Bogenlänge Rechner
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Formel für die BogenlängeFläche eines KreissektorsBeispiel zur Bestimmung der Bogenlänge und der Fläche eines KreissektorsFAQsDieser Bogenlänge-Rechner ist ein Werkzeug, mit dem du die Länge eines Kreisbogens und die Fläche eines Kreissektors (Kreisausschnitt) berechnen kannst. In diesem Artikel wird die Formel für die Bogenlänge im Detail erklärt und du erhältst eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie du die Bogenlänge ermitteln kannst. Außerdem erfährst du die Gleichung für den Flächeninhalt eines Kreissektors.
Falls du dich zum ersten Mal mit der Berechnung von Kreisen beschäftigst, könnte die Berechnung der Länge und der Fläche von Kreissektoren etwas zu fortgeschritten sein. Du kannst auch mit einfacheren Werkzeugen, wie dem Kreis Rechner und dem Kreis - Umfang und Fläche Rechner beginnen.
Formel für die Bogenlänge
Die Bogenlänge L hängt vom Radius r eines Kreises und dem Zentriwinkel θ ab. Wir wissen, dass bei einem Winkel von 360 Grad (2π) die Bogenlänge gleich dem Kreisumfang ist. Da das Verhältnis zwischen Winkel und Bogenlänge konstant ist, können wir also sagen, dass:
L / θ = U / 2π.
Der Umfang daraus ist U = 2πr,
L / θ = 2πr / 2π,
L / θ = r.
Wenn wir diese Gleichung mit θ multiplizieren, erhalten wir die Formel für die Bogenlänge:
L = r ∙ θ
Die Bogenlänge ist also gleich dem Radius, multipliziert mit dem Zentriwinkel (im Bogenmaß).
Fläche eines Kreissektors
Wir können den Flächeninhalt eines Kreissektors auf ähnliche Weise ermitteln. Wir wissen, dass die Fläche des ganzen Kreises gleich πr² ist. Aus den Proportionen,
A / θ = πr² / 2π und
A / θ = r² / 2.
Die Formel für die Fläche eines Kreissektors lautet:
A = r² ∙ θ / 2.
Beispiel zur Bestimmung der Bogenlänge und der Fläche eines Kreissektors
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Bestimme den Radius deines Kreises. Er kann zum Beispiel 15 cm betragen. (Du kannst stattdessen auch den Durchmesser in den Bogenlänge-Rechner eingeben).
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Wie groß wird der Winkel zwischen den Enden des Bogens sein? Sagen wir, er beträgt 45 Grad oder π/4.
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Berechne die Bogenlänge nach der obigen Formel:
L = r ∙ θ = 15 ∙ π/4 = 11,78 cm. -
Berechne die Fläche des Kreissektors:
a = r² ∙ θ / 2 = 15² ∙ π/4 / 2 = 88,36 cm².
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Du kannst den Bogenlänge-Rechner auch verwenden, um den Zentriwinkel oder den Radius des Kreises zu ermitteln. Gib einfach zwei beliebige Werte in die entsprechenden Felder ein und sieh zu, wie der Rechner die Berechnungen für dich durchführt.
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Wie kannst du die Bogenlänge ohne den Radius ermitteln?
Um die Bogenlänge ohne Radius zu berechnen, brauchst du den Zentriwinkel und die Sektorfläche:
- Multipliziere die Fläche mit 2 und teile das Ergebnis durch den Zentriwinkel im Bogenmaß.
- Finde die Quadratwurzel aus dieser Division.
- Multipliziere die Wurzel erneut mit dem Zentriwinkel, um die Bogenlänge zu erhalten.
- Die Einheiten sind die Quadratwurzel aus den Flächeneinheiten des Sektors.
Oder den Zentriwinkel und die Sehnenlänge:
- Teile den Zentriwinkel im Bogenmaß durch 2 und wende die Sinusfunktion darauf an.
- Dividiere die Sehnenlänge durch das Doppelte des Ergebnisses aus Schritt 1. Mit dieser Berechnung erhältst du den Radius.
- Multipliziere den Radius mit dem Zentriwinkel, um die Bogenlänge zu erhalten.
Wie ermittelt man die Bogenlänge im Bogenmaß?
- Multipliziere den Zentriwinkel im Bogenmaß mit dem Radius des Kreises.
- Das war's! Das Ergebnis ergibt sich ganz einfach aus dieser Multiplikation.
Wie berechnet man die Bogenlänge ohne den Winkel?
Um die Bogenlänge ohne den Winkel zu berechnen, brauchst du den Radius und die Sektorfläche:
- Multipliziere die Fläche mit 2.
- Teile dann das Ergebnis durch den Radius zum Quadrat (achte darauf, dass die Einheiten gleich sind), um den Zentriwinkel im Bogenmaß zu erhalten.
Du kannst auch den Radius und die Sehnenlänge verwenden:
- Dividiere die Sehnenlänge durch das Doppelte des Radius.
- Bestimme den inversen Sinus (Arkussinus, arcsin) des Ergebnisses (im Bogenmaß).
- Verdopple das Ergebnis des Arkussinus, um den Zentriwinkel im Bogenmaß zu erhalten.
- Wenn du den Zentriwinkel im Bogenmaß hast, multipliziere ihn mit dem Radius, um die Bogenlänge zu erhalten.
Muss die Bogenlänge im Bogenmaß angegeben werden?
Die Bogenlänge ist ein Maß für die Entfernung, sie kann also nicht im Bogenmaß angegeben werden. Auch der Zentriwinkel muss nicht im Bogenmaß angegeben werden. Er kann in jeder beliebigen Winkeleinheit angegeben werden, von Grad bis Bogensekunden. Die Verwendung von Bogenmaß ist jedoch viel einfacher für Berechnungen zur Bogenlänge, da du dann einfach den Winkel mit dem Radius multiplizieren kannst.
