Ellipse Rechner

Dieser Ellipse-Rechner ist ein praktisches Werkzeug zur Bestimmung der grundlegenden Parameter und der wichtigsten Punkte einer Ellipse. Du kannst damit den Schwerpunkt, die Scheitelpunkte, die Brennpunkte, den Flächeninhalt oder den Umfang ermitteln. Alles, was du tun musst, ist, die Standardform-Gleichung der Ellipse aufzuschreiben und zu sehen, wie dieser Rechner die Berechnungen für dich erledigt.

Wir haben diesen Artikel geschrieben, damit du die grundlegenden Eigenschaften einer Ellipse verstehst. Lies weiter, um zu erfahren, wie man den Flächeninhalt eines Ovals berechnet, was der Brennpunkt einer Ellipse ist oder wie man die Exzentrizität definiert.

Wenn dir der Ellipsen-Rechner gefällt, probiere auch den Oktagon Rechner aus!

Eine Ellipse ist ein verallgemeinerter Fall eines geschlossenen Kegelschnitts. Sie hat eine ovale Form und entsteht, wenn du einen Kegel 🇺🇸 mit einer schiefen Ebene schneidest. Wenn der Neigungswinkel der Ebene null ist, erhältst du einen Kreis (Kreise sind eine Untereinheit von Ellipsen).

Wenn du eine Ellipse zeichnen möchtest, musst du zwei Punkte bestimmen, die Brennpunkte genannt werden (die Punkte F₁ und F₂ in der Abbildung oben). Dann wird die Ellipse als Gruppe aller Punkte definiert, für die die Summe der Entfernungen zum ersten und zweiten Brennpunkt gleich einem konstanten Wert ist. Bei einem Kreis überschneiden sich beide Brennpunkte in einem Punkt.

Die Gleichung einer Ellipse ist ein verallgemeinerter Fall der Gleichung eines Kreises. Sie hat die folgende Form:

(x - c₁)² / a² + (y - c₂)² / b² = 1,

wobei:

• (x, y) – Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Ellipse;
• (c₁, c₂) – Koordinaten des Schwerpunkts der Ellipse;
• a – Entfernung zwischen dem Schwerpunkt und dem Scheitelpunkt der Ellipse, der auf der horizontalen Achse liegt; und
• b – Entfernung zwischen dem Schwerpunkt und dem Scheitelpunkt der Ellipse, der auf der vertikalen Achse liegt.

Wenn die Ellipse horizontal ist (d. h. ein Kreis, der entlang der horizontalen Achse „gestreckt“ wird), dann ist a größer als b. Wenn sie vertikal ist, dann ist b größer als a. Für die Parameter a = b ist die Ellipse ein regelmäßiger Kreis mit dem Radius a und der folgenden Kreisgleichung:

• (x - c₁)² + (y - c₂)² = a².

Wenn a und b die Längen der Haupt- bzw. Nebenachse deiner Ellipse sind, lautet die Formel für den Flächeninhalt:

A = π ∙ a ∙ b.

Insbesondere wenn a = b ist, ergibt sich A = πa².

Kommt dir das bekannt vor? Du hast recht, wir haben die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius a wiedergefunden!

Überraschenderweise ist es viel schwieriger, den Umfang einer Ellipse zu bestimmen. Es gibt viele Näherungen, die Lösungen auf verschiedenen Präzisions- und Genauigkeitsstufen liefern. Unser Ellipsenrechner verwendet die von Ramanujan angegebene Näherung:

Unser Ellipse-Rechner kann dir auch die Exzentrizität einer Ellipse liefern. Wie hoch ist dieser Wert? Lies weiter!

Die Exzentrizität ist das Verhältnis von zwei Werten: die Entfernung zwischen einem beliebigen Punkt auf der Ellipse und dem Brennpunkt und die Entfernung von diesem beliebigen Punkt zur Leitlinie der Ellipse.

Jede Ellipse ist durch eine konstante Exzentrizität gekennzeichnet. Wenn die Ellipse ein Kreis ist, dann ist die Exzentrizität = 0. Liegt sie unendlich nahe an einer Geraden, dann geht die Exzentrizität gegen unendlich.

Die Exzentrizität wird mit Hilfe der folgenden Gleichung berechnet:

• Exzentrizität = √(a² - b²) / a für eine horizontale Ellipse; und
• Exzentrizität = √(b² - a²) / b für eine vertikale Ellipse.

Neben den Grundparametern kann unser Ellipse-Rechner auch die Koordinaten der wichtigsten Punkte auf jeder Ellipse ermitteln. Diese Punkte sind der Schwerpunkt (Punkt C), Brennpunkte (F₁ und F₂) und Scheitelpunkte (V₁, V₂, V₃, V₄).

1. Um den Schwerpunkt zu finden, sieh dir die Gleichung der Ellipse an. Die Koordinaten des Schwerpunkts sind einfach die Zahlen (c₁, c₂).
2. Die Brennpunkte einer horizontalen Ellipse sind:
   • F₁ = (-√(a²-b²) + c₁, c₂)
   • F₂ = (√(a²-b²) + c₁, c₂)
3. Die Brennpunkte einer vertikalen Ellipse sind:
   • F₁ = (c₁, -√(b²-a²) + c₂)
   • F₂ = (c₁, √(b²-a²) + c₂)
4. Die Scheitelpunkte einer Ellipse befinden sich in den Punkten:
   • V₁ = (-a + c₁, c₂)
   • V₂ = (a + c₁, c₂)
   • V₃ = (c₁, -b + c₂)
   • V₄ = (c₁, b + c₂)

Es gibt noch einen weiteren Parameter für Kegelschnitte, den „latus rectum“, den du in unserem Latus Rectum Rechner 🇺🇸 kennenlernen kannst!