Schwerpunkt Rechner

Mit diesem Schwerpunkt-Rechner helfen wir dir dabei, den Schwerpunkt vieler zweidimensionaler Formen und von Punkten zu finden. Mit nur wenigen Klicks und der Eingabe einiger Zahlen kannst du den Schwerpunkt eines Rechtecks, Dreiecks, Trapezes, Drachens oder jeder anderen vorstellbaren Form ermitteln – die einzigen Einschränkungen sind, dass das Polygon geschlossen sein sollte, sich nicht selbst schneidet und aus maximal zehn Scheitelpunkten besteht. Auch wenn du auf der Suche nach einer einfachen Definition des Schwerpunkts bist oder nach Formeln, die erklären, wie man den Schwerpunkt findet, wirst du nicht enttäuscht sein – der Rechner hat alles für dich.

Ein Schwerpunkt, auch geometrischer Mittelpunkt genannt, ist der Massenschwerpunkt eines Objekts mit gleichmäßiger Dichte. Zum besseren Verständnis kannst du ihn dir als den Punkt vorstellen, auf dem du die Spitze einer Stecknadel positionieren solltest, damit deine geometrische Figur im Gleichgewicht ist.

Da wir nun die Definition des Schwerpunkts kennen, lass uns schauen, wie wir ihn lokalisieren können. Im folgenden Abschnitt zeigen wir dir die Formel für den Schwerpunkt.

Im Allgemeinen ist ein Schwerpunkt der Mittelwert aller Punkte in der Form. Die x- und y-Koordinaten des Schwerpunkts lauten:

Gₓ = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_k) / k; und

Gᵧ = (y₁ + y₂ + y₃ +... + y_k) / k;

wobei (x₁,y₁), ..., (x_k, y_k) die Scheitelpunkte unserer Form sind.

Bei konvexen Formen liegt der Schwerpunkt innerhalb des Objekts, bei konkaven Formen kann der Schwerpunkt außerhalb liegen (z. B. bei einem ringförmigen Objekt).

Den Schwerpunkt eines Dreiecks oder von Punkten zu finden, ist eine einfache Aufgabe – die Formel ist wirklich intuitiv. Wenn du jedoch den Schwerpunkt eines Polygons – wie eines Rechtecks, eines Trapezes, einer Raute, eines Parallelogramms, eines unregelmäßigen Vierecks 🇺🇸 oder eines anderen Polygons – suchst, ist es leider etwas komplizierter.

Um den Schwerpunkt eines ABC-Dreiecks zu finden, musst du den Durchschnitt der Koordinaten der Scheitelpunkte ermitteln. Wenn also A = (X₁,Y₁), B = (X₂,Y₂), C = (X₃,Y₃), lautet die Schwerpunktformel:

G = [ (X₁ + X₂ + X₃)/3 , (Y₁ + Y₂ + Y₃)/3 ].

Wenn du dies nicht schriftlich berechnen möchtest, benutze einfach unseren Schwerpunkt-Rechner! 🙂

Bei speziellen Dreiecken kannst du den Schwerpunkt ganz einfach finden:

1. Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreiecks

   Wenn du die Seitenlänge a kennst, kannst du den Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreiecks ermitteln:

   G = (a/2, a√3/6)

   (du kannst den Wert von a mit unserem Gleichseitiges Dreieck Rechner bestimmen).

2. Schwerpunkt eines gleichschenkligen Dreiecks

   Wenn dein gleichschenkliges Dreieck Schenkel der Länge l und der Höhe h hat, dann wird der Schwerpunkt wie folgt beschrieben:

   G = (l/2, h/3)

   (wenn du die Schenkellänge l oder die Höhe h nicht kennst, kannst du sie mit unserem Gleichschenkliges Dreieck Rechner ermitteln).

3. Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks

   Wenn du die beiden Schenkel b und h eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, kannst du die Formel für den Flächenschwerpunkt sofort finden:

   G = (b/3, h/3)

   (der Rechtwinkliges Dreieck Rechner kann dir helfen, die Schenkel eines solchen Dreiecks zu bestimmen).

Manchmal fragen sich die Leute, was der Mittelpunkt eines Dreiecks ist — aber hey, den gibt es nicht! Der Mittelpunkt ist ein Begriff, der mit einem Segment verbunden ist. Er ist der mittlere Punkt eines Segments und gilt daher nicht für zweidimensionale Formen.

Man kann jedoch sagen, dass der Mittelpunkt eines Segments sowohl der Mittelpunkt des Segments als auch der Mittelpunkt der Endpunkte des Segments ist.

Du kannst das mit diesem Schwerpunkt-Rechner überprüfen: Wähle die Option N-Punkte aus der Dropdown-Liste, gib 2 Punkte und einige zufällige Koordinaten ein. Das Ergebnis sollte mit dem Ergebnis des Mittelpunkt Rechners übereinstimmen.

(Denke daran, dass die Berechnungen nicht funktionieren, wenn du die zweite Option, das N-seitige Polygon, verwendest. Warum? Das liegt daran, dass diese Formel den Flächeninhalt der Form verwendet und ein Segment keinen hat).

Um den Schwerpunkt aus einer Gruppe von k Punkten zu finden, musst du den Mittelwert ihrer Koordinaten berechnen:

Gₓ = (x₁ + x₂ + x₃ +... + x_k) / k

Gᵧ = (y₁ + y₂ + y₃ +... + y_k) / k

Und das war's! Hast du bemerkt, dass es die allgemeine Formel ist, die wir zuvor vorgestellt haben?

Die Berechnung des Schwerpunkts einer Gruppe von Punkten wird in vielen verschiedenen realen Anwendungen eingesetzt, z. B. bei der Datenanalyse. Die bekannteste Methode ist das K-Mittelwert-Clustering, bei dem ein Algorithmus versucht, die quadrierte Entfernung zwischen den Datenpunkten und den Schwerpunkten des Clusters zu minimieren.

Um den Schwerpunkt G(C_x, C_y) eines Polygons zu berechnen, der durch die n Scheitelpunkte (x₀,_y), (x₁,y₁), ..., (x_n-1,y_n-1) definiert ist, musst du nur die folgenden drei Formeln verwenden:

wobei A der Flächeninhalt eines Polygons ist:

Denke daran, dass die Scheitelpunkte in der richtigen Reihenfolge eingegeben werden müssen und dass das Polygon geschlossen sein muss — das heißt, dass der Scheitelpunkt (x₀, y₀) derselbe ist wie der Scheitelpunkt (x_n, y_n).

Wenn dir diese Schwerpunktformel ein bisschen Angst macht, dann warte nicht weiter — benutze diesen Schwerpunkt-Rechner, er hat diese Gleichung für dich implementiert.

Auch wenn du im Internet viele verschiedene Formeln für den Schwerpunkt eines Trapezes finden kannst, sind die oben vorgestellten Gleichungen universell — du musst weder den Ursprung mit einem Scheitelpunkt zusammenfallen lassen, noch muss die Grundseite des Trapezes gerade auf der x-Achse liegen. Hier kannst du die Position des Schwerpunkts finden, wenn du nur die Scheitelpunkte kennst. Das Gleiche gilt für den Schwerpunkt eines Rechtecks, einer Raute, eines Parallelogramms, eines Fünfecks oder jedes anderen geschlossenen, sich nicht selbst schneidenden Polygons.

Um diesen Schwerpunkt-Rechner zu benutzen, gib einfach die Scheitelpunkte deiner Form als kartesische Koordinaten ein. Schauen wir uns an, wie man den Schwerpunkt eines Trapezes findet:

1. Wähle die Art der Form, für die du den Schwerpunkt berechnen möchtest. In unserem Fall wählen wir ein N-seitiges Polygon.

2. Gib den Parameter für N ein (falls erforderlich). Für unser Beispiel müssen wir die Anzahl der Seiten unseres Polygons eingeben. Da das Trapez natürlich das Viereck ist, geben wir 4 in das Feld N ein.

3. Dann erscheinen die Felder zur Eingabe der Koordinaten. Gib die Koordinaten der Scheitelpunkte deiner Form ein. Nehmen wir an, die Scheitelpunkte unseres Trapezes sind:
   • A = (1,1)
   • B = (2,4)
   • C = (5,4)
   • D = (11,1)
4. Unser Schwerpunkt-Rechner zeigt dann die Antwort an! Der Schwerpunkt des von uns gewählten Trapezes ist (4,974; 2,231).

Erinnere dich daran, dass der Schwerpunkt der Punkt ist, in dem sich die Seitenhalbierenden schneiden. Um also den Schwerpunkt in einem gegebenen Dreieck zu konstruieren:

1. Konstruiere die Höhe zweier beliebiger Seiten, um ihre Mittelpunkte zu finden.
2. Zeichne die Mittelpunkte ein: Verbinde die Mittelpunkte mit den gegenüberliegenden Scheitelpunkten.
3. Der Schnittpunkt dieser Höhen ist der Schwerpunkt deines Dreiecks. Herzlichen Glückwunsch!

Hier erfährst du, wie du schnell den Schwerpunkt eines Polygons bestimmen kannst:

1. Schreibe die Koordinaten jedes Scheitelpunkts des Polygons auf.
2. Zähle die Scheitelpunkte und bezeichne ihre Anzahl mit n.
3. Addiere alle x-Werte der Scheitelpunkte und teile die Summe durch n.
4. Addiere alle y-Werte der Scheitelpunkte und teile die Summe durch n.
5. Das war's! Das Ergebnis von Schritt 3 ist die x-Koordinate des Schwerpunkts. Das Ergebnis von Schritt 4 ist die y-Koordinate des Schwerpunkts.

Erinnere dich daran, dass die Koordinaten des Schwerpunkts die Durchschnitte der Koordinaten der Scheitelpunkte sind. Für die gegebenen Scheitelpunkte gilt also:

G = [(0 + 0 + 3)/3, (0 + 3 + 3)/3] = [1,2].