Kalkulator współrzędnych odcinka (brakującego punktu końcowego)

Created by Maciej Kowalski, PhD candidate
Reviewed by Bogna Szyk and Jack Bowater
Translated by Hanna Pamuła, PhD and Wojciech Sas, PhD
Last updated: Jan 18, 2024


Witamy w Omni kalkulatorze współrzędnych odcinka, gdzie dowiesz się jak znaleźć punkt końcowy odcinka, jeśli znamy współrzędne jego drugiego końca i punktu środkowego. Jak zapewne się domyślasz, temat ten jest związany z obliczaniem punktu środkowego, co jest powodem, dla którego wzór na punkt końcowy jest dość podobny do tego z kalkulatora punktu środkowego. Ale, zanim przejdziemy do szczegółów, powolutku zapoznamy się z definicją punktu końcowego w geometrii, aby lepiej zrozumieć, z czym mamy tu do czynienia.

Więc rozsiądź się wygodnie, zaparz herbatę i ruszajmy w podróż po świecie geometrii!

Definicja punktu końcowego w geometrii

Kolokwialnie mówiąc, punkt końcowy to punkt, który leży na końcu. Jesteśmy pewni, że to stwierdzenie było dla ciebie takim samym szokiem jak dla nas, gdy usłyszeliśmy je po raz pierwszy. Ale nigdy nie można być zbyt pewnym, gdy odgaduje się faktyczne znaczenie danego słowa, prawda?

W najprostszej formie definicja punktu końcowego w geometrii skupia się na odcinkach, tj. liniach prostych łączących dwa punkty. Tak, dobrze myślisz — oba te punkty są nazywane punktami końcowymi. Zauważ, że zgodnie z tą definicją, każdy odcinek ma dwa punkty końcowe (chyba że jest to zdegenerowany przypadek, w którym są one tym samym punktem, tj. przedział jest jednym punktem).

Odcinek ma dwa punkty końcowe.

Dla uproszczenia obliczeń i wyjaśnień, jeden z nich nazwiemy punktem początkowym. Pamiętaj jednak, że początek może być równie dobrze końcem, jeśli spojrzysz na niego z drugiej strony.

Zabrzmiało to nieco filozoficznie, nie sądzisz? Ale zostawmy pytania typu „Kim jesteśmy i dokąd zmierzamy?” na czas, kiedy nie możemy zasnąć. Powinniśmy się skupić na odcinkach, o których wspomnieliśmy i na tym, jak znaleźć ich punkty końcowe.

Jak znaleźć punkty końcowe odcinka?

Aby otrzymać punkt końcowy, musimy na początek mieć jakiś punkt odniesienia. Innymi słowy, skoro mamy do czynienia z odcinkiem i jednym z punktów go wyznaczających, to musimy wiedzieć, jakie mamy pozostałe podane informacje.

Najprostszą i najczęściej spotykaną sytuacją jest ta, w której brakuje nam punktu końcowego, podczas gdy znamy punkt początkowy i środkowy. Ten ostatni to po prostu, jak sama nazwa wskazuje, punkt wyznaczający środek odcinka. To wszystko, czego potrzebujemy, aby znaleźć punkt końcowy; w końcu musi on leżeć na drugim końcu środka, względem punktu początkowego. Musi też znajdować się w tej samej odległości.

Zatem, kierując się intuicją, możemy już geometrycznie opisać, jak znaleźć punkt końcowy:

  1. Biorąc pod uwagę punkt początkowy, AA, oraz punkt środkowy, BB, narysuj odcinek, który łączy te dwa punkty.
  2. Narysuj linię biegnącą dalej, przez AA, BB, aż do Bóg-wie-gdzie.
  3. Zmierz odległość od AA do BB i zaznacz tę samą odległość na narysowanej linii, idąc od BB w drugą stronę.
  4. Wykonaj taniec zwycięstwa — udało ci się!

Są jednak ludzie (i nie sugerujemy, że my jesteśmy tymi ludźmi), którzy nie lubią tak bardzo kreślić prostych linii. W końcu do tego potrzebna jest linijka, a Lorde jest trudno dostępna… (Tak, jest to okropny żart, który na dodatek ma sens tylko w wersji oryginalnej — po angielsku. Ale, mimo wszystko, zostawimy go także w wersji polskiej, byście wszyscy mogli zapłakać nad naszym słabym poczuciem humoru).

🔎 Zamiast rysować linie, możesz użyć naszego kalkulatora odległości dla dwóch danych punktów.

Rysowanie linii może być trudne bez odpowiedniego sprzętu.

W każdym razie, dla osób, które wolą liczby i obliczenia (a możemy właściwie przyjąć, że jesteśmy właśnie takimi osobami), w następnym rozdziale skupimy się na tym, jak znaleźć punkt końcowy za pomocą algebry. Proszę, nie obawiajcie się tego słowa „algebra” — za chwilę zobaczycie, że jest ono równoważne sformułowaniu „łatwo i bez wysiłku” — może to być właściwie motto naszego kalkulatora brakującej współrzędnej odcinka.

Wzór na punkty końcowe

W geometrii analitycznej zajmujemy się obiektami osadzonymi w czymś, co nazywamy przestrzenią euklidesową. Nie jest w tej chwili zbyt ważne zrozumienie jej matematycznej definicji. Dla naszych potrzeb wystarczy wiedzieć, że oznacza to, iż w takich przestrzeniach punkty, powiedzmy AA lub BB, mają dwie współrzędne: A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) i B=(x2,y2)B = (x_2, y_2).

Liczby x1x_1 i x2x_2 oznaczają położenie punktów względem osi poziomej (oznaczanej najczęściej symbolem xx), natomiast y1y_1 i y2y_2 względem osi pionowej (oznaczanej najczęściej symbolem yy). Razem taka para liczb (x1,y1)(x_1, y_1) definiuje punkt w przestrzeni. Co więcej, współrzędne pomagają nam analizować bardziej skomplikowane obiekty w naszej euklidesowej przestrzeni. Na przykład, pojawiają się we wzorze na punkt końcowy.

Powiedzmy, że nasz odcinek zaczyna się w A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) a kończy… no właśnie, jeszcze nie wiemy gdzie. Wyjaśnimy więc teraz jak znaleźć punkt końcowy B=(x2,y2)B = (x_2, y_2) jeśli znamy punkt środkowy M=(x,y)M = (x, y).

Z definicji punktu środkowego wiemy, że odległość od AA do MM musi być taka sama jak odległość od MM do BB. Tyle tylko, że BB znajduje się po drugiej stronie. Oznacza to, że aby znaleźć BB, wystarczy „przesunąćMM wzdłuż prostej przechodzącej przez AA i MM o taką samą długość jak odcinek AMAM. Lub, jeśli chcesz by brzmiało to bardziej wyszukanie, o wektor 🇺🇸 AMAM.

Innymi słowy, mamy:

x2=x+(xx1)=2xx1x_2 = x + (x - x_1) = 2x - x_1 oraz

y2=y+(yy1)=2yy1y_2 = y + (y - y_1) = 2y - y_1

Podsumowując — jeśli lubisz mieć wszystkie potrzebne informacje w jednym miejscu, to służymy pomocą:

💡 Punktem końcowym odcinka biegnącego od punktu A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) do punktu środkowego w punkcie M=(x,y)M = (x, y) jest punkt B=(2xx1,2yy1)B = (2x - x_1, 2y - y_1).

Zauważ, że powyżej wspomnieliśmy o prostej przechodzącej przez punkty AA i MM. Takie proste są bardzo pomocne przy nauce znajdowania punktu końcowego lub środkowego. W końcu odcinek ABAB jest zawarty na tej prostej.

Uff, to był długi czas spędzony nad teorią! Może zostawimy tę techniczną paplaninę i wreszcie zobaczymy przykład liczbowy? W końcu czas to pieniądz!

Przykład: użycie kalkulatora brakującego punktu końcowego

Powiedzmy, że cztery miesiące temu zaczęliście umieszczać filmy na YouTubie. Nic wymyślnego, po prostu kilka przepisów kulinarnych, które są tradycyjne dla twojego regionu. Zaczęło się jako hobby, ale ludzie wydają się lubić twój program, a wy widzicie liczbę widzów rosnącą liniowo z czasem. Dlaczego by nie spróbować znaleźć brakującego punktu końcowego za pomocą naszego kalkulatora, aby sprawdzić ilu powinniście mieć subskrybentów po kolejnych czterech miesiącach?

Przede wszystkim zauważ, że choć problem z pozoru nie wydaje się geometryczny, możemy faktycznie znaleźć odpowiedź, korzystając z definicji punktu końcowego z geometrii. Przecież punktem wyjścia, czyli miesiącem zerowym, był moment, w którym zaczęliście umieszczać na platformie filmiki, więc w tym momencie mieliście okrągłe 0 widzów. Teraz jesteśmy w miesiącu czwartym, który będzie naszym punktem środkowym (ponieważ chcemy znaleźć liczbę widzów za kolejne cztery miesiące). Innymi słowy, punkt końcowy będzie odpowiedzią na nasze pytanie.

Powiedzmy, że obecnie masz 54 000 subskrybentów. Spróbujmy przetłumaczyć wszystkie te dane w taki sposób, aby kalkulator punktu końcowego zrozumiał, czego od niego właściwie chcemy.

Zgodnie z powyższą sekcją, aby znaleźć odpowiedź, potrzebujemy punktu początkowego i punktu środkowego. Oznaczmy je odpowiednio przez A = (x₁, y₁) i M = (x, y). Dla nas x oznaczać będzie liczbę miesięcy, a y liczbę wiernych fanów. Ponieważ naszym punktem wyjścia był miesiąc zerowy, a obecnie jesteśmy po 4 miesiącach umieszczania filmów na Youtube, możemy wprowadzić do kalkulatora punktu końcowego następujące dane:

x₁ = 0

x = 4

Teraz przyszedł czas na subskrybentów. Ponownie, punktem wyjścia był moment, w którym nie mieliśmy nikogo, natomiast aktualnie, po czterech miesiącach, jesteśmy na poziomie 54 000. Mamy zatem:

y₁ = 0

y = 54 000

Gdy wprowadzimy wszystkie te dane do kalkulatora punktów końcowych, zwróci on szukaną odpowiedź. Ale nie ujawniajmy jej jeszcze! A może zobaczymy, jak samemu znaleźć punkt końcowy za pomocą wzoru?

Weźmy kartkę papieru i przypomnijmy sobie informacje, o których już wspomnieliśmy powyżej. Nasz punkt startowy był w miesiącu zerowym z zerową liczbą subskrybentów, co oznacza, że nasz punkt startowy to A = (0, 0). Teraz jesteśmy w miesiącu czwartym z 54 000 subskrybentów, czyli w połowie drogi od tego, co chcielibyśmy obliczyć. Oznacza to, że nasz punkt środkowy to (4, 54 000).

Teraz musimy tylko wykorzystać formułę punktu końcowego z powyższego rozdziału. Jeśli oznaczymy współrzędne punktu końcowego przez B = (x₂, y₂), to:

x₂ = 2 ∙ 4 - 0 = 8

y₂ = 2 ∙ 54,000 - 0 = 108 000

Oznacza to, że jeśli trend się utrzyma, to powinniśmy dojść do 108 000 subskrybentów w ciągu kolejnych czterech miesięcy. To już całkiem spora liczba!

FAQ

Jak znaleźć brakujące współrzędne punktu końcowego odcinka?

Zakładając, że znasz punkt końcowy A = (x₁, y₁) i punkt środkowy M = (x, y):

  1. Pomnóż razy 2 współrzędne punktów środkowych: 2x, 2y.

  2. Odejmij współrzędną x znanego punktu końcowego od pierwszej wartości, aby otrzymać współrzędną x brakującego punktu końcowego: x₂ = 2x - x₁.

  3. Od drugiej wartości odejmij współrzędną y znanego punktu końcowego (początkowego), aby otrzymać współrzędną y brakującego punktu: y₂ = 2y - y₁.

  4. Dobra robota, brakujący punkt wyznaczający koniec twojego odcinka to: B = (x₂, y₂).

Czy jeden z punktów wyznaczających koniec odcinka oraz punkt środkowy mogą mieć takie same współrzędne?

Nie. Jeśli punkt końcowy i środkowy mają te same współrzędne, to odległość między nimi wynosi zero. W związku z tym drugi punkt końcowy również musi mieć dokładne współrzędne i wszystkie trzy są jednym punktem, a nie odcinkiem.

Jaki jest drugi punkt wyznaczający koniec odcinka, jeśli jeden koniec odcinka leży w punkcie (1,3), a środek odcinka ma współrzędne (3,5)?

Aby znaleźć drugi punkt końcowy:

  1. Podwój współrzędne punktów środkowych:
    2x = 6, 2y = 10

  2. Odejmij pierwszą wartość i znaną współrzędną x punktu końcowego:
    6 - 1 = 5

  3. Odejmij drugą wartość i znaną współrzędną y punktu końcowego:
    10 - 3 = 7

  4. Wyznaczone różnice to odpowiednio współrzędne x i y brakującego punktu końcowego:
    B = (5,7)

Jaka jest odległość między dwoma punktami końcowymi (3,5) i (6,6)?

Aby wyznaczyć brakującą odległość:

  1. Znajdź różnice między odpowiednimi współrzędnymi:
    Δx = 6 - 3 = 3, Δy = 6 - 5 = 1

  2. Podnieś do kwadratu obie różnice:
    (Δx)² = 3² = 9, (Δy)² = 1² = 1

  3. Dodaj te dwie wartości:
    (Δx)² + (Δy)² = 9 + 1 = 10

  4. Wyznacz pierwiastek kwadratowy z sumy:
    √((Δx)² + (Δy)²) = √10

  5. Dobra robota! Szukana odległość jest równa √10, czyli około 3,16.

Maciej Kowalski, PhD candidate
A graph showing how to find the endpoint of a segment on the Cartesian plane
Starting point coordinates
x₁
y₁
Midpoint coordinates
x
y
Endpoint coordinates
x₂
y₂
Check out 46 similar coordinate geometry calculators 📈
Average rate of changeBilinear interpolationCatenary curve… 43 more
People also viewed…

Books vs e-books

Discover the ultimate paper books vs. e-books calculator. Make an informed choice with our handy tool. Find out which is best for the environment!

Linear independence

The linear independence calculator is here to check whether your vectors are linearly independent and tell you the dimension of the space they span.

Round to the nearest hundred

Dzięki temu poręcznemu narzędziu dowiesz się, jak zaokrągla się dowolną liczbę do najbliższej setki!

Significant figures

Kalkulator cyfr znaczących wykonuje działania z uwzględnieniem zadanej liczby cyfr znaczących i pokazuje rozwiązanie krok po kroku!