Oktagon Rechner

Willkommen bei unserem Achteck-Rechner, dem ultimativen Tool für alles, was achteckig ist. Du kannst mit diesem hervorragenden Werkzeug die Diagonalen, den Umfang, den Umkreis- und Inkreisradius und die Fläche eines regelmäßigen Achtecks berechnen. In diesem Achteck-Rechner findest du Antworten auf die folgenden Fragen:

• Was ist ein Achteck?
• Wie viele Seiten hat ein Achteck?
• Wie berechnet man den Flächeninhalt eines regelmäßigen Achtecks?
• Wie wird ein Achteck gezeichnet?

Schauen wir uns nun die Definition des Achtecks an, wie die Winkel des Achtecks berechnet werden und wie sie die Form des Achtecks beeinflussen. Zudem sehen wir uns einige Beispiele für Achtecke aus der realen Welt an, darunter achteckige Fliesen, Kamerablenden und das berühmte „Octagon House”.

Die Standarddefinition eines Achtecks oder Oktagons lautet: „Ein Achteck ist ein Polygon mit 8 Seiten, das eine geschlossene Fläche begrenzt.” Das „Okto-” ist griechisch und bedeutet acht. So weißt du, dass ein Oktagon gleich ein Achteck ist und dass ein Oktopus acht Beine hat.

Wir werden etwas tiefer in den griechischen Ursprung der Achteckform eintauchen, wenn wir über die Winkel des Achtecks sprechen. Jetzt können wir uns erst einmal auf die Seiten des Achtecks konzentrieren. Wenn jemand fragt: „Wie viele Seiten hat ein Achteck?”, ist die Antwort immer dieselbe. Wenn diese Person aber nach der Länge dieser Seiten fragt, können wir nicht nur eine Antwort geben. Jede Seite eines Achtecks kann unterschiedlich lang sein und trotzdem bilden sie zusammen ein Achteck; da gibt es keine Einschränkungen. Wenn alle Innenwinkel und Seitenlängen eines Achtecks gleich sind, sprechen wir von einem regelmäßigen Achteck, welches besondere Eigenschaften hat. Diese schauen wir uns in den folgenden Abschnitten genauer an.

Um die Definition des Achtecks zu verstehen, müssen wir uns seine griechische Bezeichnung Oktagon anschauen — sie bedeutet acht Winkel. Daraus ergibt sich ein Vieleck, das aus acht Eckpunkten besteht, die durch acht Geraden verbunden sind. Die acht Seiten sind eine notwendige Folge davon, dass es acht Winkel gibt. Du kannst ein Achteck also als „ein achtseitiges Vieleck” oder „ein Vieleck mit acht Winkeln” definieren.

Während die Seiten eines Achtecks fast jede Länge haben können, sind die Winkelgrößen des Achtecks begrenzt. Die Winkelgrößen sind nicht einzeln beschränkt, sondern die Summe aller Innenwinkel beträgt immer 1080°. Diese Einschränkung ist geometrisch bedingt, da es unmöglich wäre, alle acht Seiten miteinander zu verbinden, ohne diese Regel zu beachten.

Das bedeutet, dass jeder Innenwinkel eins regelmäßiges Achteck gleich 1080°/8 = 135° beträgt (wenn du andere Einheiten bevorzugst, kannst du unseren Winkelumrechner 🇺🇸 verwenden). Unserer Meinung nach ist ein regelmäßiges Achteck viel hübscher als alle anderen Achtecke. Im weiteren Verlauf des Textes werden wir sehen, wie der Flächeninhalt eines Achtecks bestimmt wird und welche Tricks es für die Berechnung regelmäßiger Achtecke gibt.

Um den Flächeninhalt eines regelmäßigen Achtecks schriftlich zu bestimmen, ist es am einfachsten, die Standardformel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes anzuwenden. Die Formel lautet wie folgt:

Fläche eines regelmäßigen Vieleckes = Umfang × Apothema / 2,

dabei ist das Apothema der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Polygons und dem Mittelpunkt einer Seite.

Ein Trick, um sich diese Formel zu merken, ist zu verstehen, woher sie kommt. Das Apothema ist die Höhe eines Dreiecks, das durch eine Linie von den Scheitelpunkten des Polygons / Achtecks zum Mittelpunkt des Dreiecks gebildet wird. Der Flächeninhalt des so entstandenen gleichschenkligen Dreiecks wird folgendermaßen berechnet:

Flächeninhalt = Basis × Höhe / 2.

Du kannst das auch mit unserem Dreiecksflächenrechner ermitteln. Beachte, dass die Grundfläche des Dreiecks die Länge einer Seite des Achtecks ist. Da es so viele dieser Dreiecke gibt, wie das Polygon Seiten hat (acht für ein Achteck), musst du die Fläche dieses Dreiecks mit der Anzahl der Seiten multiplizieren. So erhältst du die Gesamtfläche des Achtecks:

Fläche des Achtecks = 8 × Grundfläche × Höhe / 2 = Umfang × Apotheke / 2.

Diese Tricks funktionieren für jedes regelmäßige Polygon, wie z. B. ein regelmäßiges Sechseck. Abgesehen von der Verwendung von Dreiecken gibt es noch andere Tricks, mit denen du die Fläche eines Achtecks berechnen kannst, wenn du dich nicht an die Formel erinnerst. Sie funktionieren aber nicht für andere Vielecke. Wenn du dir zum Beispiel ein Achteck innerhalb eines Quadrats vorstellst, siehst du, dass der Unterschied nur vier rechtwinklige Dreiecke sind. „Wie kann man mit dieser Information die Fläche eines regelmäßigen Achtecks bestimmen?”, fragst du dich vielleicht. Nun, das ist ganz einfach:

1. Berechne den Flächeninhalt des Quadrats (Seite = 2 × Apothema).
2. Berechne die Seiten der rechtwinkligen Dreiecke mit dem Rechner für spezielle rechtwinklige Dreiecke.
3. Ziehe die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks viermal von der Fläche des Quadrats ab.
4. Viel Erfolg!

Alternativ kannst du auch folgenden Trick anwenden: wenn du die rechtwinkligen Dreiecke richtig anordnest, kannst du aus allen vier Dreiecken ein Quadrat konstruieren. In diesem Fall ist die Hypotenuse auch die Seite des Achtecks. Dann kannst du die Fläche des Parallelogramms berechnen, das du gerade aus den vier rechtwinkligen Dreiecken gebildet hast, und sie von der Fläche des umgebenden Quadrats abziehen.

Du kannst auch noch kreativer werden. Stell dir zum Beispiel vor, dass das Achteck aus einem Rechteck mit zwei Trapezen besteht, von denen eines oberhalb und eines unterhalb des Rechtecks liegt. In diesem Fall ist es viel einfacher, die Fläche zu berechnen, da du nur die Fläche des Rechtecks plus die doppelte Fläche eines der Trapeze addieren musst, da beide Trapeze gleich groß sind.

Insgesamt hat ein Achteck 20 Diagonalen; die längsten liegen auf den Symmetrieachsen und treffen sich im zentralen Punkt O, der auch der Ursprung der Symmetrie ist. Es gibt drei Arten von Diagonalen (sieh dir dazu die Abbildung oben im Abschnitt „Fläche eines Achtecks” an):

• kurze Diagonalen, zum Beispiel AG, FH oder CE,
• mittlere Diagonalen, z. B. AF oder BE (auch als Höhe eines Achtecks bezeichnet), und
• lange Diagonalen, z. B. AE oder BF.

Du kannst die Formeln für jede dieser Diagonalen mithilfe der Grundprinzipien der Geometrie leicht herleiten. Hier sind die Formeln für die Länge der Diagonalen:

• kurze Diagonale s = a ∙ √(2 + √2),
• mittlere Diagonale m = a ∙ (1 + √2) und
• lange Diagonale l = a ∙ √(4 + 2√2).

Wenn du es eilig hast, verwende dafür einfach den Achteck-Rechner.

Wir sollten auch über den Umkreisradius und den Inkreisradius sprechen. Unser Achteck-Flächenrechner ist in der Lage, die Radien des Umkreises und des Inkreises zu bestimmen.

Du kannst feststellen, dass der Umkreisradius einfach die Hälfte der Länge der längsten Diagonale ist:

• R = l/2 = a / 2 ∙ √(4 + 2√2).

Auf ähnlicher Weise ist der Inkreisradius dasselbe wie das Apothema, der einfach die Hälfte der Höhe des Achtecks ist:

• r = m/2 = a/2 ∙ (1 + √2).

Ein Achteck zu zeichnen, mag zunächst einfach erscheinen, und im Prinzip ist es das auch. Zeichne einfach eine beliebige Form mit acht geraden Seiten, und schon bist du fertig. Aber in der Regel möchte man nicht irgendein Achteck zeichnen, sondern ein regelmäßiges Achteck, denn das ist die Form des Achtecks, die einem zuerst in den Sinn kommt. Sehen wir uns also an, wie man ein Achteck so regelmäßig und einfach wie möglich zeichnen kann.

Am präzisesten wäre es, wenn du ein richtiges Zeichenwerkzeug benutzen würdest und die regelmäßige Achteckform eine Seite nach der anderen zeichnen würdest, indem du sie mit den entsprechenden 135°-Winkeln des regelmäßigen Achtecks verbindest. Aber nicht jeder hat solche Werkzeuge zur Hand, also ist das keine sehr praktische Methode. Um die gesuchte Achteckform zu erhalten, ist es am besten, mit dem Umfang zu beginnen, denn den kann man mit der Hand (nicht empfohlen) oder mit einem Glas, einem Becher oder sogar einer Münze zeichnen.

Wenn du den Umfang gezeichnet hast, beginne damit, die entsprechende Kreisfläche in zwei Hälften zu teilen. Zuerst teilst du die Fläche in zwei Halbkreise. Dann halbierst du sie erneut und erhältst vier Viertelkreise. Halbiere sie noch einmal und du erhältst acht Kreissegmente. Wir können nun die benachbarten Teilungspunkte entlang des Kreisumfangs mit Geraden verbinden. Das Ergebnis ist ein perfekt regelmäßiges Achteck, abzüglich der menschlichen Fehler, die du beim Zeichnen und Halbieren machen kannst.

Ein weiterer Trick zum Zeichnen eines Achtecks ist der, den wir bereits besprochen haben, als wir lernten, wie man den Flächeninhalt eines Achtecks mit Quadraten bestimmt. Beginne mit dem Zeichnen eines großen Quadrats und „schneide” dann die Ecken ab. Wenn du es richtig machst, erhältst du eine regelmäßige Achteckform. Diese Methode ist nicht so präzise wie die vorherige, aber sie ist einfacher und ohne Hilfsmittel durchzuführen.

Die Verwendung des Achteck-Rechners ist nicht allzu kompliziert. Um jegliche Zweifel zu beseitigen, lass uns die Funktionen und Verwendungszwecke dieses Achteck-Rechners durchgehen. Als Erstes sollten wir uns die verschiedenen Felder ansehen und was sie bedeuten.

• Seitenlänge — die Länge der einzelnen Seiten des regelmäßigen Achtecks,
• Umfang — die Summe der Längen aller Seiten des Achtecks,
• Fläche — der Raum, den das Achteck einschließt;
• Längste Diagonale — die Länge der Geraden, die die beiden am weitesten entfernten Eckpunkte verbindet;
• Mittlere Diagonale — die Länge der Geraden, die 2 Scheitelpunkte mit 2 Scheitelpunkten zwischen ihnen verbindet;
• Kürzeste Diagonale — die Länge der Geraden, die 2 Scheitelpunkte mit einem dazwischen liegenden Scheitelpunkt verbindet;
• Umkreisradius — der Radius des Kreises, der alle 8 Eckpunkte des regelmäßigen Achtecks enthält und
• Inkreisradius — der Radius des kleinsten Kreises, der alle 8 Seiten tangiert.

Jetzt, wo du weißt, was die einzelnen Parameter bedeuten, ist es an der Zeit, zu sehen, wie du den Achteck-Rechner verwenden kannst, um die gesuchten Werte schnell zu erhalten. Das Beste an diesem Rechner ist, dass er nur eine Eingabe benötigt, um die restlichen Werte zu berechnen. Dank dieser Innovation ist der Achteck-Rechner unübertroffen schnell beim Berechnen der Eigenschaften eines Achtecks.

Bis jetzt haben wir über die Definition des Achtecks gesprochen und darüber, wie man ein Achteck zeichnet. Wir haben Bilder von Achtecken gesehen und sogar die (offensichtliche) Frage beantwortet, wie viele Seiten ein Achteck hat. Jetzt ist es an der Zeit, zu sehen, wo Achtecke im Alltag verwendet werden. Die Form des Achtecks lässt sich aufgrund der flachen Seiten und der Achteckwinkel leichter herstellen und in Designs verwenden als ein Kreis. Wir finden Achteckfliesen oft als Bodenbelag oder im Badezimmer. Es gibt sogar Häuser, die die Form eines Achtecks haben, darunter das berühmte „Octagon House”.

Das Octagon House wurde in einer achteckigen Form in Washington D.C., USA, für Colonel John Tayloe III. gebaut. Aus diesem Grund ist es auch als Colonel John Tayloe III House bekannt. Es folgt der amerikanischen Tradition, Gebäude nach ihrer Form zu benennen (denke an das Pentagon). Das Pentagon ist das Hauptquartier des Verteidigungsministeriums der Vereinigten Staaten und wurde in der Form eines regelmäßigen Fünfecks gebaut.

Das Octagon House hat viele interessante architektonische Merkmale, wie zum Beispiel eine dreieckige Diensttreppe, eine größere ovale Treppe und die offensichtliche achteckige Form des Gebäudes. Zusätzlich zu diesen einzigartigen Merkmalen ranken sich um das Haus mehrere Geistergeschichten, auch weil der Besitzer eine wichtige Figur in der frühen amerikanischen Geschichte war.

Wie jedes regelmäßige Vieleck wird auch das Achteck in vielen verschiedenen Bereichen verwendet. Wir haben bereits über den Bau von Häusern in Achteckform gesprochen, und auch wenn es um Bodenbeläge geht, vor allem in Form von Achteckfliesen, ist diese Form sehr beliebt. Die Form eines regelmäßigen Achtecks bedeutet, dass wir Achteckfliesen und quadratische Fliesen kombinieren können, um den Boden eines jeden Raumes vollständig auszufüllen, egal wie groß er ist.

Wenn du bei jeder Fliesenart ein anderes Muster oder verschiedene Farben verwendest, kannst du mit diesen Kombinationen einen schönen Boden für deine Küche oder dein Bad gestalten.

Eine weitere spannende Verwendung von Achtecken findest du in Fotokameras. Insbesondere der Verschluss schützt den Sensor vor Lichteinfall, wenn die Kamera nicht in Gebrauch ist. Dieser Verschluss, auch Blende genannt, hat immer eine regelmäßige polygonale Form, welche ein Achteck sein kann. Mehr über die Blende und wie du mit ihr herumexperimentieren kannst, um professionellere Bilder zu schießen, erfährst du in unserem Numerische Apertur Rechner 🇺🇸.

Bevor du dich auf den Weg machst, um den Rechner auszuprobieren, möchten wir dir einen kurzen Tipp/Trick geben. Wenn du ein Bild von einer hellen Lichtquelle siehst, ist dir vielleicht schon aufgefallen, dass sie je nach Kamera wie ein Stern mit einer unterschiedlichen Anzahl von Zacken aussieht. Diese Beobachtung ist der Schlüssel, um herauszufinden, ob deine Kamera eine achteckige Blende hat oder nicht: Die Anzahl der Zacken ist genau gleich der Anzahl der Seiten des Polygons, aus dem die Blende besteht. Und wie viele Seiten hat ein Achteck? Ganz genau! Du brauchst also nur nach Sternformen mit 8 Zacken zu suchen, und du weißt, dass dieses Bild mit einer achteckigen Blende aufgenommen wurde. Es funktioniert jedes Mal — das ist Physik, genauer gesagt, ein Beugungsmuster.