir es aus! Mit x = 0,5 und den ersten fünf Termen erhältst du:

√(1,5) = 1 + 1/2 ∙ 0,5 - 1/8 ∙ 0,25 + 1/16 ∙ 0,125 - 5/128 ∙ 0,0625,

√(1,5) ≈ 1,2241,

und der echte Wert, den unser Rechner liefert, ist √(1,5) ≈ 1,2247. Das ist nah genug!

Das war bisher eine Menge Mathe und Gleichungen. Für diejenigen unter euch, die hartnäckig genug sind, haben wir den nächsten Abschnitt vorbereitet, in dem erklärt wird, wie man die Quadratwurzel einer negativen Zahl berechnet.

In der Schule hat man dir wahrscheinlich beigebracht, dass es die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht gibt. Das ist wahr, wenn du nur reelle Zahlen betrachtest. Um fortgeschrittene Berechnungen durchführen zu können, mussten die Mathematiker vor langer Zeit ein allgemeineres Set von Zahlen einführen — die komplexen Zahlen. Sie lassen sich in der folgenden Form ausdrücken:

x = a + b ∙ i,

dabei ist x die komplexe Zahl mit dem Realteil a und dem Imaginärteil b. Der Unterschied zwischen einer komplexen Zahl und einer reellen Zahl ist die imaginäre Zahl i. Hier hast du einige Beispiele für komplexe Zahlen: 2 + 3i, 5i, 1,5 + 4i, und 2. Du bist vielleicht überrascht, dass 2 eine reelle Zahl ist. Ja, das ist sie, aber sie ist auch eine komplexe Zahl mit b = 0. Komplexe Zahlen sind eine Verallgemeinerung der reellen Zahlen.

Bis jetzt ist die imaginäre Zahl i wahrscheinlich noch ein Rätsel für dich. Was ist sie überhaupt? Nun, auch wenn sie seltsam aussehen mag, wird sie durch die folgende Gleichung definiert:

i = √(-1),

und das ist alles, was du brauchst, um die Quadratwurzel berechnen zu können, egal ob die Zahl positiv oder negativ ist. Schauen wir uns einige Beispiele an:

• Quadratwurzel aus -9: √(-9) = √(-1 ∙ 9) = √(-1)√9 = 3i;
• Quadratwurzel aus -13: √(-13) = √(-1 ∙ 13) = √(-1)√13 = i√13; und
• Quadratwurzel aus -49: √(-49) = √(-1 ∙ 49) = √(-1)√49 = 7i.

Ist das nicht einfach? Dieses Problem tritt bei der Kubikwurzel nicht auf, da du die negative Zahl durch Multiplikation von drei gleichen negativen Zahlen erhältst (was du bei zwei negativen Zahlen nicht kannst). Ein Beispiel:

³√(-64) = ³√[(-4)∙(-4)∙(-4)] = -4.

Und das ist alles, was du über Quadratwurzeln wissen musst!