Omni Calculator logo
Zuletzt aktualisiert:

Kreissektor Fläche Rechner

Neu

Inhalt

Was ist ein Kreissektor? DefinitionFormel für den KreissektorSonderfälle: Fläche eines Halbkreises, Fläche eines QuadrantenDer Flächenrechner im AlltagFAQs

Mit diesem Kreissektor-Rechner kannst du schnell eine beliebige Kreissektorfläche ermitteln, z. B. die Fläche eines Halbkreises oder eines Quadranten. In diesem kurzen Artikel erfährst du:

  • Was ein Kreissektor ist und wie der Kreissektor definiert ist.

  • Wir zeigen dir die Formel zur Berechnung der Sektorfläche und, wie du die Gleichung ohne großen Aufwand selbst herleiten kannst.

  • Wir zeigen dir auch einige Alltagsbeispiele, für die der Kreissektor-Rechner nützlich sein kann.

Was ist ein Kreissektor? Definition

Beginnen wir mit der Definition eines Sektors – was ist ein Sektor in der Geometrie?

Ein Sektor ist eine geometrische Figur, die von zwei Kreisradien und dem eingeschlossenen Kreisbogen eines Kreises begrenzt wird.

Sektoren eines Kreises werden am häufigsten in Kreisdiagrammen dargestellt, in denen ein Kreis in mehrere Sektoren unterteilt wird. So kann die Gewichtung der einzelnen Segmente am besten dargestellt werden. Die folgenden Bilder zeigen einige Beispiele für Kreissektoren – das bedeutet nicht unbedingt, dass sie wie ein Tortenstück aussehen, sondern eher wie der Rest der Torte, nachdem du dir ein Stück genommen hast:

Sektor mit spitzem Mittelpunktswinkel.Sektor mit rechtem Mittelpunktswinkel – QuadrantSektor mit stumpfem MittelpunktswinkelSektor mit geradem Mittelpunktswinkel – Halbkreis.Sektor mit reflexivem Mittelpunktswinkel

Über den Sektor einer Ellipse ist eher selten die Rede, die Formeln dazu sind auch viel, viel komplexer als die Gleichungen für den Kreissektor.

🙋 Bevor du weiterliest, kannst du dein Wissen über Kreise und Ellipsen nochmal auffrischen. Schaue dir dazu auch unseren Kreis Rechner: Finde U, d, a, r und unseren Ellipse Rechner an.

Formel für den Kreissektor

Die Formel für den Kreissektor ist einfach: Multipliziere den Mittelpunktswinkel mit dem Radius zum Quadrat und teile das Ergebnis durch 2:

  • Kreissektor = r² ∙ α / 2

Aber woraus leitet sich diese Formel ab? Du kannst sie mithilfe von Proportionen ermitteln. Alles, was du dir merken musst, ist die Formel für die Kreisfläche:

  1. Die Fläche eines Kreises wird mithilfe der Formel A = πr² berechnet. Das ist ein guter Ausgangspunkt.

  2. Der volle Winkel ist 2π im Bogenmaß oder 360° in Grad, wobei letzteres die gängigere Winkeleinheit ist.

  3. Jetzt können wir die Fläche eines Teils des Kreises berechnen, welcher durch den Mittelpunktswinkel ausgedrückt wird.

    • Bei einem Winkel von 2π (Vollkreis) ist die Fläche gleich πr²:

      2π → πr².

    • Wie groß ist dann der Flächeninhalt eines Kreissektors?

      α → Kreissektor.

  4. Aus der Proportion können wir leicht die endgültige Formel für den Kreissektor finden:

    Kreissektor = α ∙ πr² / 2π = α ∙ r² / 2.

Auf die gleiche Weise kannst du auch die Bogenlänge bestimmen – du musst dir nur die Formel für den Umfang eines Kreises merken. Mehr dazu erfährst du in unserem Kreisumfang Rechner und Bogenlänge Rechner.

💡 Beachte, dass α für diese Formel in Radiant angegeben werden muss. Wenn du den Mittelpunktswinkel deines Sektors in Grad kennst, multipliziere ihn zuerst mit π/180°, um den entsprechenden Wert in Bogenmaß zu erhalten. Du kannst stattdessen auch diese Formel verwenden, in der θ der Mittelpunktswinkel in Grad ist:

Kreissektor = r² ∙ θ ∙ π / 360

Sonderfälle: Fläche eines Halbkreises, Fläche eines Quadranten

Die Fläche eines Halbkreises oder eines Quadranten (Viertelkreis) zu bestimmen, sollte jetzt ein Kinderspiel sein. Überlege einfach, wie viele Teile eines Kreises sie darstellen!

1. Halbkreisfläche: πr² / 2

Sektor mit geradem Mittelwinkel — Halbkreis.
  • Da du weißt, dass das der Hälfte des Kreises entspricht, teile die Fläche durch 2:

    Halbkreisfläche = Kreisfläche / 2 = πr² / 2

  • Das gleiche Ergebnis erhältst du natürlich auch, wenn du die Formel für den Flächeninhalt eines Sektors verwendest. Denke nur daran, dass der gerade Winkel π (180°) ist:

    Halbkreisfläche = α ∙ r² / 2 = πr² / 2.

2. Quadrantenfläche: πr² / 4

Sektor mit rechtem Mittelwinkel — Quadrant.
  • Da ein Quadrant ein Viertel eines Kreises ist, können wir die Formel so umschreiben:

    Quadrantenfläche = Kreisfläche / 4 = πr² / 4.

  • Der Mittelpunktswinkel des Quadranten ist ein rechter Winkel (π/2 oder 90°), also kommst du schnell auf dieselbe Gleichung:

    Quadrantenfläche = α ∙ r² / 2 = πr² / 4.

Der Flächenrechner im Alltag

Ja, ja, wir wissen schon, was dir durch den Kopf geht: „wozu muss ich das wissen? Ich werde das sowieso niemals brauchen“. Nun, Geometrie ist überall um uns herum:

  • Wenn du dich fragst, wie groß die Torte sein muss, die du für deine Geburtstagsparty bestellen möchtest — Bingo, nutze die Formel für den Kreissektor, um die Größe eines Stücks 🍰 für deine Gäste abzuschätzen, damit niemand vernachlässigt wird.

  • Die Sache mit Pizza ist ganz ähnlich — ist dir aufgefallen, dass jedes Stück ein Kreissektor ist 🍕? Wenn du zum Beispiel kein großer Fan der Kruste bist, kannst du ausrechnen, welche Pizzagröße der beste Deal für dich ist.

  • Gibt es hier Nähbegeisterte?👗 Die Berechnung der Kreisfläche kann bei der Vorbereitung eines kreisförmigen Rocks nützlich sein (da es sich nicht immer um einen Vollkreis handelt, sondern um einen Kreissektor).

Abgesehen von diesen Alltagsbeispielen kann die Formel für den Kreissektor auch in der Geometrie nützlich sein, z. B. um den Flächeninhalt eines Kegels zu bestimmen.

FAQs

Was ist der Kreissektor?

Der Kreissektor ist ein Teil eines Kreises, der durch zwei Kreisradien und einen Kreisbogen begrenzt wird. Wir unterscheiden die Sektoren eines Kreises anhand ihres Mittelpunktswinkel, welcher zwischen den beiden Radien liegt. Sektoren mit einem Mittelpunktswinkel von 90° werden Quadranten genannt.

Wie berechne ich die Fläche eines Kreissektors?

Um den Flächeninhalt eines Kreissektors zu berechnen, kannst du zwei Methoden anwenden.

  • Wenn du den Radius und den Mittelpunktswinkel gegeben hast:

    1. Rechne den Mittelpunktswinkel in Bogenmaß (Radiant) um:

      α [rad] = α [Grad] · π/180°.

    2. Multipliziere den Radius zum Quadrat mit dem Winkel im Bogenmaß.

    3. Teile das Ergebnis durch 2.

  • Wenn du den Flächeninhalt des Kreises und den Mittelpunktswinkel gegeben hast:

    1. Berechne das Verhältnis zwischen dem vollen Winkel und dem Mittelpunktswinkel.

    2. Multipliziere das Ergebnis mit dem Flächeninhalt des Kreises.

Wie groß ist die Fläche des 90°-Kreissektors mit r = 1?

Die Fläche eines Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel α = 90°und dem Radius r = 1 ist π/4. Um dieses Ergebnis zu berechnen, kannst du die folgende Formel verwenden:

A = r² · α/2,

und setze ein:

  • r = 1 und
  • α = 90° · π/180° = π/2.

Daraus folgt:

a = (1² · π/2)/2 = π/4.

Beachte, dass dies gleich ein Viertel der Fläche des ganzen Kreises entspricht.

Wie finde ich den Mittelpunktswinkel eines Kreissektors?

Um den Mittelpunktswinkel eines Kreissektors zu bestimmen, kannst du die Formel für den Flächeninhalt umkehren:

A = r² · α/2,

wobei:

  • r — der Radius und
  • α — der Mittelpunktswinkel in Radiant.

Die Formel für α lautet dann:

α = 2 · A/r².

Um den Winkel in Grad zu ermitteln, multiplizierst du das Ergebnis mit 180°/π.

Circle sector with radius, central angle, sector area arc length and chord length marked.
Check out 11 similar circle calculators ⭕
Arc lengthArea of a circleCircle calc: find c, d, a, r...8 more