Seiten- und Winkel rechtwinkliger Dreiecke Rechner

Die Suche nach der fehlenden Seite oder dem fehlenden Winkel eines Dreiecks war noch nie so einfach wie mit unserem Tool – dem Rechner für Seiten und Winkel rechtwinkliger Dreiecke. Wähle zwei vorgegebene Werte, gib sie in den Rechner ein, und er ermittelt die verbleibenden Unbekannten im Handumdrehen! Wenn du dich fragst, wie du die fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks finden kannst, scrolle weiter und du findest die Formeln, die sich hinter unserem Rechner verbergen.

Es gibt einige Methoden, um die Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen. Je nachdem, was gegeben ist, kannst du verschiedene Beziehungen oder Gesetze anwenden, um die fehlende Seite zu finden:

1. Gegeben sind zwei Seiten

Wenn du die zwei anderen Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gegeben hast, ist das der einfachste Weg, um zum Ergebnis zu kommen; du musst nur den Satz des Pythagoras anwenden:

a² + b² = c².

• Wenn die fehlende Seite a ist, musst du die Gleichung so umwandeln, dass a alleine auf einer Seite steht, und die Quadratwurzel ziehen:

  a = √(c² - b²),

• wenn die Seite b unbekannt ist, dann:

  b = √(c² - a²) und

• wenn die Hypotenuse c gesucht wird, lautet die Formel:

  c = √(a² + b²).

2. Gegeben sind ein Winkel und die Hypotenuse

Wende den Sinussatz oder Trigonometrie an, um die Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen:

• a = c ∙ sin(α) oder a = c ∙ cos(β) und

• b = c ∙ sin(β) oder b = c ∙ cos(α).

3. Gegeben sind ein Winkel und eine Seite

Finde die fehlende Seite mithilfe trigonometrischer Funktionen:

• a = b ∙ tan(α) und

• b = a ∙ tan(β).

4. Gegeben ist die Fläche und eine Seite

Wie wir uns aus der Grundformel für den Flächeninhalt von Dreiecken erinnern, können wir den Flächeninhalt berechnen, indem wir die Höhe und die Basis des Dreiecks multiplizieren und das Ergebnis durch zwei teilen. Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Sonderfall des ungleichseitigen Dreiecks, bei dem eine Seite die Höhe und die zweite Seite die Basis ist, sodass sich die Gleichung folgendermaßen vereinfacht:

Fläche = a ∙ b / 2.

Wenn wir zum Beispiel nur die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks und die Länge der Seite a kennen, können wir die Gleichung für die anderen Seiten herleiten:

• b = 2 ∙ Fläche / a und
• c = √(a² + (2 ∙ Fläche / a)²).

Wenn du einen Winkel außer dem rechten Winkel kennst, ist die Berechnung des dritten Winkels ein Kinderspiel:

gegeben β: α = 90 - β und

gegeben α: β = 90 - α.

Wenn jedoch nur zwei Seiten eines Dreiecks gegeben sind, muss du, um die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, einige grundlegende trigonometrische Funktionen anwenden:

für α:

• sin(α) = a / c, also α = arcsin(a / c) (umgekehrter Sinus );
• cos(α) = b / c, also α = arccos(b / c) (umgekehrter Kosinus);
• tan(α) = a / b, also α = arctan(a / b) (inverser Tangens) und
• cot(α) = b / a, also α = arccot(b / a) (inverser Kotangens);

und für β:

• sin(β) = b / c, also β = arcsin(b / c) (umgekehrter Sinus);
• cos(β) = a / c, also β = arccos(a / c) (umgekehrter Kosinus);
• tan(β) = b / a, also β = arctan(b / a) (inverser Tangens) und
• cot(β) = a / b, also β = arccot(a / b) (inverser Kotangens).

Um ein Dreieck mit einer Seite zu lösen, brauchst du auch einen der nicht rechtwinkligen Winkel. Ohne ihn ist es unmöglich, das Dreieck zu lösen:

1. Wenn du die Hypotenuse gegeben hast, multipliziere sie mit sin(θ), um die Länge der Seite zu erhalten, die dem Winkel gegenüberliegt (Gegenkathete).

2. Alternativ kannst du die Hypotenuse auch mit cos(θ) multiplizieren, um die an den Winkel angrenzende Seite (Ankathete) zu erhalten.

3. Wenn du die Seite der Nicht-Hypotenuse gegeben hast, die an den Winkel angrenzt (Ankathete), teile sie durch cos(θ), um die Länge der Hypotenuse zu erhalten.

4. Alternativ multiplizierst du diese Länge mit tan(θ), um die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite zu erhalten (Gegenkathete).

5. Wenn du einen Winkel und die dem Winkel gegenüberliegende Seite (Gegenkathete) gegeben hast, kannst du die Seitenlänge durch sin(θ) teilen, um die Hypotenuse zu erhalten.

6. Alternativ kannst du die Länge auch durch tan(θ) teilen, um die Länge der an den Winkel angrenzenden Seite (Ankathete) zu erhalten.

Wir zeigen dir, wie du die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe dieses Rechners bestimmen kannst:

1. Angenommen, wir möchten die fehlende Seite bei gegebener Fläche und einer Seite finden. Wähle die richtige Option aus dem Dropdown-Menü aus. In diesem Fall ist es die Dritte.

2. Gib die angegebenen Werte ein. Zum Beispiel ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks gleich 28 cm² und b = 9 cm.

3. Unser Seiten- und Winkelrechner für rechtwinklige Dreiecke zeigt fehlende Seiten und Winkel an! Jetzt wissen wir, dass:

   • a = 6,222 cm,
   • c = 10,941 cm,
   • α = 34,66° und
   • β = 55,34°, ist.

Prüfen wir nun, wie die Bestimmung der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks funktioniert:

1. Aktualisiere den Taschenrechner. Wähle die richtige Option aus dem Dropdown-Menü aus. Nehmen wir an, wir haben zwei Seiten gegeben und möchten alle Winkel finden. Die Standardoption ist die richtige.

2. Gib die Seitenlängen ein. Unser rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 13 cm und eine Seite a = 5 cm.

3. Die fehlende Seite und Winkel erscheinen. In unserem Beispiel ist b = 12 cm, α = 22,62° und β = 67,38°.

Wenn ein rechtwinkliges Dreieck gleichschenklig ist (d.h. seine beiden Nicht-Hypotenusen-Seiten sind gleich lang), hat es eine Symmetrielinie. Andernfalls hat das Dreieck keine Symmetrielinien.

Nein, bei einem rechtwinkligen Dreieck können nicht alle 3 Seiten gleich sein, da auch nicht alle drei Winkel gleich sein können. Einer der Winkel muss per Definition 90° betragen. Bei einem rechtwinkligen Dreieck können jedoch die beiden Seiten, die nicht zur Hypotenuse gehören, gleich lang sein. Das würde auch bedeuten, dass die beiden anderen Winkel gleich 45° sind.

Nicht alle rechtwinkligen Dreiecke sind sich ähnlich, obwohl es bei einigen der Fall sein kann. Sie sind sich ähnlich, wenn alle ihre Winkel gleich lang sind oder wenn das Verhältnis von zwei ihrer Seiten gleich ist.